許永鑫

【摘要】教育目標(biāo)當(dāng)中，要求學(xué)生需具備良好的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，落實(shí)在高等數(shù)學(xué)中的不定積分解題上，即要求學(xué)生能夠具備一題多解的能力，可以利用多元化的解題思路從不同的角度進(jìn)行思考和切入，并結(jié)合具體題目要求靈活使用相應(yīng)的解題方法進(jìn)行準(zhǔn)確作答.在這一基礎(chǔ)上，本文將通過結(jié)合具體例題，嘗試對(duì)不定積分的一題多解進(jìn)行簡(jiǎn)要分析研究.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);不定積分;一題多解

一、不定積分的一題多解

（一）常規(guī)思路下的多樣解法

1.湊微分法

在解決不定積分的高等數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生首先要對(duì)題目尤其是已知條件進(jìn)行仔細(xì)觀察，通過結(jié)合題目實(shí)際情況靈活運(yùn)用其以往所學(xué)知識(shí)內(nèi)容，在活用不定積分的具體性質(zhì)、基本積分公式等基礎(chǔ)之上，進(jìn)而嘗試運(yùn)用多樣化的解題思路進(jìn)行作答.比如，在求不定積分∫sinxsinx+cosxdx一題當(dāng)中，可運(yùn)用湊微分法對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，進(jìn)而求解出最終答案.原式可以在湊微分法的運(yùn)用下轉(zhuǎn)化成12∫sinx+cosxsinx+cosxdx-12∫（sinx+cosx）sinx+cosxdx，通過進(jìn)一步推導(dǎo)可得∫sinxsinx+cosxdx=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

2.換元法

在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，換元法是其中一種重要且常用的解題思路，其通過用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)或是代數(shù)式對(duì)原式中復(fù)雜的公式、函數(shù)等進(jìn)行等效替換，從而在有效降低解題復(fù)雜性和難度的基礎(chǔ)上快速求解出正確答案.比如，在求解不定積分∫sinxsinx+cosxdx時(shí)，可以用a表示tanx2，則原式將在換元法下被替換成∫4a（a2+1）（2a+1-a2）da，即∫sinxsinx+cosxdx=arctana+ln（a2+1）2.再對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)可得∫sinxsinx+cosxdx=-ln|a2-2a-1|2+C=x2+12ln1+tan2x2=-12lntan2x2-2tanx2-1+C.在換元法的運(yùn)用下，原本為三角函數(shù)的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成了有理函數(shù)，最后通過有理函數(shù)積分法即可進(jìn)行準(zhǔn)確作答.

3.對(duì)稱性法

數(shù)學(xué)學(xué)科中蘊(yùn)含著豐富的形式美，一方面，大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的美感以及學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣;另一方面，也可被靈活運(yùn)用在解題當(dāng)中，有效拓展學(xué)生的解題思路.學(xué)生通過對(duì)題目進(jìn)行深入觀察，可在組合積分法的靈活運(yùn)用下將其自身的對(duì)稱性充分展示出來，隨后利用這一對(duì)稱性特點(diǎn)進(jìn)行作答.在求解積分T1=∫baf（x）dx的過程中，便可以利用其自身的對(duì)稱性，重新建立一個(gè)與之近乎相同的新積分T2，即T2=∫bag（x）dx，隨后用T1表示不定積分∫sinxsinx+cosxdx，而T2基本與T1一樣，因此，也等于∫sinxsinx+cosxdx.此時(shí)T1與T2之和等于x+C1，而將兩者進(jìn)行相減之后可得T1-T2=∫sinx-cosxsinx+cosxdx=-∫1sinx+cosxd（sinx+cosx）=-ln|sinx+cosx|+C2.在對(duì)由T1與T2共同組合而成的方程組進(jìn)行求解之后，即可得到T1=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

（二）發(fā)散思維下的多樣解法

1.分解部分有理真分式

在不定積分的解題過程中，除了采用傳統(tǒng)的思維方式，想要實(shí)現(xiàn)不定積分的一題多解，同時(shí)還需要學(xué)生能夠主動(dòng)運(yùn)用發(fā)散思維，在結(jié)合以往所學(xué)知識(shí)和解題技能的基礎(chǔ)上探索出更多新穎的解題方式.比如，在不定積分∫sinxsinx+cosxdx的求解過程中，學(xué)生便可以借助三角恒等式變形，分解部分有理真分式，同時(shí)令分子、分母除以sinx，此時(shí)不定積分∫sinxsinx+cosxdx=∫11+cotxdx，再展開計(jì)算可得∫csc2x（1+cotx）（1+cot2x）dx=-12∫1cotx+1+1-cotx1+cot2xdcotx，此時(shí)經(jīng)過再次推導(dǎo)整理可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+cot2x）-12ln|1+cotx|+C.

2.充分利用被積函數(shù)特征

在本文所給出的不定積分∫sinxsinx+cosxdx的例題當(dāng)中，其屬于三角函數(shù)有理式積分，也就是∫R（cosx，sinx）dx這一類型積分.在實(shí)際解題過程中，如果可以充分運(yùn)用被積函數(shù)的具體特征，同樣也可以探尋出全新的解題思路，達(dá)到一題多解的效果.在不定積分∫sinxsinx+cosxdx中，R（-cosx，-sinx）與R（cosx，sinx）相等，此時(shí)將tanx用t表示即可得到sinx=cosx=tt2+1，dx=11+t2dt，此時(shí)∫sinxsinx+cosxdx=∫t（t+1）（1+t2）dt，再進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+tan2x）-12ln|1+tanx|+C.

二、關(guān)于不定積分一題多解的反思

在嘗試對(duì)不定積分進(jìn)行一題多解時(shí)，學(xué)生還需要加強(qiáng)對(duì)被積函數(shù)定義域的重視，并隨時(shí)注意在求解時(shí)被積函數(shù)定義域是否會(huì)發(fā)生變化.而在對(duì)不定積分進(jìn)行變形的過程中則必須使用恒等變形，變量替換下，新變量和原變量的取值范圍需要前后對(duì)應(yīng)，在完成全部求解計(jì)算之后，學(xué)生也需要及時(shí)對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo)驗(yàn)證，當(dāng)求導(dǎo)數(shù)與被積函數(shù)相等時(shí)即證明解題正確，反之則需要學(xué)生重新回顧整體解題過程尋找錯(cuò)誤之處以及時(shí)進(jìn)行改正.

三、結(jié)束語

在對(duì)不定積分進(jìn)行一題多解下，學(xué)生可以有意識(shí)地靈活運(yùn)用各種各樣的解題思路和解題方法，不僅有助于其對(duì)不定積分基礎(chǔ)知識(shí)及其求解方法的融會(huì)貫通，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.因此，在實(shí)際進(jìn)行解題時(shí)，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際情況，主動(dòng)運(yùn)用自身的發(fā)散思維，在注重被積函數(shù)定義域的基礎(chǔ)之上從不同角度切入進(jìn)行一題多解，進(jìn)而深化不定積分的學(xué)習(xí).