夏幫紅

摘要：現(xiàn)代教育注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，建模能力則是初中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要組成部分。在教學(xué)過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生的抽象和概括能力是培養(yǎng)建模能力的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是培養(yǎng)建模能力的核心，在建模教學(xué)中結(jié)合專題講座與建模法研究，通過討論、分析和研究一些具體的數(shù)學(xué)模型是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的重要途徑，評(píng)價(jià)是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的有效方法和手段。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；建模能力；初探

隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大，不但應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算，而且滲透到經(jīng)濟(jì)、軍事、管理以至于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各領(lǐng)域。社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才，更大量的是需要從事實(shí)際工作的人運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問題，以取得經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。通過對(duì)實(shí)際問題的分析、抽象，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題，是各行業(yè)、各領(lǐng)域大量需要的，也是我們的學(xué)生走上工作崗位后常常要做的工作，社會(huì)對(duì)具有這種能力的人的需求，比對(duì)數(shù)學(xué)專門人才的需求要多得多。以前的基礎(chǔ)教育在數(shù)學(xué)教育中對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、建模能力、應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)滯后于社會(huì)的發(fā)展。社會(huì)的需求催生了課改，也為課改提供了動(dòng)力，新一輪的課改重視對(duì)學(xué)生建模能力的培養(yǎng)，因此數(shù)學(xué)教育工作者，在教學(xué)過程中要有計(jì)劃、有步聚地培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)模型的概念及種類

著名數(shù)學(xué)家艾爾弗雷德·諾思·懷特海曾說“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究”。所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的；各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模則是指把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用過程。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型和構(gòu)建模型的思想方法，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的一般過程是：審題——建?！竽！?yàn)證。首先要審題，明確題意，理順數(shù)量關(guān)系，理解問題的實(shí)際背景；其次選取基本變量，將有關(guān)的數(shù)量關(guān)系借助于數(shù)學(xué)符號(hào)、語(yǔ)言抽象概括成一個(gè)數(shù)學(xué)模型；再次，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；最后，把求得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到實(shí)際問題中去，分析、判斷結(jié)論的真?zhèn)?，解決實(shí)際問題。

初中數(shù)學(xué)建模是建模的初級(jí)階段，主要的數(shù)學(xué)模型有以下幾種類型：

1、方程型

初中數(shù)學(xué)體系中，方程型數(shù)學(xué)模型有一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程。方程型數(shù)學(xué)模型是最重要最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)數(shù)量之間的相等關(guān)系都可通過建立方程型數(shù)學(xué)模型加以解決。我國(guó)古代的算書《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何？”就是比較典型的利用方程型數(shù)學(xué)模型求解的數(shù)學(xué)問題。

2、不等式型

不等式型數(shù)學(xué)模型也是一種重要的數(shù)學(xué)模型，它與函數(shù)聯(lián)系緊密。從近幾年各地的中考試題看，可通過建立不等式型數(shù)學(xué)模型求解的試題出現(xiàn)的頻率越來越高，試題的類型也日漸豐富，這類試題與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力，有很強(qiáng)的選拔功能。

3、函數(shù)型

函數(shù)型數(shù)學(xué)模型主要包括一次函數(shù)和二次函數(shù)，北師大版初中《數(shù)學(xué)》教材對(duì)函數(shù)知識(shí)的編排由淺入深、螺旋上升，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)也提高了對(duì)函數(shù)的要求。函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，常見的最優(yōu)化問題如最佳投資、最小成本等，常常化歸為函數(shù)型數(shù)學(xué)模型，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)變量的限制條件，利用函數(shù)的最值問題求解。

4、幾何型

幾何型數(shù)學(xué)模型也是一種非常重要的數(shù)學(xué)模型，涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，如航行、建筑、測(cè)量等，常需建立相應(yīng)的幾何型數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用幾何知識(shí)，利用方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)求解。幾何入門后，求兩地之間的距離是常見的幾何問題。例如有一池塘，要測(cè)量池塘的兩端AB的距離，直接測(cè)量有障礙，用什么方法測(cè)出AB的長(zhǎng)度？對(duì)于這個(gè)問題，隨著學(xué)習(xí)的深入，有多種建模求解的方法。

建模一：構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問題，求出AB。

建模二：構(gòu)造等腰三角形或等邊三角形，求出AB。

建模三：構(gòu)造三角形及其中位線，利用中位線的性質(zhì)求出AB。

建模四：構(gòu)造全等或相似三角形求出AB。

二、建模能力對(duì)學(xué)生的重要性

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以使學(xué)生多方面受益，1994-1998年度世界數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席D.Mumford在1998年論述現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢(shì)時(shí)說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義，我想承認(rèn)這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)會(huì)從中受益”。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為學(xué)生的收獲主要表現(xiàn)在以下方面：一是學(xué)習(xí)、掌握基本數(shù)學(xué)思維方法，學(xué)習(xí)如何應(yīng)用科學(xué)方法解決問題；二是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣；三是提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)建模過程有較大的靈活性，沒有現(xiàn)成的模式或通式，對(duì)同一個(gè)問題，從不同角度，不同要求出發(fā)可以建立不同的模型。通過數(shù)學(xué)建?？梢詾閷W(xué)生提供一個(gè)自主學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，使學(xué)生從不同的角度窺探出事物的本質(zhì)特征，因此數(shù)學(xué)建模也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一條重要途徑。endprint

三、怎樣培養(yǎng)學(xué)生的建模能力

現(xiàn)代教育注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過程正是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想、方法、語(yǔ)言來表達(dá)、描述和解決實(shí)際問題的過程。在建?；顒?dòng)中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，通過觀察分析，提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，不但可以使學(xué)生在知識(shí)、技能、方法、情感、態(tài)度等方面獲得全方位的發(fā)展，而且可以鍛煉他們克服困難的意志，如何培養(yǎng)學(xué)生的建模能力呢？

教師素質(zhì)的高低，直接影響著對(duì)學(xué)生建模能力的培養(yǎng)。為了培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先提高自己的建模能力。這不僅意味著我們?cè)诮虒W(xué)內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學(xué)觀念的更新。實(shí)際教學(xué)工作中，教師必須牢固樹立以“學(xué)生發(fā)展為本”的思想，關(guān)注數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展動(dòng)態(tài)，不斷學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)建模理論，加強(qiáng)自身修養(yǎng)，提高自身業(yè)務(wù)水平，努力鉆研培養(yǎng)學(xué)生建模能力的方法。

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的關(guān)鍵。學(xué)習(xí)興趣是一種力求認(rèn)識(shí)世界、渴望獲得知識(shí)和不斷探求真理而帶有情緒色彩的意識(shí)傾向。俄國(guó)教育家烏申斯基指出：“沒有任何興趣的強(qiáng)制性學(xué)習(xí)將會(huì)扼殺學(xué)生掌握知識(shí)的意愿?！币胱寣W(xué)生學(xué)到東西，學(xué)生自己得渴望學(xué)習(xí)，而不是要老師逼著學(xué)。要不斷的激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)。美國(guó)著名教育家沃德曾說：“平庸的老師傳達(dá)知識(shí)；水平一般的老師解釋知識(shí)；好的老師演示知識(shí)；偉大的老師激勵(lì)學(xué)生去學(xué)習(xí)知識(shí)?！痹跀?shù)學(xué)建模教學(xué)中，很多例題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，教師要善于抓住這個(gè)有利條件，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的問題情景，激發(fā)學(xué)生的求知欲。另外培養(yǎng)學(xué)生建模興趣的途徑之一是從一些學(xué)生容易下手的實(shí)際問題出發(fā)，讓他獲得成功的體驗(yàn)，享受成功的喜悅，使學(xué)生覺得“數(shù)學(xué)建?！蔽乙残校鸩脚囵B(yǎng)他們的建模能力。

培養(yǎng)學(xué)生的抽象和概括能力是培養(yǎng)建模能力的基礎(chǔ)。學(xué)生的抽象和概括能力是有層次的、逐步深入的。隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生的思維逐步從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。初中階段的數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生有較強(qiáng)的抽象和邏輯思維能力，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平調(diào)整自己的教學(xué)，使教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”相匹配。另外，知識(shí)的呈現(xiàn)要有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、推理、猜想等手段，抽取出事物的本質(zhì)屬性和特征，并將這些特征推廣到同類事物中去，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生抽象和概括能力的目的。在概括過程中，要重視變式訓(xùn)練的作用，通過變式，使學(xué)生達(dá)到對(duì)新知識(shí)全面、深刻的認(rèn)識(shí)。

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是培養(yǎng)建模能力的核心。建模能力從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)建模要經(jīng)過審題——建?！竽！?yàn)證等程序，需要運(yùn)用觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等基本思維方法，最大限度地利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，抽象出實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)信息，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而找到解決實(shí)際問題的方法。其實(shí)質(zhì)是要讓學(xué)生通過自己的概括活動(dòng)，“構(gòu)造”出問題的數(shù)學(xué)模型，探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。模型的構(gòu)造并不是一件容易的事，它是在原有問題上的創(chuàng)新，它要求學(xué)生創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。通過數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，可以使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法，提高思維品質(zhì)，在一定程度上優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，因此在培養(yǎng)學(xué)生的建模能力的過程中要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

在建模教學(xué)中結(jié)合專題講座與建模法研究，通過討論、分析和研究一些具體的數(shù)學(xué)模型是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的重要途徑。中學(xué)階段，常用的建模方法有“代數(shù)建模法”和“圖解建模法”，這兩種建模方法都可采用機(jī)理分析及統(tǒng)計(jì)分析兩種方法。著名的“格尼斯堡七橋問題”就是在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上利用“圖解建模法”建模并解決問題的一個(gè)有名的例子。18世紀(jì)的歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城格尼斯堡，那里有七座橋，居民經(jīng)常沿河過橋散步，到兩岸、河心島、半島上一覽風(fēng)光（如圖1），有好事者提出了這樣一個(gè)問題：一個(gè)散步者怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？這個(gè)問題看起來似乎不難，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè)問題。最后，這個(gè)難題擺到了彼得堡科學(xué)院的歐拉教授面前，歐拉教授利用“圖解建模法”把七橋問題進(jìn)行了數(shù)學(xué)抽象（如圖2）。他把4塊陸地看作4個(gè)點(diǎn)，把7座橋畫成7條線。七橋問題就簡(jiǎn)化成能否一筆畫出這7條線段和4個(gè)交點(diǎn)組成的幾何圖形的問題。于是很快就得出了答案，那種不重復(fù)的路線根本就不存在。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)既具有一定的理論性又具有很強(qiáng)的實(shí)踐性，通過分析和研究一些具體的數(shù)學(xué)建模的方法，向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)建模的重要思想，能促使學(xué)生掌握建模的基本方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

評(píng)價(jià)是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的有效方法和手段，要重視和加強(qiáng)對(duì)學(xué)生建模過程和結(jié)果的評(píng)價(jià)。對(duì)學(xué)生建模過程和結(jié)果的評(píng)價(jià)能為學(xué)生了解自己建模過程和結(jié)果的優(yōu)劣提供直接的反饋信息，肯定的評(píng)價(jià)可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生建模的積極性，提高建模的興趣。否定的評(píng)價(jià)可以幫助學(xué)生看到自己的差距，找出錯(cuò)誤及其“癥結(jié)”之所在，以便在教師的指導(dǎo)下“對(duì)癥下藥”，及時(shí)糾正，提高學(xué)生的建模能力。對(duì)學(xué)生建模過程和結(jié)果的評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)方面：創(chuàng)新性，問題的提出和解決的方案有新意。合理性，建模過程中使用的數(shù)學(xué)方法得當(dāng)，求解過程合乎常理。有效性，建模的結(jié)果能解決一定的實(shí)際問題。教師的評(píng)價(jià)要具有客觀性和指導(dǎo)性。客觀性指要實(shí)事求是地對(duì)學(xué)生的建模過程和結(jié)果加以評(píng)價(jià)，不帶主觀性。指導(dǎo)性指評(píng)價(jià)應(yīng)在指出學(xué)生的長(zhǎng)處、不足的基礎(chǔ)上提出建設(shè)性意見，使學(xué)生能夠發(fā)揚(yáng)優(yōu)點(diǎn)、克服缺點(diǎn)，不斷前進(jìn)。

總之，要真正培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，光憑傳授知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，在教學(xué)中必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體，不能脫離學(xué)生搞一些不切實(shí)際的建模教學(xué)，我們的教學(xué)活動(dòng)必須以調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主活動(dòng)，提高學(xué)生的建模意識(shí)和能力。只有這樣才能使學(xué)生分析和解決問題的能力得到長(zhǎng)足的進(jìn)步，也只有這樣才能真正提高學(xué)生的建模能力，使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

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