陳嘉璐

摘要： 樣本估計(jì)總體是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的研究分析相關(guān)數(shù)據(jù)的有效手段和方法，由于人們的時(shí)間和精力是都有限的，無法采取到所有的數(shù)據(jù)，因此可以采用典型樣本數(shù)據(jù)獲得總體信息的方法來獲取有效信息。樣本估計(jì)總體基于隨機(jī)分布的數(shù)學(xué)概念，即在樣本容量足夠大的前提下，數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，換句話說，只要數(shù)據(jù)足夠多，那么選取大數(shù)據(jù)中的其中一小部分，這一小部分中的數(shù)據(jù)也能夠反映大數(shù)據(jù)的信息，因此樣本常用來估計(jì)總體。文章基于高中生視角，以全面化客觀化的角度分析思考問題，對(duì)高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)樣本估計(jì)總體作一個(gè)總結(jié)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)；樣本估計(jì)總體；高中生視角；學(xué)習(xí)體會(huì)

基于樣本容量足夠大的前提，數(shù)據(jù)的分布均有隨機(jī)性與平均性，因此樣本可以估算總體數(shù)據(jù)，但也是需要方法和技巧的，不能無憑無據(jù)地估算總體數(shù)據(jù)，只能運(yùn)用數(shù)學(xué)思維科學(xué)計(jì)算來估算。在估算時(shí)候需要嚴(yán)謹(jǐn)與細(xì)心，具體條件具體分析，樣本估算整體有多種方法，因此要根據(jù)實(shí)際情況選擇有效方法。

一、樣本頻率估計(jì)整體

只要數(shù)據(jù)足夠多，那么數(shù)據(jù)的排列會(huì)變得沒有順序，因此樣本中的頻率適用于估算整體的頻率，而樣本頻率的判斷方式有許多種，一般用圖表將樣本頻率直觀清晰地表示，如頻率分布表、頻率直方圖、總體密度曲線、莖葉圖三個(gè)角度等等，根本實(shí)際需要作出符合要求的圖形從而獲得有代表性的數(shù)據(jù)。樣本頻率估算整體的圖形選擇有很多種，因此要根據(jù)題目所給信息具體選用圖形，以下將這些圖形曲線一一闡述：

1.頻率分布表與頻率直方圖的應(yīng)用 頻率分布表與直方圖需要重點(diǎn)把握頻數(shù)和頻率，頻數(shù)是指在某個(gè)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，頻率某一數(shù)據(jù)在某個(gè)范圍出現(xiàn)頻率計(jì)算方法是頻數(shù)除以數(shù)據(jù)的總數(shù)（即樣本容量）。例如在一個(gè)樣本中，數(shù)據(jù)分別為1，3，3，4，5，6，6，6，6，7，選取6作為參考數(shù)據(jù)，那么6的頻數(shù)為4，樣本容量為10，那么6的頻率為頻數(shù)4除以樣本容量10結(jié)果為百分之四十，如果選取7為參考數(shù)據(jù)，7的頻數(shù)為1，樣本容量為10，那么7的頻率為1除以10等于百分之十。頻率分布表與直觀圖主要對(duì)具體某個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，因此在強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的題型，較多的運(yùn)用這種方法估算數(shù)據(jù)，通過這種方式，高中生能夠直觀并清晰地從樣本了解到整體。

2.總體密度曲線反映數(shù)據(jù)趨勢 基于樣本容量無限增大，分組間的組距不斷減小，就能夠得到一種總體密度曲線，這反映了總體的變化趨勢，通過這條曲線，就能夠清晰的得知各種數(shù)據(jù)占總體的百分比。需要注意的是，總體密度曲線的獲得需要數(shù)值區(qū)間與頻數(shù)，通過區(qū)間的中點(diǎn)將其一點(diǎn)點(diǎn)連接，就能夠得到一條光滑的曲線，在這種樣本中的曲線能夠有效估算整體數(shù)據(jù)，最后得到有效地結(jié)論。這種樣本估算總體的方式不適用于個(gè)別數(shù)據(jù)或是分組的求解，而是適用于整體數(shù)據(jù)的分布情況，通過整體數(shù)據(jù)反映出數(shù)據(jù)的趨勢。

3.莖葉圖保留原始數(shù)據(jù)，并讓數(shù)據(jù)直觀有效 莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)的缺失，卻難以直觀地判斷樣本的頻率，也無法直觀得出數(shù)據(jù)的頻率，但它的好處在于方便記錄，可隨時(shí)添加。莖葉圖不僅適用于兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，三位數(shù)四位數(shù)也可以適用，通過高位數(shù)與低位數(shù)的不同排布，人們可以通過對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面與直觀的了解，這多用于統(tǒng)計(jì)種各數(shù)據(jù)或是直觀了解所有數(shù)據(jù)的題型中。在很多種情況下，莖葉圖的應(yīng)用是判斷樣本整體信息的最好方式，但估算總體偏差較之前者慧更大。

二、樣本數(shù)據(jù)特征估算總體

樣本數(shù)據(jù)特征估算總體是另一種方法，也是基于總體容量足夠大，數(shù)據(jù)的分布具有隨機(jī)性和無序性的大前提，樣本數(shù)據(jù)特征能夠有效反映總體數(shù)據(jù)，在很多情況下都比樣本頻率與頻數(shù)分布要準(zhǔn)確地多。高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)通過樣本數(shù)據(jù)特征估算總體的特征有很多，選取三個(gè)主要方面進(jìn)行分析闡述：

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用

當(dāng)需要反應(yīng)總體的特征時(shí)，通過以樣本的數(shù)據(jù)特征來估算總體特征，如眾數(shù)，中位數(shù)，與平均數(shù)，眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中頻數(shù)最多的數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布以及隨機(jī)數(shù)分布的規(guī)律，眾數(shù)是密度曲線的分水嶺或是臨界點(diǎn)，越靠近眾數(shù)的數(shù)據(jù)頻率分布越高，越遠(yuǎn)離眾數(shù)的數(shù)據(jù)頻率越低，因此眾數(shù)常作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)（但也沒有絕對(duì)）。中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間的數(shù)，通常在穩(wěn)定的數(shù)據(jù)分布中與眾數(shù)接近（同樣無絕對(duì)），這里需要注意的是，當(dāng)所有的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可以選取最中間的數(shù)，當(dāng)所有數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則要將最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)相加再除以二，得出的值才為中位數(shù)。平均數(shù)是整體數(shù)據(jù)相加除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)得到的數(shù)值，一般來說，平均數(shù)是最能夠反映整體數(shù)據(jù)的信息的，但無法反映數(shù)據(jù)的趨勢與變化規(guī)律。在用樣本數(shù)據(jù)來判斷分析總體數(shù)據(jù)時(shí)，要眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)三個(gè)數(shù)值結(jié)合判斷，不能夠光從單個(gè)數(shù)值出發(fā)計(jì)算，否則得到的信息同樣是不準(zhǔn)確的。

2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)差與方差反映了數(shù)據(jù)分布的離散性和趨中性，通過將樣本中所有的數(shù)據(jù)加權(quán)平均得到，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方，將所有數(shù)據(jù)加權(quán)平均的意義在于使答案恒為正數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差與方差適用于反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與方差過大時(shí)，反映了數(shù)據(jù)無法均勻排布，隨機(jī)性較大，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與方差過小時(shí)，反映了數(shù)據(jù)均勻排布，區(qū)中性較大，因此通過標(biāo)準(zhǔn)差與方差的應(yīng)用，人們能夠得知數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性與整體變化趨勢，因此適用于整體數(shù)據(jù)的有效信息求解。

綜上所述，樣本估算整體是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)里為了減少時(shí)間與人力成本而使用的通過以偏求全的一種高效獲得信息的方式，然而真正掌握這樣的方法并不容易，首先要知道各種圖表與數(shù)據(jù)的意義和被賦予的數(shù)學(xué)概念，還要清晰的知道具體求解的是什么，是整體數(shù)據(jù)的趨勢還是具體的值，通過一系列的分析，正確的計(jì)算后，就能夠獲得相關(guān)有效信息。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫建平，呂效國，陸利平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)策略的統(tǒng)計(jì)分析[J].高師理科學(xué)刊.2011-09-30

（作者單位：江西育華學(xué)校高三（3）班 330027）