楊鋒

[摘? 要] 布魯納曾說任何知識都可以一定方式教給任何年齡段的兒童，這句教育名言，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了體現(xiàn). 原本應(yīng)當(dāng)作為大學(xué)高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，已在高中階段走過了十個年頭. 導(dǎo)數(shù)教學(xué)的成功，給我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了一定的啟示. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以用一定方式教給學(xué)生“上層”的數(shù)學(xué)內(nèi)容，以幫助高中學(xué)生開拓解題視野，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并對未來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)工作.

[關(guān)鍵詞] 內(nèi)容下移;教學(xué)方向;教學(xué)反思;導(dǎo)數(shù)

早些年讀美國大教育家布魯納的《教育過程》一書時，對于他書中提出“任何知識都可以一定方式教給任何年齡段的兒童”相當(dāng)不理解. 怎么可能讓一個小孩能理解函數(shù)甚至是微積分的知識呢？直到高中數(shù)學(xué)中有導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)后，通過教學(xué)筆者終于明白，布魯納所謂的“任何知識可以教給任何年齡段的兒童”這句話的關(guān)鍵在于“以一定的方式”. 通過對高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程的反思，我們提出內(nèi)容下移：數(shù)學(xué)教學(xué)的一種可行方向.

內(nèi)容下移：源自于導(dǎo)數(shù)教學(xué)成功推行的啟示

導(dǎo)數(shù)內(nèi)容原本是作為高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，供大學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使用，然而隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，它逐步下移作為高中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容. 它的下移，為我們對高等數(shù)學(xué)中的其他數(shù)學(xué)知識進(jìn)行下移教學(xué)提供了啟示.

雖然導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容自上世紀(jì)末就已經(jīng)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中了，但當(dāng)時導(dǎo)數(shù)部分僅是學(xué)生自學(xué)閱讀的材料，而不作為高考的考點(diǎn). 所以在這段時間中，只能算作導(dǎo)數(shù)下移的嘗試階段. 直至2008年開始，導(dǎo)數(shù)正式奠定其高考必考知識點(diǎn)的地位，才算導(dǎo)數(shù)下移教學(xué)真正實(shí)施階段.高等數(shù)學(xué)中對導(dǎo)數(shù)的定義是“設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，若自變量在x0處取增量Δx時，y取對應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）;按照高等數(shù)學(xué)知識邏輯，導(dǎo)數(shù)的講解是必須建立在極限概念的基礎(chǔ)上. 然而，極限概念的完整定義對于高中學(xué)生而言，顯然不在他們的最近發(fā)展區(qū)內(nèi). 這并不意味著在高中階段就不能進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的下移教學(xué)，十年的教學(xué)歷程，充分表明高中階段的學(xué)生完全有能力接受導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容. 只不過我們并不是以高等數(shù)學(xué)中的極限作為導(dǎo)數(shù)教學(xué)的切入口，而是用學(xué)生生活中經(jīng)常遇到的平均變化率為跳板，向瞬時變化率過渡，逐步地向?qū)W生展示了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì). 其實(shí)，在由平均變化率向瞬時變化率過渡的過程中所用逼近思想就是一種具有通俗意義的、能夠直觀觀察到的極限，也許這樣的教學(xué)安排，淡化了所謂定義的嚴(yán)密性，但它并沒有背離導(dǎo)數(shù)原有的意義，而是一種直觀和通俗的，能夠讓學(xué)生理解講法表達(dá)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).

這或許就印證了布魯納所說的那句名言“任何知識都能以一定的方式去教給任何年齡段的學(xué)生.”恰恰也是十年導(dǎo)數(shù)教學(xué)的成功，給我們數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了啟示. 高等數(shù)學(xué)中的那些種種復(fù)雜的內(nèi)容是否都能換一種面貌與高中的學(xué)生“見面”呢？這些能夠換個面貌與高中學(xué)生見面的數(shù)學(xué)知識是否有沒有必要都講呢？以布魯納的教育理論為依據(jù)，我們認(rèn)為高等數(shù)學(xué)中的很多復(fù)雜數(shù)學(xué)內(nèi)容都可以用一定的形式來講給高中學(xué)生，但由于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有其固有的范圍限制，所以我們所選取的“上層”數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)以能夠服務(wù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)為依據(jù).

案例枚舉：數(shù)學(xué)課堂中常見“內(nèi)容下移”教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課堂講解“上層”數(shù)學(xué)知識應(yīng)當(dāng)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，以此為標(biāo)準(zhǔn)筆者在數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常會講如下的“上層”知識.

“內(nèi)容下移”數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

導(dǎo)數(shù)在高中階段的成功教學(xué)，為我們的內(nèi)容下移教學(xué)提供啟示，然而，在進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)的過程中，需要我們教師依照一切選擇都以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù)為標(biāo)準(zhǔn)，同時在講解的時候不能完全按照高等數(shù)學(xué)中的原樣表述，而應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)馗膿Q形式進(jìn)行教學(xué).

首先，進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)應(yīng)當(dāng)以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù)為標(biāo)準(zhǔn). 眾所周知數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)，然而為了更好地發(fā)展學(xué)生的這六大素養(yǎng)，選擇一定上層知識對數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)是有必要的，因?yàn)檫@些上層知識需要學(xué)生更高水平的數(shù)學(xué)思維，然而選擇應(yīng)當(dāng)有一定的限度，并不是所有的上層數(shù)學(xué)知識都可以進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課堂. 我們的選擇應(yīng)當(dāng)是與高中數(shù)學(xué)知識有關(guān)聯(lián)的，并且在學(xué)生所能夠接受的范圍內(nèi)的知識.倘若選擇的知識是與高中數(shù)學(xué)知識無關(guān)的，那就無從談起下移教學(xué)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)了;倘若選擇的知識不在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，則學(xué)生是無法理解的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力自然也不可能實(shí)現(xiàn).

其次，對選擇的內(nèi)容要做適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變，從而幫助學(xué)生去理解，為后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 例如，上述三個案例中我們直接敘述極限、內(nèi)積與范數(shù)及仿射變換的定義，顯然以高中階段學(xué)生的知識背景是無法理解的. 如果不改變其形式，也就失去了我們進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)的初衷——為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，為學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù). 正如我們導(dǎo)數(shù)的教學(xué)一樣，我們并不是將導(dǎo)數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ)建立在極限的基礎(chǔ)上，而是用變化率作為橋梁，以趨向于的字眼讓學(xué)生去體會導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，在這樣的過程中學(xué)生能夠直接體會逼近思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.有了這樣的數(shù)學(xué)思想作為基礎(chǔ)，在后繼高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，遇到極限概念時，學(xué)生就不會感到突兀，感到難以接受了.