王成杰 劉新春

(1.江蘇省揚中高級中學 212200；2.揚中市教師發(fā)展中心 212200)

我們常常驚嘆于各種數(shù)學雜志資料上介紹的數(shù)學問題的精妙解法，我們也偶爾對自己靈光閃現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的優(yōu)美解法洋洋得意，我們更為教學中學生創(chuàng)造的層出不窮的奇妙解法所吸引,感嘆數(shù)學解題方法真是沒有最好只有更好.冷靜下來，我們不禁要問：創(chuàng)新解法你從哪里來？構建充滿聯(lián)系的知識結構，探究問題背后的本質規(guī)律，掌握解決問題的基本策略，反思解題方法的缺陷不足，堅持策略方法的不斷改進，捕捉奇思妙想的靈感閃現(xiàn)，創(chuàng)新解法往往會不期而遇.以下以解析幾何問題的求解為例，探究如何發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新解法.

1 顯現(xiàn)隱含條件

在許多解題實踐中，我們常常被多種題設條件的表面含義所遮蔽，而發(fā)現(xiàn)不了這些條件背后的隱含條件，更發(fā)現(xiàn)不了隱含條件背后的最核心的原理，只能就事論事.“直譯”條件造成解法繁瑣，運算復雜.甚至無法求解.破譯隱含條件，打通條件與結論的最簡通道，則優(yōu)美解法就會水到渠成.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標．

分析本題主要考察直線方程，直線與直線的位置關系，橢圓方程，橢圓的幾何性質等基礎知識，考察分析問題、解決問題能力和運算求解能力.常規(guī)解法如下：

解析1(1)設橢圓的半焦距為c，

①

直線l2的方程：

②

從這一分析過程可知，本題中發(fā)現(xiàn)優(yōu)美解法的關鍵隱含條件就是P,Q是經(jīng)過橢圓焦點的圓與橢圓的交點，且是圓M的直徑端點，發(fā)現(xiàn)了這一隱含條件，簡捷解法躍然紙上.

2 優(yōu)化圖形結構

解析幾何的源泉是幾何，圖形是直觀表現(xiàn)形式，是問題的起點和歸宿，而代數(shù)方法僅僅是工具，看穿圖形的整體結構和本質特征就能大道至簡，“一招封喉”，化繁為簡，發(fā)現(xiàn)隱含圖形之中的簡單方法.

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

分析(1)動點P的軌跡方程易得x2+3y2=4,(x≠±1)，解題過程略.

=x0+y0,

以上解法著眼于從兩個三角形的邊與高的數(shù)量關系出發(fā)，表示兩個三角形的面積.如若抓住兩個三角形的一對對頂角，則可另辟蹊徑表示三角形面積，獲得解法2.

解法2由S△ABP=S△PMN，可得S△APB=

(xP-xA)(xP-xB)=(xN-xP)(xM-xP),

即(xP+1)(xP-1)=(3-xP)(3-xP),

上述兩種解法瞄準了幾何圖形的局部和細節(jié)(邊或角)獲得解法.如能跳出細節(jié)，著眼于從幾何圖形的整體結構出發(fā)，通過等積變換，發(fā)現(xiàn)幾何圖形更進一步的幾何特征——點P是△ADN的重心，由于點A,D,N的橫坐標已知，因而能便捷地求出P點的坐標.

在上述解法3中，我們從圖形的整體結構出發(fā)，在△ADN中，從△PAB與△PMN的面積相等、B為AD中點、M為ND中點，結合分析得到P是△ADN的重心，獲得運算量很小的解題方法.

3 妙用曲線性質

解析幾何的兩大任務就是建立曲線的方程和運用曲線方程研究曲線性質. 如若借助已經(jīng)獲得的曲線性質探究解題思路，則往往會發(fā)現(xiàn)意料之外的驚喜.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

分析破解本題的關鍵是表示出兩直線PA，MA斜率的乘積k1·k2，首先確定選哪個參數(shù)作為變量，一般可選擇點的坐標作為參數(shù)，或者斜率作為參數(shù)，以下方法一就是以點P的坐標作為變量，從而分別得出直線PA，MA的斜率，進而表示出k1·k2．

因為點P在橢圓C上，

解法2記橢圓的左頂點為B，過點P作x軸的垂線，垂足為H,連接PB,PH.設P點的橫坐標為x0，則-2

將①,②,③的左右兩邊分別相乘即得

比較上述兩種解法可知，正確運用橢圓的性質，既能迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，又能簡化解題步驟，減少運算量.

4 多元表征條件

在同一個問題中往往會出現(xiàn)多個條件，而同一個條件又可以有多種表征方式，用不同的表征方式表達條件往往影響解題思路的發(fā)現(xiàn)，決定解題方法的優(yōu)劣，一個條件的不同表征方式與其它條件連結時，連結方式往往不同，難易繁簡差異也很大，如果一個問題中的各個條件能用恰當?shù)谋碚鞣绞絻?yōu)化組合，就能獲得更佳解法.

(1)求橢圓C的方程；

對比兩式相差2x1y2x2y1，故將前式變形為

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=4,把三角形的面值代入即有x1x2+2y1y2=±1,

整理得t2(x1x2+2y1y2)=4-2t2,意外的驚喜出現(xiàn)了.

因為A,B點在橢圓上，

兩式相乘得

配方變形得

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=4,

x1x2+2y1y2=±1，

又因為點E是A,B的中點，

由x1x2+2y1y2=-1,得t2=4,t=2,

5 妙用逆向代換

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過點C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．

分析第(1)問略，對于第(2)小問，一種基本思路是：先設出直線AM的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由于兩交點中點A已知，根據(jù)韋達定理得出點M的坐標，同理得出點N的坐標，由于直線MN經(jīng)過定點C(0,1)，由三點共線可求出k1，k2之間的一個等量關系式，再與條件k1=2k2聯(lián)立方程組，可解出k1(或k2)的值，從而求出直線MN的斜率.

消去y可得：

點評這一思路的獲得很自然，但其過程運算量非常大，容易出錯.能否不求M,N點的坐標，減少一些復雜的運算？由于直線AM和BN與橢圓的交點也是直線MN和x軸與橢圓的交點，因此可以直接由直線AM和BN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到直線MN的方程，從而減少運算量.

解法2由題意得：AM直線方程為y=k1(x+2)，即k1(x+2)-y=0①，

BN直線方程為y=k2(x-2)，

即k2(x-2)-y=0②.

將①與②左右兩邊分別相乘有k1k2(x2-4)-y[(k1+k2)x+2(k1-k2)]+y2=0③，

由于直線MN經(jīng)過定點C(0,1)，

幾點啟示

1.從以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，如果我們對數(shù)學問題的條件進行橫向、縱向、遞進式、螺旋式、多角度的轉化，就像剝竹筍一樣，層層剝去外殼，就會越來越接近問題的內核——本質規(guī)律和最簡單明了的結論，從而快速發(fā)現(xiàn)簡捷的方法.

2.圖形直觀是發(fā)現(xiàn)優(yōu)美解法的又一法寶，因為圖形具有整體性、對稱性、簡約性和美感等特點，能夠快速激活人的直覺思維、簡縮思維、形象思維和聯(lián)想思維，從整體上迅速連接題目中的各個條件并加以優(yōu)化，更容易選擇優(yōu)化的解題思路，甚至獲得創(chuàng)新解法.

3.“揚長補短，消滅短腿”.在教學實踐中發(fā)現(xiàn)成績差的學生經(jīng)常也會提出創(chuàng)新的解法，分析原因是因為這些學生往往在某一方面的知識方法思維比其他學生強，當題目的條件結論與他們的強項結合時就容易產(chǎn)生優(yōu)美的解法.因此在實際教學中，我們既要不斷地對學生進行“補短”教育，更要進行“揚長”教育，只有揚長才能激活創(chuàng)造潛能.