方彤

【摘要】函數(shù)與方程思想是解高中數(shù)學(xué)題的一種重要思維策略，通過應(yīng)用舉例分析，詮釋兩種思想在解題中的必要性和簡(jiǎn)潔性.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；函數(shù)；方程；高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，要通過學(xué)科教學(xué)和綜合實(shí)踐活動(dòng)來實(shí)施，函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容，也是大學(xué)相關(guān)課程的基礎(chǔ)知識(shí).與函數(shù)概念有必然聯(lián)系的是方程，方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān).方程的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，反之，函數(shù)的問題也可以轉(zhuǎn)化為方程的問題.

一、函數(shù)與方程思想的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

1.函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化.對(duì)函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f（x）>0，借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.

2.數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.

3.在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問題就能化為未知量的方程來求解.

4.解析幾何中的許多問題，如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，這涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.

5.立體幾何中有關(guān)線段的長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.

二、應(yīng)用函數(shù)與方程思想培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一般認(rèn)為，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的公民的需要而具備的認(rèn)識(shí)，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位和能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力.”可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來的認(rèn)識(shí)、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略.人們所遇到的問題可以是數(shù)學(xué)問題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題，而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以從數(shù)學(xué)的角度看待問題，可以用數(shù)學(xué)的方法解決問題.函數(shù)與方程是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要的部分，應(yīng)用函數(shù)與方程思想培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開創(chuàng)教學(xué)新局面.

三、函數(shù)與方程思想應(yīng)用舉例

（一）函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例1 已知等差數(shù)列{an}中，a1=-2，公差d=3；數(shù)列{bn}中，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足：2nSn+1=2n（n∈N+）.

（Ⅰ）記An=1anan+1，求數(shù)列An的前n項(xiàng)和S；

（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=anbn，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積，若數(shù)列{xn}滿足x1=c2-c1，且xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1（n∈N+，n≥2），求數(shù)列{xn}的最大值.

解 （Ⅰ）因?yàn)閍n=3n-5，所以An=1（3n-5）（3n-2）=1313n-5-13n-2，所以S=13-12+1+1+14+14-17+…+13n-8-13n-5-13n-5-13n-2=13-12-13n-2=-n6n-4.

（Ⅱ）由2nSn+1=2n，得Sn=1-12n，所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=12n，又當(dāng)b1=S1=12，符合上式，所以bn=12n（n∈N+），故數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

（Ⅲ）因?yàn)閏n=3n-52n，所以x1=c2-c1=54，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=8-3n2n+1，

又x1=54符合上式，所以xn=8-3n2n+1（n∈N+），因?yàn)閤n+1-xn=5-3n2n+2-8-3n2n+1=3n-112n+2，所以當(dāng)n≤3時(shí)，{xn}單調(diào)遞減，當(dāng)n≥4時(shí)，{xn}單調(diào)遞增，但當(dāng)n≥4時(shí)，{xn}每一項(xiàng)均小于0，所以{xn}的最大值為x1=54.

點(diǎn)評(píng) 該題的第三問，就是將數(shù)列的通項(xiàng)看成是以n為自變量的函數(shù)，先判斷出單調(diào)性，再利用單調(diào)性求出最值.

（二）函數(shù)與方程思想在方程問題中的應(yīng)用

例2 實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程cos2x+sinx-a=0有解？

解 方程可以轉(zhuǎn)化為：a=f（sinx）=-2sin2x+sinx+1（-1≤sinx≤1），即把a(bǔ)看作關(guān)于sinx的函數(shù)，于是求a的范圍就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=f（sinx）在-1≤sinx≤1時(shí)的值域，結(jié)合y=sinx的圖像和二次函數(shù)值域知識(shí)，解得-2≤a≤98.

說明：與常規(guī)的解法比，這種解題方法大大地減少了運(yùn)算量，使問題更加明朗化.

例3 已知函數(shù)f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x

解 若存在實(shí)數(shù)m，使f（m）-2g（a）=0，即2g（a）必須在f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x≤e 的值域內(nèi)，所以原題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，求得函數(shù)f（x）值域[-2，6]，所以a的范圍為[-1，3].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)和函數(shù)與方程，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的閱讀分析轉(zhuǎn)化能力，滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其解題的一般思路為：首先根據(jù)函數(shù)f（x）的圖像，求出其值域，然后利用已知條件并結(jié)合函數(shù)的圖像可得滿足已知條件時(shí)應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而由一元二次不等式的解法即可求得正確的結(jié)果.

（三）函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

例4 已知函數(shù)f（x）=（a-1）log23x-6log3x+a+1，當(dāng)00，求x的取值范圍.

分析 如果直接求滿足題設(shè)條件的x的值，不好入手，現(xiàn)在換一個(gè)角度，把已知函數(shù)換為關(guān)于a的函數(shù)，則會(huì)使問題簡(jiǎn)化.

解 將原函數(shù)變形為g（a）=（log23x-6log3x+1）a+（1-log23x），這是一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù)，題設(shè)就變?yōu)楫?dāng)00，求a的范圍的問題.

因?yàn)間（a）是一次函數(shù)，為單調(diào)函數(shù)，為保證g（a）>0，只要使g（0）>0且g（1）>0就可以了.

所以原題相當(dāng)于解g（0）=1-log23x，g（1）=-6log3x+2， 均大于0的解集，從而最終求得x13

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)所給不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性是解決這一類問題的關(guān)鍵，該解法充分體現(xiàn)了函數(shù)、方程互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

（四）函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

例5 已知兩條曲線C1：x29+y24=1和C2：x2+（y-1）2=r2問：r為何值時(shí)兩條曲線無公共點(diǎn)？

解法一 如果該題用常規(guī)方法解，從 C1和C2中消去一個(gè)未知數(shù)x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，由于兩條曲線無公共點(diǎn)，所以判別式小于0，從而得到r>545.

又因?yàn)橐阎獧E圓可以包含圓，所以0

所以該題最終結(jié)果為：r>545或0

但是使用該方法，在解題過程中很容易漏掉 0

解法二 若將該問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從C1和C2中消去一個(gè)未知數(shù)x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，將該式中的r整理為y的函數(shù)，即r2=f（y）=-54y-452+545，由橢圓的性質(zhì)可知，-2≤y≤2，

于是本題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)-2≤y≤2時(shí)，求函數(shù)f（y）的值域的補(bǔ)集.

f（y）的值域滿足1≤r2≤545，即1≤r≤545，

因?yàn)閞>0，所以C1和C2無交點(diǎn)的范圍是：r>545或0

點(diǎn)評(píng) 為了求參數(shù)的范圍，可以把參數(shù)看成是某個(gè)字母的函數(shù)，用求函數(shù)值域的方法求出參數(shù)的范圍，該題的第二種方法就使用了這種思想.

例6 已知橢圓x24+y23=1，試確定m的范圍，使得對(duì)于直線y=4x+m，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.

解 設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）為橢圓上兩點(diǎn)，P0（x0，y0）為P1P2的中點(diǎn)，代入橢圓方程后相減得y1-y2x1-x2=-3x04y0=-14，

又y0=4x0+m，∴x0=-m，y0=-3m，可以求出直線P1P2的方程為y=-14x-134m，

代入橢圓方程整理，記f（x）=13x2+26mx+169m2-48（-2≤x≤2），

則若假設(shè)的P1（x1，y1），P2（x2，y2）在橢圓上，則相當(dāng)于方程f（x）=0，在[-2，2]上有兩個(gè)不等的實(shí)根，所滿足的條件為Δ>0，f（2）≥0，f（-2）≥0，-2<-m<2， 從而解得：-21313

點(diǎn)評(píng) 曲線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，等價(jià)于存在被直線垂直平分的弦，即等價(jià)于曲線的符合條件的弦所在的直線方程和曲線的方程組成的方程組在某個(gè)確定的區(qū)間上有不同的解.因此，這類問題可利用一元二次方程根的分布的充要條件建立不等式求解.

規(guī)律總結(jié) 1.在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個(gè)方程，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長(zhǎng)公式等，當(dāng)題目與這些問題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量；2.當(dāng)問題中涉及一些變化的量時(shí)，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的答案，這就需要使用函數(shù)思想.

通過上面的幾個(gè)例子可以看出，函數(shù)與方程的思想在解題中的重要性.隨著教育觀念的更新，教學(xué)方法越來越受到人們的重視，函數(shù)與方程是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要的部分，應(yīng)用函數(shù)與方程思想培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開創(chuàng)教學(xué)新局面，培養(yǎng)和提高學(xué)生的解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

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