吳道春

摘 要：所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想的基礎(chǔ)上經(jīng)歷數(shù)學(xué)基本活動(dòng)（四基）逐步達(dá)成的.學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，要讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和問(wèn)題解決的全過(guò)程，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；高考命題；趨勢(shì)

近年，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育理念和課程改革的共同聚焦點(diǎn).正在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做出明確的界定：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析六大要素.

這兩年（2016～2017）高考數(shù)學(xué)命題的趨勢(shì)已經(jīng)悄然地轉(zhuǎn)向聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，試題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，呈現(xiàn)新的特征.下面，我們借助對(duì)2016～2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題的分析，研究聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)特征，探索性地提出教學(xué)建議.

一、數(shù)學(xué)抽象的考查

例1 （2016年第20題）記[U={1，2，…，100}.] 對(duì)數(shù)列{an}和U的子集T，若T=[Φ]，定義ST=0；若T=[{t1，t2，…，tk}]，定義ST=[at1+at2+…+atk].現(xiàn)設(shè){an}是公比為3的等比數(shù)列，當(dāng)[T={2，4}]時(shí)，ST=30.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)[k（1≤k≤100）]，若[T?{1，2，…，k}]，求證：[ST

例2 （2017年第14題）f（x）是定義在R 上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上，[f（x）=x2， x∈D，x， x?D，]其中[D]=[{x|x=n-1n ，n∈N?}]，方程f（x）[-]lgx=0的解的個(gè)數(shù)是 .

結(jié)構(gòu)特征：這兩題都是將數(shù)列、函數(shù)等核心概念與集合相結(jié)合，構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象具有高度的抽象性，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，如例1中的[SC，SD，SC?D]，例2中的f（x）.

教學(xué)建議：（1）首先，在平時(shí)的概念教學(xué)中，必須讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)核心概念的形成過(guò)程，學(xué)生要“悟透”概念的本質(zhì)特征，在大腦中形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；（2）解決抽象問(wèn)題的關(guān)鍵是化抽象為直觀，要引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)?shù)亍氨碚鳌眴?wèn)題.表征即問(wèn)題在大腦中是如何表現(xiàn)出來(lái)的[1]，是大腦對(duì)問(wèn)題包含的信息進(jìn)行加工和重構(gòu)后形成的對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)特征的認(rèn)知和表達(dá).為使這種認(rèn)知和表達(dá)簡(jiǎn)潔而清晰，有利于分析和解決問(wèn)題，應(yīng)盡可能選用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、工具和結(jié)構(gòu)或者熟悉的實(shí)物表示.例如，我們將上面兩題中的[SC，SD，SC?D]和f（x）分別用圖1、圖2表示.

由圖1易得“[SC≥SD]”等價(jià)于“[SE≥SF]”，“[SC+SC?D≥2SD]”等價(jià)于“[SE≥2SF]”，其中，[E=C??UD]，[F=D??UC].圖2是函數(shù)f（x）一個(gè)周期的圖象（本題表征的關(guān)鍵），通過(guò)平移可得區(qū)間（0，10]上的圖象，“f（x）-lgx=0的解的個(gè)數(shù)”等價(jià)于“函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y = lgx在（0，10]上的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)”.

二、邏輯推理的考查

例1略解：（1）[an=3n-1].（2）[ST≤a1+a2+…ak=3k-12<3k=ak+1.]

（3）當(dāng)[E=Φ]或[F=Φ]時(shí)，易證[SE≥2SF]；當(dāng)[E≠Φ]且[F≠Φ]時(shí)，設(shè)k，l分別為E，F(xiàn)中的最大數(shù)，則[3k=ak+1>SE≥SF≥al=3l-1]，[k>l-1]，又易知[k≠l]，所以[k≥l+1].

[2SF≤2（a1+a2+…+al）=3l-1<3l≤3k-1=ak≤SE]，即[SE≥2SF].綜上，[SE≥2SF]，

[（SE+SC?D）+SC?D≥2（SF+SC?D）]，即[SC+SC?D≥2SD].

例2略解：數(shù)形結(jié)合知在區(qū)間[1，2）上，函數(shù)y= lgx與函數(shù)f（x）的圖象有唯一交點(diǎn)（1，0）；在區(qū)間[2，3）上，設(shè)函數(shù)y= lgx與函數(shù)f（x）上部分圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[x0]，則[lgx0=（x0-2）2]，[x0]=[10（x0-2）2]，由[x0-2∈D]且為有理數(shù)知，左邊的[x0]為有理數(shù)，右邊為無(wú)理數(shù)，矛盾，交點(diǎn)不存在，函數(shù)y= lgx只與函數(shù)f（x）下部分圖象有一個(gè)交點(diǎn).同理可得在區(qū)間[3，4），…，[8，9）上各有1個(gè)交點(diǎn)，共8個(gè).

結(jié)構(gòu)特征：（1）推理的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)核心概念，如集合、數(shù)列、不等式、函數(shù)與方程、周期、數(shù)系等；（2）推理的執(zhí)行需要具備數(shù)學(xué)基本技能，如畫(huà)（作）圖、集合的運(yùn)算、數(shù)列的求和、不等式的證明、比較大小、周期性的應(yīng)用、矛盾分析法等；（3）推理的方法源于數(shù)學(xué)基本思想，如數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、極端化、函數(shù)與方程思想、矛盾思想、對(duì)應(yīng)思想等.

教學(xué)建議：（1）核心概念的教學(xué)，必須留給學(xué)生充分的“思辨”時(shí)間，學(xué)生必須理解清楚數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵和外延，理解概念之間、概念和建立在它本身基礎(chǔ)上的命題之間的關(guān)聯(lián)；（2）摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，開(kāi)啟“精準(zhǔn)練習(xí)”模式，掌握“通性通法”；（3）結(jié)合特定的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，這是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成和解題能力提升的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的點(diǎn)睛之處.

考查邏輯推理的試題很多，由于文章篇幅有限，不再列舉.我們把2016～2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題涉及的數(shù)學(xué)基本思想羅列如下：數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想、概率與統(tǒng)計(jì)思想、歸納與類(lèi)比思想、分析與綜合思想、特殊化與一般化思想、整體與局部思想、猜想與論證思想、坐標(biāo)思想（直角坐標(biāo)、空間坐標(biāo)、向量坐標(biāo)、極坐標(biāo)等）、極端化思想（極端、極限或臨界情形，最大化，最小化等）、有序化思想、矛盾思想、對(duì)應(yīng)思想、消元思想、算兩次思想、補(bǔ)集思想、遞推思想、對(duì)稱(chēng)思想、變換思想、組合思想、模型思想等.我們建議教師可以嘗試以這些基本思想為主題開(kāi)設(shè)系列專(zhuān)題課.

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查

例3 （2016年第13題）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，[BC]·[CA=4]，[BF·][CF=-4]，則[BE·CE]的值是 .（圖略，下同）

例4 （2017年第12題）平面內(nèi)向量[OA]，[OB]，[OC]的模分別為1，1，[2]，[OA]與[OC]的夾角為[α]，tan[α]=7，[OB]與[OC]的夾角為45°.若[OC]=m[OA]+n[OB]，則m+n= .

例5 （2017年第17題）橢圓E：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為[12]，準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

結(jié)構(gòu)特征：（1）運(yùn)算的方法是關(guān)鍵，如例3，關(guān)鍵是要把向量用基底表示，歸根結(jié)底考查的是向量的一個(gè)核心運(yùn)算思想——坐標(biāo)思想，例4也可用坐標(biāo)思想；例5考查的主要是方程思想；（2）運(yùn)算的方向（從哪里開(kāi)始算，往哪里算）需要探究，如例5，可以選擇設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，從點(diǎn)P開(kāi)始往點(diǎn)Q算，也可以選擇其他的方向；（3）運(yùn)算的執(zhí)行需要熟練運(yùn)用公式、一定的技巧、耐心、細(xì)心，輕松地算出結(jié)果不容易，如例4、例5；（4）解析幾何題，如例5以及2016年第18題，題目的結(jié)構(gòu)很“簡(jiǎn)明”，都是以基本對(duì)象（如橢圓、圓、直線等）和基本特征（如焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、交點(diǎn)、弦、平行、垂直等）為元素進(jìn)行“簡(jiǎn)明的組合”而成，考查的是基本運(yùn)算，但對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)的要求較高.

教學(xué)建議：（1）數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法源自數(shù)學(xué)運(yùn)算基本思想，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本思想，如坐標(biāo)思想、函數(shù)思想、方程思想、整體思想、換元思想、消元思想、參數(shù)思想、類(lèi)比思想、對(duì)稱(chēng)思想、遞推思想等；（2）不管是運(yùn)算方法的選擇，還是運(yùn)算方向的探究，一是靠“經(jīng)驗(yàn)”，二是靠“靈感”，三是靠“試誤”，試誤即不斷地嘗試和改進(jìn)，最后成功，它是探究活動(dòng)的形式和特征；（3）在一定量的運(yùn)算訓(xùn)練中，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的熟練程度，發(fā)現(xiàn)技巧，培養(yǎng)耐心和細(xì)心的習(xí)慣等；（4）摒棄“繁、難、偏”的題型，在提高學(xué)生基本運(yùn)算的素養(yǎng)上下功夫.

四、直觀想象的考查

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程.主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、