康堅(jiān)

[摘 要] 學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)以及問題思維的訓(xùn)練都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中必不可少且尤其重要的環(huán)節(jié). 學(xué)生一旦具備較好的問題意識(shí)和問題思維，對(duì)于問題的發(fā)現(xiàn)與提出這一環(huán)節(jié)來講也就具備了最為關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題意識(shí)；問題思維；培養(yǎng)；訓(xùn)練

從心理學(xué)與教學(xué)論的理論角度進(jìn)行問題教學(xué)策略探究的文章已經(jīng)有了很多，本文對(duì)此問題的探究是從教學(xué)實(shí)踐的角度而展開的.

問題意識(shí)的培養(yǎng)

雖然學(xué)生提出問題應(yīng)該要有良好的學(xué)習(xí)氛圍這一基本條件，但是最為關(guān)鍵的還是學(xué)生必須具備最起碼的提問的意識(shí)，這個(gè)意識(shí)的培養(yǎng)并不是一朝一夕就能達(dá)成的，需要教師的點(diǎn)滴培養(yǎng).

1. 情境教學(xué)

生活情境. 問題往往是來源于生活這部大百科全書中的，數(shù)學(xué)更不會(huì)例外，很多的數(shù)學(xué)知識(shí)、概念等都是對(duì)生活實(shí)際中一些現(xiàn)象、規(guī)律的抽象與概括. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念形成與辨析往往都可以通過相關(guān)生活的情境來進(jìn)行教學(xué). 比如，為了幫助學(xué)生理解與區(qū)別排列組合這一概念可以進(jìn)行一下實(shí)例的列舉：

例1：（1）春節(jié)臨近，3名同學(xué)互發(fā)短信表示春節(jié)的問候，他們一共發(fā)了多少條短信呢？如果是5名同學(xué)互發(fā)短信一共會(huì)發(fā)出多少條呢？（2）小紅的生日快到了，小蘭準(zhǔn)備在5樣不同的禮物中選擇3樣送給她，一共會(huì)產(chǎn)生多少種不一樣的選法呢？（3）從南通到北京的火車沿途一共會(huì)停靠9個(gè)站點(diǎn)，不同票價(jià)一共要準(zhǔn)備多少種呢？（其中，火車席有軟臥、硬臥以及硬座之分，票價(jià)有兒童票、成人票以及學(xué)生票之分）面對(duì)這個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生只考慮成人硬座票使得問題得以簡化. 排列問題和組合問題之間的區(qū)別在這些問題的探討中自然也就十分明了了.

問題情境. 教師有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在各種情境中進(jìn)行質(zhì)疑問難并在探索中積極求解的教學(xué)手段我們稱之為問題情境. “問題串”的巧妙設(shè)計(jì)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用往往能夠不斷地啟發(fā)學(xué)生積極思考與提問，學(xué)生在一連串的問題引導(dǎo)與探尋中不斷地被帶進(jìn)更深層次的新的最近發(fā)展區(qū)，這對(duì)于整堂課的教學(xué)有效性與目標(biāo)達(dá)成是有著直接的決定性影響的. 云南省數(shù)學(xué)特級(jí)教師于雷曾經(jīng)表達(dá)過這樣的觀點(diǎn)：以問題為載體的數(shù)學(xué)教學(xué)能將學(xué)生思維的“魂”和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本統(tǒng)統(tǒng)有力地抓住. 事實(shí)上，學(xué)生運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、假設(shè)、猜想以及聯(lián)想等方法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與提出確實(shí)需要有效的問題情境來激發(fā)和誘導(dǎo). 上述例1中的生活情境其實(shí)也是問題情境的設(shè)計(jì)，學(xué)生的思考在每一個(gè)問題中都會(huì)得到有效的啟發(fā)，而且經(jīng)過這些并列問題的研究之后學(xué)生還提出了這樣的疑惑：“排列和組合這兩者之間有什么必然聯(lián)系嗎？”這個(gè)問題是恰恰順應(yīng)知識(shí)規(guī)律的發(fā)展的，組合數(shù)的計(jì)算這一后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容也正因?yàn)檫@個(gè)問題被引導(dǎo)了出來. 經(jīng)歷過前面幾個(gè)問題的探究，學(xué)生在教師的稍加引導(dǎo)之下就會(huì)挖掘出這兩者之間的聯(lián)系（A=AC）了，組合數(shù)計(jì)算公式的掌握自然不在話下.

2. 變式教學(xué)

教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行諸如問題條件或結(jié)論的轉(zhuǎn)化、問題內(nèi)容或形式等合理的轉(zhuǎn)化，我們稱之為變式. 變式中的問題本質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用的各種變化的情境中是不會(huì)改變的，但是各種條件、結(jié)論、內(nèi)容或者形式的改變卻能使學(xué)生更好地掌握對(duì)象的本質(zhì)屬性. 數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式教學(xué)能夠使學(xué)生進(jìn)一步熟練基本知識(shí)、技能與思想方法并逐步深化，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，變式教學(xué)對(duì)于學(xué)生知識(shí)應(yīng)用中舉一反三、觸類旁通能力的訓(xùn)練是十分有效的. 而且，教師如果能夠持久堅(jiān)持對(duì)學(xué)生變式教學(xué)的引導(dǎo)，學(xué)生的變式思維將會(huì)得到穩(wěn)步激發(fā)和發(fā)展，面對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)往往會(huì)自覺地去思索問題可能存在的變式，解決一種典型習(xí)題就學(xué)會(huì)解決一類相似問題的本領(lǐng)與能力便是在長久變式教學(xué)的訓(xùn)練中形成的. 例如，“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性”這一知識(shí)點(diǎn)的探究中，筆者為學(xué)生提供了這樣一道例題：

例2：已知f（x）=x3-2x2-mx+1，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上呈單調(diào)遞減，請(qǐng)問m的取值范圍如何？

筆者首先進(jìn)行的是這一問題的引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，使得“f（x）≤0在區(qū)間[-2，2]上恒成立”這一命題通過問題的轉(zhuǎn)化而得出，隨后f′（x）max≤0且x∈[-2，2]經(jīng)過轉(zhuǎn)化得出. 在這個(gè)問題的探究告一段落之后筆者繼續(xù)追問學(xué)生：“你能對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行變式嗎？”很快有學(xué)生回答：“如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上呈單調(diào)遞增，m的取值范圍如何？”但這個(gè)問題一經(jīng)闡述立馬有學(xué)生反駁：“應(yīng)該不會(huì)如此容易，f′（x）min≥0才是正確的. ”面對(duì)這個(gè)情況筆者首先對(duì)這兩個(gè)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行了肯定，并請(qǐng)學(xué)生探尋第一位學(xué)生所述變式的思維過程，隨后拋出自己的觀點(diǎn)：m的取值在何范圍時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間？學(xué)生們的思維也一下子活泛了很多：m的取值在何范圍時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間？整節(jié)課就在一個(gè)例題及其變式以及最后單調(diào)性問題的總結(jié)中結(jié)束了.

問題思維的訓(xùn)練

學(xué)生問題意識(shí)的初步養(yǎng)成使得學(xué)生在良好問題情境下逐步能夠提出問題了，并且問題的數(shù)量可能還會(huì)越來越大，但其深度、價(jià)值等問題質(zhì)量卻往往不一定有保障，這還得依賴教師、學(xué)生進(jìn)行有效問題思維的訓(xùn)練才能解決，問題思維的訓(xùn)練又必須要有教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻理解以及對(duì)學(xué)生的科學(xué)引導(dǎo)作為保障.

1. 合情教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法的滲透與教學(xué)在新課程理念中是受到關(guān)注的，高中數(shù)學(xué)課程將“合情推理”這一內(nèi)容也做出了單獨(dú)的體現(xiàn)，提出了具體的要求：學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)例以及生活實(shí)例中能夠?qū)锨橥评淼暮x及其在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用有一定的理解和體會(huì)，并學(xué)會(huì)用歸納與類比的方法進(jìn)行簡單的推理.

（1）歸納教學(xué). 歸納推理是依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的某種性質(zhì)繼而推斷出該類事物所有對(duì)象都具備該種性質(zhì)的過程. 數(shù)學(xué)中概念、定義以及定理等絕大多數(shù)都是從大量事例中進(jìn)行歸納與抽象獲得的. 如多邊形內(nèi)角和的推理就是歸納推理最好的實(shí)例，從三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和、五邊形內(nèi)角和以及六邊形、七邊形等進(jìn)行演算和推理，最終得出n邊形內(nèi)角和的公式：（n-2）·180°（n≥3，n∈N）.endprint

（2）類比教學(xué). 類比推理是在兩個(gè)對(duì)象具備某些相同或相似性質(zhì)時(shí)進(jìn)行其他可能存在的相同或相似性質(zhì)的推理. 類比這一重要的思維與推理的方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是相當(dāng)重要且必不可少的. 數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比教學(xué)的實(shí)例也尤其普遍，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行類比，學(xué)習(xí)余數(shù)函數(shù)時(shí)用正弦函數(shù)進(jìn)行類比，學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)用等差數(shù)列進(jìn)行類比等，很多數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律的教學(xué)確實(shí)離不開這一數(shù)學(xué)思想與方法.

數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納、類比思想的滲透與引導(dǎo)對(duì)于學(xué)生知識(shí)的理解是相當(dāng)有意義的，學(xué)生在歸納、類比的實(shí)際應(yīng)用中往往還能發(fā)現(xiàn)新的問題.

2. 矛盾教學(xué)

兩個(gè)或兩個(gè)以上的陳述、想法以及行動(dòng)之間的不一致我們稱之為矛盾. 數(shù)學(xué)教學(xué)中教師有意設(shè)置矛盾往往對(duì)于學(xué)生認(rèn)知沖突的形成以及問題意識(shí)的激發(fā)都是尤為有效的手段. 例如，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是數(shù)學(xué)知識(shí)中相對(duì)比較難以理解的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，筆者首先要求學(xué)生對(duì)函數(shù)y=sin2x進(jìn)行求導(dǎo)，很多學(xué)生給出了y=cos2x的答案. 筆者對(duì)學(xué)生的答案不置可否，但繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將二倍角公式變形得y=2sinxcosx之后再利用乘法法則進(jìn)行求導(dǎo)，學(xué)生得出了y=2cos2x的這一結(jié)果. 前后兩個(gè)結(jié)果的不一致使得學(xué)生形成了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突并對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行了深入的探究，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則順利得出之后還有學(xué)生對(duì)于如何證明產(chǎn)生了疑問，雖然這個(gè)疑問不是高中階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但我們也因此看到認(rèn)知沖突的產(chǎn)生對(duì)于學(xué)生求知欲望的激發(fā)卻是相當(dāng)有力的. 再如，教師還可以列舉一些典型例子來促進(jìn)學(xué)生對(duì)條件概率的理解，從學(xué)生的慣性思維著手引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行矛盾的探尋，最終形成認(rèn)知沖突繼而發(fā)現(xiàn)問題.

3. 反思教學(xué)

對(duì)自己的思維過程和結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)便是反思，反思在學(xué)習(xí)中必不可少，很多新的問題就是在反思過程中被捕捉與發(fā)現(xiàn)的. 反思教學(xué)是教師對(duì)于自身在教學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)出的行為、決策以及結(jié)果進(jìn)行的審視與分析. 這里所說的“反思教學(xué)”主要指的是學(xué)生這一學(xué)習(xí)的主體在教師的引導(dǎo)下所進(jìn)行的有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)以及解題策略之類的反思、歸納與總結(jié). 學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)往往需要教師這個(gè)不可缺少的引路人，而且，教師在學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)中能夠產(chǎn)生更為有力的促進(jìn)作用. 反思性學(xué)習(xí)的引導(dǎo)和實(shí)踐往往能令學(xué)生更好地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，使得學(xué)生在探究性的活動(dòng)中不斷地增強(qiáng)自身的能力以及創(chuàng)造力，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)問題并提出問題也往往發(fā)生在這個(gè)過程中，學(xué)生一旦形成學(xué)習(xí)反思的習(xí)慣，學(xué)習(xí)中問題的發(fā)現(xiàn)與提出也就不是難事了.endprint