李久省?張程艷?楊柳

【摘 要】隨著社會與科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，課程改革在不斷推進(jìn)，從數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提出到2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的確定，更加明確了高中數(shù)學(xué)教育要以學(xué)生發(fā)展為本，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合。在北京市“十二五”規(guī)劃立項課題“信息技術(shù)條件下，基于課堂實踐教學(xué)的高中數(shù)學(xué)自主性學(xué)習(xí)方式的實驗研究”中，課題組立足于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，利用信息技術(shù)資源開展探索實踐，對數(shù)學(xué)信息技術(shù)手段下，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力進(jìn)行了實踐與思考。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù) 自主學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué)

李久省

北京市特級教師、正高級教師、國家級骨干教師。北京二十中學(xué)數(shù)學(xué)教研室主任。北京市學(xué)習(xí)科學(xué)學(xué)會數(shù)學(xué)專業(yè)委員會理事、海淀區(qū)高中數(shù)學(xué)總督學(xué)、海淀區(qū)高中數(shù)學(xué)教研基地首席教師、海淀區(qū)名師工作站導(dǎo)師、海淀區(qū)兼職教研員。曾參編《人教社B版高中數(shù)學(xué)教科書》《北京市高中數(shù)學(xué)補充教材》等教科書，有十余篇教育教學(xué)論文在數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表并獲獎。

一、信息技術(shù)下，以學(xué)生發(fā)展為本的高中數(shù)學(xué)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》數(shù)學(xué)課程理念中提出要倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在課程目標(biāo)中提到要提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度[1]。隨著時代與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，課程改革也逐步推進(jìn)，新課程改革的重點之一是如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，教學(xué)現(xiàn)狀也亟須學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。提倡獨立思考、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，重視數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，提高教學(xué)的實效性[2]。對于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，是學(xué)生以原有的知識為基礎(chǔ)進(jìn)行主體建構(gòu)的：學(xué)生對老師講授的知識和研究方法敢于質(zhì)疑，大膽發(fā)表不同的見解，使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到提高。

在信息技術(shù)的支持下，信息化教學(xué)模式的開放性給高中學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間。一方面，它使得數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出生動、直觀、形象的感知環(huán)境，增強學(xué)生的主觀能動性，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展；另一方面，學(xué)生能夠自主處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)和運動圖形，在操作的過程中，其觀察能力、實踐能力都得到了相應(yīng)的提高，這更加有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)興趣和積極性得到了調(diào)動，使學(xué)生產(chǎn)生了強烈的學(xué)習(xí)欲望，提高了高中學(xué)生對于數(shù)學(xué)的自主學(xué)習(xí)能力。

二、信息技術(shù)條件下，高中數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的具體實踐與探索

在北京市“十二五”規(guī)劃立項課題“信息技術(shù)條件下，基于課堂實踐教學(xué)的高中數(shù)學(xué)自主性學(xué)習(xí)方式的實驗研究”的課題背景下，我校課題組的老師們利用學(xué)校提供的數(shù)字化校園網(wǎng)絡(luò)平臺和多功能數(shù)學(xué)實驗室，發(fā)揮教育智慧，在對高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)信息技術(shù)手段的應(yīng)用與理解的基礎(chǔ)上，在四年中，開展了一系列的實踐活動。

1.信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念理解

高中數(shù)學(xué)的特點之一是學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象化，很多學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識只流于表面，并容易套路化。而借助信息技術(shù)手段，抽象、難理解的問題可以變得直觀形象，學(xué)生可以在理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，更好地進(jìn)行應(yīng)用，這樣就促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，思維活動也更加活躍，能夠為自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)打下基礎(chǔ)。

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)，從平面過渡到立體，這需要豐富的空間想象能力和平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力。在立體幾何學(xué)習(xí)之初，在數(shù)學(xué)模具的基礎(chǔ)上，可以應(yīng)用幾何畫板等信息技術(shù)手段將幾何體從不同角度旋轉(zhuǎn)起來，動態(tài)生成幾何體或展開圖，演示柱錐體積的三倍關(guān)系等（見圖1、圖2），幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到發(fā)展。

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，是微積分的核心概念，但由于涉及極限等高等數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識無法在高中階段做出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，需要學(xué)生想象與感受。如曲線的切線，這個定義與初中的知識“有一個交點就是切線”這種直觀理解的差別可以在幾何畫板的輔助下，體會割線到切線的極限過程，便于學(xué)生理解（見圖3、圖4）。

對于學(xué)生不好理解的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式等也都可以借助幾何畫板或圖形計算器，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義或幾何意義直觀畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象（見圖5、圖6），這樣會令學(xué)生容易接受，也提高了學(xué)生自主動手研究的興趣。

2.信息技術(shù)手段下的探究式學(xué)習(xí)

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，需要加強實踐環(huán)節(jié)，讓學(xué)生獨立面對一個真正的數(shù)學(xué)對象，展示實質(zhì)性的研究活動，這就需要依靠信息技術(shù)。信息技術(shù)的加入，使學(xué)生自己動手探究成為可能，從而在探究活動中體會并學(xué)習(xí)運用科學(xué)的思維方法解決問題。在課題研究過程中，我們構(gòu)建了信息技術(shù)環(huán)境下，從課內(nèi)到課外，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力為宗旨、以數(shù)學(xué)實驗教學(xué)為主要手段、以學(xué)生課后體驗感受為主要評價方式的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式。這種教學(xué)模式可表述為“引入問題——學(xué)生自主實驗探究（利用幾何畫板、圖形計算器等）——自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論——科學(xué)論證——應(yīng)用拓展——歸納評價”6個環(huán)節(jié)。在實際的教學(xué)過程中，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、實驗?zāi)繕?biāo)及高中生的認(rèn)知水平，有計劃、有側(cè)重地運用信息技術(shù)，讓學(xué)生通過自己動手操作，進(jìn)行探究、實踐、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得對概念的深化理解和數(shù)學(xué)問題的解決。在這個過程中，教師更多的是做問題引導(dǎo)和啟發(fā)，處于主導(dǎo)地位，而學(xué)生處于主動學(xué)習(xí)的地位。

（1）課內(nèi)探究式學(xué)習(xí)實踐

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要主線之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)難點比較多的地方，而幾何畫板和圖形計算器強大的作圖功能可以幫助學(xué)生理解函數(shù)，充分調(diào)動學(xué)生自身的“數(shù)學(xué)觀察”能力與思維能力，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律與性質(zhì)，進(jìn)而解決函數(shù)有關(guān)問題。

在冪函數(shù)教學(xué)中，我們讓學(xué)生借助信息技術(shù)做出已經(jīng)接觸過的冪函數(shù)圖象，并觀察這些函數(shù)圖象的特點，得到這些冪函數(shù)的性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系，學(xué)生分析討論給出指數(shù)對冪函數(shù)的影響，通過不斷改變指數(shù)的值，先猜想冪函數(shù)的圖象，再借助信息技術(shù)手段驗證猜想（見圖7）；而在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，可以讓學(xué)生借助信息技術(shù)作出不同底數(shù)值的指數(shù)函數(shù)圖象，自主探索底數(shù)對函數(shù)的圖象與性質(zhì)的影響（見圖8）。

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的另一個重要主線，特別涉及軌跡問題時，需要依靠想象，這成為學(xué)習(xí)的一個難點。在信息技術(shù)特別是幾何畫板和圖形計算器的支持下，動點軌跡問題變得動態(tài)直觀，學(xué)生可以通過自己動手操作，觀察動點軌跡，再理論論證。

在圓錐曲線的教學(xué)中，給出它們的定義，讓學(xué)生借助信息技術(shù)手段探究出軌跡，通過讓學(xué)生親身體驗，感受定義的要素，并從中體會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維解決數(shù)學(xué)問題（見圖9）。進(jìn)一步，在圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上，可以探究到兩定點距離之比是定值的軌跡（見圖10）。

在課堂教學(xué)中引入信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動手操作獲得動點的軌跡，進(jìn)而改變參數(shù)的值，關(guān)注軌跡的變化，輕松獲得相應(yīng)的軌跡圖象，來解決計算煩瑣和作圖困難的問題。這樣可以引導(dǎo)學(xué)生探索、猜想和發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和性質(zhì)，進(jìn)而引發(fā)自主的理性的證明與思考。

（2）課外探究式學(xué)習(xí)實踐

課外探究式學(xué)習(xí)實踐是指非正常數(shù)學(xué)課所進(jìn)行的學(xué)習(xí)實踐，主要以興趣小組或選修課的形式開展。我們在高二年級開設(shè)了校本選修課“幾何畫板”和“圖形計算器”。在探究活動中，老師負(fù)責(zé)探究的內(nèi)容、學(xué)習(xí)和組織，學(xué)生自己合作討論、動手探究，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和創(chuàng)新能力。

在幾何畫板選修課中，教師考慮到圓錐曲線的軌跡定義法生成過程過于突兀，缺少具體應(yīng)用，便通過指導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板做出折紙的動態(tài)圖，幫助學(xué)生強化概念的幾何屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法（見圖11）。

在圖形計算器選修課中，學(xué)生借助圖形計算器動手解決木桿過拐角的實際問題，抽象出實際問題的數(shù)學(xué)背景——定長線段滑動，從定長線段上點的軌跡探究到觀察線段的滑動情況，進(jìn)而解決通過給定拐角的木桿的最大長度（見圖12）。

學(xué)生體會一：“通過幾何畫板的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)幾何畫板是我所見過的眾多教學(xué)軟件中最特殊的一個。嚴(yán)格地說，幾何畫板是學(xué)習(xí)探究的工具。我覺得幾何畫板能讓我們對一些幾何難題有更深的理解。還能讓我們對一些未知的函數(shù)圖象或者是幾何圖形有更好的探索方式，讓我們漸漸培養(yǎng)出一種幾何意識?！?/p>

學(xué)生體會二：“經(jīng)過一段時間的選修課學(xué)習(xí)，現(xiàn)在我已經(jīng)可以使用圖形計算器去驗證自己的部分猜想。盡可能地使用其數(shù)據(jù)處理功能、函數(shù)功能、圖形功能、簡單編程功能?？梢愿又庇^地繪制各種圖形，通過動態(tài)演示、跟蹤軌跡來更加快捷地驗證自己的猜想?！?/p>

信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課程的結(jié)合，能將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動形象，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，將課堂真正交給學(xué)生，學(xué)生由被動的“聽”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)為主動的“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生更想學(xué)、更會學(xué)。

三、信息技術(shù)條件下，培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力的思考

1.由信息技術(shù)支撐的數(shù)學(xué)實驗課堂教學(xué)模式，使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)成為重要的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的主體。

2.課題實踐證明，信息技術(shù)支持下的高中數(shù)學(xué)自主性學(xué)習(xí)，使學(xué)生不再僅僅是“聽”數(shù)學(xué)，而是通過“做”數(shù)學(xué)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的親身體驗和深刻感悟，領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的作用與價值。這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的具體體現(xiàn)，只有通過讓學(xué)生經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及發(fā)現(xiàn)和解決問題的綜合能力。借助圖形計算器、幾何畫板及其他現(xiàn)代信息技術(shù)，能夠化抽象為具體、化靜為動，可以最大限度地發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動性與創(chuàng)新性，更好地發(fā)揮教師的引導(dǎo)、調(diào)節(jié)作用與創(chuàng)新精神。

3.信息技術(shù)條件下，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力對教師提出了更高的要求。因此，教師更要善于學(xué)習(xí)，勤于探索，大膽嘗試，要不斷提高自身的教育理論素養(yǎng)和專業(yè)知識水平，更重要的是提高自己運用信息技術(shù)的技能和實際教學(xué)的能力。

信息技術(shù)不僅能夠提高課堂教學(xué)質(zhì)量，而且還能使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不受時間和空間的限制，改變傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生被動接受的單一方式，逐漸形成富有啟發(fā)性、探究性、開放式、個性化的學(xué)習(xí)局面。信息技術(shù)的運用，更有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維能力的提高，更有利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)，為學(xué)生們的終身學(xué)習(xí)奠定基石！

參考文獻(xiàn)

[1] 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2004： 1-4.

[2] 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2018： 2-3.

本文系北京市“十二五”規(guī)劃立項課題“信息技術(shù)條件下，基于課堂實踐教學(xué)的高中數(shù)學(xué)自主性學(xué)習(xí)方式的實驗研究”成果。課題編號：AJA14183。課題組成員名單：李久?。ㄘ?fù)責(zé)人）、張程艷、王曉青、李明燕、伊紅旗、吳雅萍、王瑞群、龔禹、付莉、楊柳、付靜、馬可、羅艷、李曉龍、劉穎。

（作者單位：北京市第二十中學(xué)）

責(zé)任編輯：孫昕

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