摘要：本文首先對凸函數(shù)的有關(guān)概念進行闡述，然后對凸函數(shù)的運算性質(zhì)進行簡要分析，最后通過舉例的方式對凸函數(shù)的具體應(yīng)用進行了重點探討。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；運算；應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，當(dāng)運用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)性態(tài)進行探討時，往往遇到凸函數(shù)。凸函數(shù)是一種特殊函數(shù)，其具有一些性質(zhì)能對某些初等不等式、函數(shù)不等式及積分不等式進行簡單證明。下面就對凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用展開詳細探討。

一、 凸函數(shù)的有關(guān)概念

定義1若函數(shù)f（x）對于區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意x1，x2以及λ∈（0，1），恒有

f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f（x）為區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)。

二、 凸函數(shù)的運算性質(zhì)

性質(zhì)1若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，k為非負實數(shù)，則kf（x）也為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)2若f（x），g（x）均為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f（x）+g（x）也為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

推論若f（x），g（x）均為區(qū)間I上的凸函數(shù)，k1，k2為非負實數(shù)，則k1f（x）+k2g（x）也為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)3若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，g（x）為J上的凸增函數(shù)，且f（I）J，則g·f為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)4若f（x），g（x）均為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則F（x）=max{f（x），g（x）}也是區(qū)間I上的凸函數(shù)。

上述性質(zhì)很容易證明，故在此省略。

三、 凸函數(shù)的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析時，證明不等式是一項關(guān)鍵的學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過對凸函數(shù)理論的應(yīng)用，能有效簡化許多不等式的證明過程。下面具體分析：

例1求證：對任意實數(shù)a，b，有ea+b2≤12（ea+eb）。

證明設(shè)f（x）=ex，則f″（x）≥0，x∈（-∞，+∞）故f（x）=ex 為（-∞，+∞）上的凸函數(shù)。從而對x1=a，x2=b，λ=12有定義

fx1+x22≤12[f（x1）+f（x2）]。

即得

ea+b2≤12（ea+eb）。

注：該題構(gòu)造函數(shù)，運用凸函數(shù)的定義很容易就能導(dǎo)出結(jié)果。

例2設(shè)0

證明設(shè)f（x）=（1+x）1-a（1-xa）（0

那么f′（x）=（1-a）（1+x）-a（1-xa）+（1+x）1-a（-axa-1），

f″（x）=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa）-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）1-axa-2=-a（1-a）（1+x）-1-a[（1-xa）+（1+x）xa-1+xa-1（1+x）-（1+x）2xa-2]=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa-2）=a（1-a）（1+x）-1-a（xa-2-1）。

于是，當(dāng)00，由嚴格凸函數(shù)的定義，其中λ=x，x1=1，x2=0，得f（x）=f[x·1+（1-x）·0]

即（1+x）1-a（1-xa）<1-x。

注：該題運用了定理1及推論1的結(jié)論。

例3在△ABC中，證明

sinA+sinB+sinC≤332。

證明 令f（x）=-sinx，x∈（0，π），f″（x）=sinx>0，x∈（0，π）由應(yīng)用2得f（A）+f（B）+f（C）3≥FA+B+C3，即

sinA+sinB+sinC≤sinA+B+C3≤sinπ3=32，

所以sinA+sinB+sinC≤332。

例4設(shè)a1、a2、…、an均為正數(shù)，且a1+a2+…+an=1。求證：

a1+1a12+a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

證明因為f（x）=x2是凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)有

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2

≥na1+1a1+a2+1a2+…+an+1ann2

=1n1+1a1+1a2+…+1an2。（1）

由柯西不等式：∑ni=1ai2·∑ni=1bi2≥∑ni=1aibi2得

1a1+1a2+…+1an=1a1+1a2+…+1an·1 =1a1+1a2+…+1an（a1+a2+…+an）≥n2，

∴1a1+1a2+…+1an≥n2，由（1））即得

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

參考文獻：

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：148-154.

[2] 李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點注釋（上冊）[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2004，1：265-269.

作者簡介：陳飛翔，重慶市重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院。