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(寧波大學(xué)附屬學(xué)校,浙江 寧波 315033)

1 背景介紹

學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論的教學(xué)要求是“結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論”[1].事實(shí)上，學(xué)生區(qū)分命題條件和結(jié)論不是一件容易的事，特別是對(duì)區(qū)分含有多個(gè)幾何條件的約略命題的條件和結(jié)論更有困難.為了解教師對(duì)命題條件和結(jié)論的理解情況，筆者借助教師培訓(xùn)活動(dòng)對(duì)48位教師進(jìn)行了有目的的調(diào)查.

2 調(diào)查方法

首先，筆者用多媒體呈現(xiàn)下列問(wèn)題及教學(xué)參考書提供的答案.

問(wèn)題1 命題“三角形的兩邊之和大于第三邊”的條件和結(jié)論分別是什么？

教學(xué)參考書提供的答案是：條件是“三角形的兩條邊之和”；結(jié)論是“大于第三邊”[2].

問(wèn)題2 命題“三角形3個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的條件和結(jié)論分別是什么？

教學(xué)參考書提供的答案是：條件是“3個(gè)角是一個(gè)三角形的內(nèi)角”；結(jié)論是“這3個(gè)角的和等于180°”[2].

其次，筆者要求教師用書面的方式獨(dú)立回答下列問(wèn)題：

1)對(duì)于問(wèn)題1，教學(xué)參考書提供的答案正確嗎？如果不正確，應(yīng)該怎樣修改？

2)上述兩個(gè)命題的結(jié)構(gòu)完全相同，為何問(wèn)題1教學(xué)參考書是從數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)表述命題的條件，而問(wèn)題2教學(xué)參考書是從位置關(guān)系的角度來(lái)表述命題的條件？

3)對(duì)含有多個(gè)幾何條件的約略命題是否可用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系這兩種形式來(lái)表述命題的條件？如果你認(rèn)為可以的話，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

3 調(diào)查結(jié)果及分析

3.1 調(diào)查結(jié)果

對(duì)于問(wèn)題1)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：有16人表示教學(xué)參考書提供的答案是正確的；有18人表示教學(xué)參考書提供的答案不夠具體，應(yīng)改為：條件是“一條線段是三角形兩條邊之和”，結(jié)論是“這條線段大于三角形的第三邊(線段)”；有14人沒(méi)有具體的態(tài)度.對(duì)于問(wèn)題2)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：所有被調(diào)查的教師沒(méi)有作出正確的回答.對(duì)于問(wèn)題3)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：有38人認(rèn)為可以用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系來(lái)表述命題的條件，但舉例說(shuō)明的只有2人，例如，問(wèn)題1中的條件可以是“兩條線段是三角形的兩條邊”，結(jié)論可以是“這兩條線段(邊)的和大于三角形的第三邊(線段)”；有10人表示不明確.

3.2 原因分析

事實(shí)上，問(wèn)題1中教學(xué)參考書提供的答案是約略的說(shuō)法，顯然不規(guī)范.因?yàn)槊}的條件和結(jié)論應(yīng)該是有判斷的陳述句，但這里的條件不是有判斷的陳述句，結(jié)論的判斷也不完整，不知道什么大于第三邊.之所以部分教師不能正確地回答問(wèn)題1)，是因?yàn)榻處煵幻鞔_這部分命題的條件和結(jié)論的基本要求.事實(shí)上，教學(xué)參考書對(duì)問(wèn)題1和問(wèn)題2只提供一種答案是不完整的.例如，問(wèn)題2還有一種答案是：條件是“一個(gè)角的度數(shù)是三角形3個(gè)內(nèi)角的和”，結(jié)論是“這個(gè)角的度數(shù)等于180°”.之所以部分教師不能正確地回答問(wèn)題2)，是因?yàn)檫@部分教師往往把教學(xué)參考書提供的答案作為標(biāo)準(zhǔn)答案，而自己對(duì)這類問(wèn)題缺乏深入的思考.事實(shí)上，對(duì)含有多個(gè)幾何條件的約略命題可用位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這兩種形式來(lái)表述命題的條件.之所以部分教師不能正確地回答問(wèn)題3)，是因?yàn)檫@部分教師缺乏對(duì)這類問(wèn)題的研究，不敢提出與教學(xué)參考書不同的表述形式.

4 結(jié)論及建議

4.1 結(jié)論

盡管在浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第1.2節(jié)“定義與命題”中有這樣的陳述：判斷某一件事情的句子叫做命題，在數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)的命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)得到的事項(xiàng).這樣的命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開始的部分是條件，“那么”后面的部分是結(jié)論.但對(duì)48位教師的調(diào)查結(jié)果可以估計(jì)教師對(duì)命題條件和結(jié)論的理解存在偏差的現(xiàn)象具有普遍性，特別是不明確對(duì)含有多個(gè)幾何條件的約略命題可用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系這兩種形式來(lái)表述命題的條件.

4.2 建議

1)教材應(yīng)顯化命題的條件和結(jié)論的基本要求——命題的條件應(yīng)該是有判斷的陳述句(命題的子命題)，命題的結(jié)論也應(yīng)該是有判斷的陳述句(命題的子命題).這樣就不會(huì)出現(xiàn)上述教學(xué)參考書中提供的不完整的說(shuō)法.

2)教學(xué)參考書應(yīng)提供完整的答案.教學(xué)參考書在區(qū)分含有多個(gè)幾何條件的約略命題的條件和結(jié)論時(shí)，只提供了通俗說(shuō)法，應(yīng)提供完整的答案，以幫助教師明確可用位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這兩種形式來(lái)表述命題的條件.例如，區(qū)分下列命題的條件和結(jié)論都有兩種答案.

例1說(shuō)出命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“一個(gè)三角形是等腰三角形”；結(jié)論是“這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等”.

答案2條件是“兩個(gè)角是等腰三角形的底角”；結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.

例2說(shuō)出命題“等角的余角相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“兩個(gè)角相等”；結(jié)論是“這兩個(gè)角的余角相等”.

答案2條件是“兩個(gè)角是等角的余角”；結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.

例3說(shuō)出命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上”；結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等”.

答案2條件是“兩條線段的長(zhǎng)度分別是線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離”；結(jié)論是“這兩條線段相等”.

3)教材要修改不正確的表述.例如，浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第2.5節(jié)中例1的表述需要修改.例1是說(shuō)出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題.事實(shí)上，這個(gè)命題有以下兩個(gè)逆命題：

逆命題1 如果一個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

逆命題2如果兩條線段相等，那么這兩條線段的長(zhǎng)度是線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離.

顯然，逆命題1是真命題，而逆命題2是假命題.因此，教材的這個(gè)例題應(yīng)修改成：請(qǐng)說(shuō)出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題.這樣涉及了兩種情況并且兩種情況都能證明(或舉反例說(shuō)明).在此基礎(chǔ)上，把真命題凸顯出來(lái)——作為定理使用，這樣顯得更順理成章.

總之，區(qū)分命題的條件和結(jié)論，教材應(yīng)給出具體的標(biāo)準(zhǔn)，以避免教師混淆.否則教師都感到困惑，學(xué)生就達(dá)不到“結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論”的要求.