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        向量在平面幾何中的應(yīng)用

        2018-03-23 12:15:44葉巧渝
        讀天下 2017年15期
        關(guān)鍵詞:應(yīng)用方法

        摘 要:向量在中學(xué)學(xué)習(xí)和研究中占有比較重要的地位,在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用,如何用向量的知識去解決平面幾何問題是比較重要的。向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題。實(shí)際向量在幾何類問題中的考察要多角度,多方位的思考,注重?cái)?shù)形結(jié)合,增加思維維度。

        關(guān)鍵詞:向量;平面幾何;方法;應(yīng)用

        一、 證明線段平行問題

        證明線段平行問題,包括相似問題,常用向量平行(共線)的充要條件:a∥ba=λb(x1y2-x2y1=0)。

        【例1】 如圖1,若ABCD是平行四邊形,EF∥AB,AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證:MN∥AD。

        圖1

        分析:本例是典型的平面幾何問題,如果利用平面幾何知識證明,很難找到突破口,而且思維過程較復(fù)雜,但用向量法處理就可使得問題變得簡單多了,關(guān)鍵在于已知向量或基向量的確定。

        要證明MN∥AD,只要證明AD=λMN(λ≠0)即可。

        證明:∵EF∥AB,

        ∴△NEF∽△NAB。

        設(shè)AB=λ′EF(λ′≠1),

        則ANEN=λ′,

        ∴AN-ENEN=AEEN=λ′-1,

        ∴AE=(λ′-1)EN,

        同理,由于EF∥DC得DE=(λ′-1)EM,

        于是AD=AE-DE=(λ′-1)EN-(λ′-1)EM=(λ′-1)(EN-EM)=(λ′-1)MN,

        令λ=λ′-1,則AD=λMN(λ≠0),

        ∴MN∥AD。

        二、 證明線段垂直問題

        證明垂直問題,常用向量垂直的充要條件:a⊥ba·b=0(x1x2+y1y2=0)。

        【例2】 如圖2所示,O為△ABC的外心,E為三角形內(nèi)一點(diǎn),滿足OE=OA+OB+OC。求證:AE⊥BC。

        圖2

        分析:要證AE⊥BC,即證AE·BC=0,選取OB,OC,將AE,BC表示出即可。

        證明:∵ AE=OE-OA

        =(OA+OB+OC)-OA

        =OB+OC,

        又∵BC=OC-OB,

        ∴AE·BC=(OC-OB)·(OC+OB)=|OC|2-|OB|2,

        ∵O為外心,∴|OC|2=|OB|2,

        即AE·BC=0,AE⊥BC。

        做題過程中,我們通常需要建立平面幾何與向量的聯(lián)系,確定已知向量或基向量,將其余所需要的向量用已知向量或基向量表示,或建立平面直角坐標(biāo)系,將所需要向量用坐標(biāo)表示出來,即用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題,注意分清已知向量和未知向量,進(jìn)而選擇適當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算公式和定理,通過向量的運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,最后將運(yùn)算結(jié)果還原成幾何關(guān)系。

        三、 用向量解決問題的一般方法

        用向量的方法解決平面幾何問題可以分為三步:

        1. 建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。

        2. 通過向量運(yùn)算、研究幾何元素之間的關(guān)系。

        3. 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

        向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性。因而向量方法是幾何研究的一個(gè)有力工具。而“三步曲”給出了利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的基本思想。在解決平面幾何問題時(shí),將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是關(guān)鍵。

        作者簡介:

        葉巧渝,重慶市,重慶育才成功學(xué)校。

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