李織蘭 韋仕強(qiáng)

【摘要】本文以證明數(shù)學(xué)命題“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”的教學(xué)片段為例，論述在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維的途徑，提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)突顯思維過程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂靈魂 思維過程 數(shù)學(xué)思想?理性精神

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）11A-0038-04

日本數(shù)學(xué)家、教育家米山國藏說過：“學(xué)生們在初高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，很快就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于腦際的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！睌?shù)學(xué)文化的價(jià)值主要在于數(shù)學(xué)對(duì)人們的觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所具有的重要的影響。數(shù)學(xué)對(duì)人類文明最大的貢獻(xiàn)是理性精神。理性精神是一種推演的精神、邏輯的精神，是一種求真的精神。發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化教育功能，就應(yīng)積極地培育理性精神、演繹理性的力量。數(shù)學(xué)課堂的靈魂是什么？我們通過研究證明“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”這一數(shù)學(xué)命題的教學(xué)片段得到了答案：突顯思維過程，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)理性精神。

片段一：彰顯自主，讓學(xué)生有真探索

（教師采用“自主嘗試—小組交流—全班反饋”的教學(xué)策略，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論、向全班交流自己探究得到的“圓的性質(zhì)”）

生1：我們小組得出了“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”的結(jié)論。

師：你們是怎么知道的？

生1：我們量出圓內(nèi)5條線段的長度，直徑AB=7.8cm，半徑OA=3.9cm，線段CD=4.6cm，線段EF=2.3cm，線段CG=6.3cm。所以，我們發(fā)現(xiàn)了“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”。

師：你們真聰明，你們發(fā)現(xiàn)了老師沒告訴過你們并且書上沒寫的性質(zhì)！大家齊聲拍手表揚(yáng)她。

【評(píng)析】

教師應(yīng)著眼于落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”、關(guān)注學(xué)生全面發(fā)展的核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從三年級(jí)開始，每冊教材有計(jì)劃地編排一個(gè)“探索規(guī)律”的專題活動(dòng)，有利于學(xué)生形成“實(shí)驗(yàn)—?dú)w納—猜想”的思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。安排這一教學(xué)環(huán)節(jié)，注重探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)積累和數(shù)學(xué)思想方法的感悟，凸顯了探索規(guī)律的教學(xué)價(jià)值。

片段二：巧妙設(shè)疑，讓學(xué)生有真思考

師：剛才那位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的這個(gè)結(jié)論（圓內(nèi)所有的線段，直徑最長），還需要驗(yàn)證嗎？

生1：道理明擺著，沒有必要了。（多數(shù)學(xué)生認(rèn)同）

師：前些天的一個(gè)早上，老師帶著一臺(tái)測量身高的設(shè)備在學(xué)校門口測量了57名進(jìn)校學(xué)生的身高，所測量的學(xué)生的身高都沒達(dá)到170cm，所以我們得出了一個(gè)結(jié)論，“我們學(xué)校的學(xué)生身高都不超過170cm”。剛說完就來了一名6（2）班的同學(xué)，他的身高是173cm，老師“被打臉”。為什么老師會(huì)“被打臉”呢？

生2：你還沒量完我們學(xué)校所有的學(xué)生的身高，你就下結(jié)論了。

師：我明白了，我們只能對(duì)我們測量過的對(duì)象下結(jié)論。那剛才你們量完了圓內(nèi)所有的線段了嗎？你們能保證圓內(nèi)每一條線段的長度都不超過圓的直徑嗎？

生1：不能！

師：下面我通過多媒體課件來驗(yàn)證一下。（在幾何畫板上分別拖動(dòng)點(diǎn)C，D，E在圓上運(yùn)動(dòng)，拖動(dòng)點(diǎn)F，G，H在圓內(nèi)變動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生觀察線段CD，EF，GH的長度，如圖1）我們通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”，這樣可以了嗎？

生（齊聲回答）：可以！

生3：也不可以，變換線段和點(diǎn)，只是測量更多圓內(nèi)的線段長度，但圓內(nèi)有無窮多條線段，圓內(nèi)有無窮多點(diǎn)，所以，這些線段的長度不可能量完的。

師：同學(xué)們比我想得更周全，剛才演示的幾何畫板課件只是讓我們更加相信“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”這個(gè)結(jié)論是正確的，但確實(shí)不可以用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)無窮多的對(duì)象下結(jié)論，因?yàn)槲覀儭傲坎煌辍??？磥硪_定“圓內(nèi)所有的線段的長度都不超過圓的直徑”必須用數(shù)學(xué)“理性”的方法了。

【評(píng)析】

在學(xué)生提出猜想后，教師利用多媒體課件驗(yàn)證了這一猜想，不僅激發(fā)了學(xué)生驗(yàn)證猜想的興趣，而且讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想的局限性，逐步滲透給學(xué)生知道：合情推理的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，還需要依靠演繹推理去證明。

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性決定了它是以理性見長的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，思考是思維的重要表現(xiàn)。學(xué)生遇到了疑問，也就是遇到了數(shù)學(xué)問題，就會(huì)去思考。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容巧妙設(shè)疑，讓學(xué)生自覺地思考、樂意去思考。

片段三：分類討論，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

師：圓內(nèi)線段有無窮多，既然不能一條一條地去量，我們能不能把它們分成若干類，一類一類比較后再下結(jié)論呢？

生1：這種分類討論的方法肯定比一條一條地去討論要好些。

師：那我們就做一做！

（回顧已學(xué)的知識(shí)：什么是直徑？什么是半徑？它們有什么關(guān)系？直徑是兩個(gè)端點(diǎn)在圓周，并且過圓心的線段;半徑是圓周上的點(diǎn)與圓心的連線;一條直徑的長度等于兩條半徑的長度）

師：我們討論的線段要與直徑比長短，線段是由兩個(gè)端點(diǎn)確定的，直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在圓周。想一想，將圓內(nèi)所有的線段依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來分類更適合我們進(jìn)行討論？

生2：依據(jù)線段的兩個(gè)端點(diǎn)是否在圓周上來分。

師：這樣我們可以“不重不漏”地把圓內(nèi)的線段分成……

生2：分為三類。兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周、一個(gè)端點(diǎn)在圓周（另一個(gè)端點(diǎn)不在圓周）、兩個(gè)端點(diǎn)都不在圓周。

【評(píng)析】

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用分類討論，往往能使繁雜的問題清晰化、簡單化。本例中，在無法窮盡的情況下，選擇各種類型的樣本（典型代表）進(jìn)行研究，用樣本（典型代表）反映整體。分類的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性、條理性，而分類討論，又可以促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力的發(fā)展。

教師在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)要研究的問題主要有：怎樣驅(qū)動(dòng)學(xué)生有目的地分類？怎樣引導(dǎo)學(xué)生找到合適的分類標(biāo)準(zhǔn)？分類如何做到不重不漏？怎樣才能形成分類討論的意識(shí)？

片段四：邏輯推理，孕育理性精神

師：“先易后難，化難為易”是我們解決數(shù)學(xué)問題的一大“訣竅”。我們應(yīng)先選哪一類線段與直徑比長短呢？

生1：第一類（兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周的線段），因?yàn)橹睆揭苍谶@一類。

師：好，我們用什么辦法來比較線段CD與直徑AB的長短？

生2：量一量。

師：量是“感性”的方法，只能對(duì)量過的特殊圓和線段下結(jié)論，對(duì)任何一個(gè)圓內(nèi)的、所有的、無窮多的線段是不能確定的，所以，我們不能用“量”，還得思考更“理性”的方法。注意觀察，直徑是由OA，OB兩條半徑構(gòu)成的，要比較AB與CD的長短，是否應(yīng)該作兩條與線段CD有關(guān)的半徑呢？找這兩條半徑與CD的關(guān)系？

生3：應(yīng)該可以，連接圓周上的點(diǎn)與圓心的線段就是半徑，所以，CO和DO就是兩條半徑。

生4：我知道結(jié)論了，CD<AB。因?yàn)椋谌切蜟DO中，兩邊之和大于第三邊，因此CO+DO>CD，也就是說CD的長度小于兩條半徑的長度之和，所以CD的長度小于直徑AB的長度。

師：現(xiàn)在我們可以說“所有兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上的線段的長度都不超過直徑的長度”嗎？

（部分學(xué)生說“能”，部分學(xué)生說“不能”）

師：到是“能”還是“不能”，就看我們畫的線段的“代表性”，CD能不能代表所有的“兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上的線段”。

生5：CD的兩個(gè)端點(diǎn)在直徑的同一側(cè)的半圓上，算是特殊的吧，還不是任意的“兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上的線段”。

生3：CD可以代表“兩個(gè)端點(diǎn)在直徑同一側(cè)半圓上的線段”。

師：現(xiàn)在誰能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)我們剛才推理得出的結(jié)論。

生5：任意一條兩個(gè)端點(diǎn)在直徑同一側(cè)半圓上的線段的長度不超過直徑。（板書）

生1：我發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)端點(diǎn)不同在直徑一側(cè)半圓上的線段”，也能得出一樣的結(jié)論。

（教師展示圖4）

師：其他同學(xué)看明白了嗎？

生：明白了。

師：所有的“兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周的線段”又可以不重不漏地分為兩類——兩個(gè)端點(diǎn)同在直徑某一側(cè)的半圓上的線段、兩個(gè)端點(diǎn)不同在直徑某一側(cè)半圓上的線段。根據(jù)我們上述的分類討論和推理，現(xiàn)在我們可以完全肯定地說“所有的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上的線段的長度都不超過直徑的長度”。

師：現(xiàn)在我們的任務(wù)是“化未知為已知”。想一想，我們可以怎樣將“一個(gè)端點(diǎn)在圓周的線段”“兩個(gè)端點(diǎn)都不在圓周的線段”這兩種線段轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周的線段”。

（學(xué)生小組討論、自主探究、代表匯報(bào)，將第二類、第三類圓內(nèi)的線段CD延長成第一類線段，展示成果如下）

CD<CE<AB

CD<EF<AB

師：同學(xué)們，經(jīng)過以上邏輯推理，我們得到圓內(nèi)所有三種類型的線段的長度都不超過直徑的長度。因此，我們得到了“圓內(nèi)所有的線段，直徑最長”的結(jié)論。

【評(píng)析】

數(shù)學(xué)對(duì)人類文明最大的貢獻(xiàn)是什么？是理性精神。理性精神是一種推演的精神、邏輯的精神，是一種求真的精神。發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化教育功能，就應(yīng)積極地培育理性精神、演繹理性的力量。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中啟蒙學(xué)生的理性精神是非常重要的，不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，還能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)理性思考，形成理性思維，感悟理性的力量，提升學(xué)生綜合能力和核心素養(yǎng)。

片段五：小結(jié)

師：通過對(duì)這一個(gè)問題的探究，你有哪些收獲？

生1：實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但還必須驗(yàn)證。（實(shí)驗(yàn)用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論;要通過演繹推理去證明結(jié)論。學(xué)習(xí)到實(shí)事求是、言必有據(jù)的科學(xué)態(tài)度）

生2：學(xué)會(huì)了用推理方法驗(yàn)證規(guī)律。（邏輯推理和計(jì)算證明的方法）

生3：學(xué)會(huì)了分類討論的推理方法。（找到合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏，選擇各類代表來反映整體，即得到這類對(duì)象都具有的性質(zhì)）

生4：“先易后難，化難為易”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“訣竅”。

【板書、板圖設(shè)計(jì)】

本課教學(xué)是高校教師與小學(xué)一線名師合作，準(zhǔn)確解讀課程標(biāo)準(zhǔn)，針對(duì)課改熱點(diǎn)、難點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)出來的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟分類思想和化歸思想，體驗(yàn)邏輯推理的方法，啟蒙理性思維，孕育理性精神。

（責(zé)編 劉小瑗）