☉安徽省寧國市津河中學(xué) 汪庭斌

例談不等式證明的幾種策略

☉安徽省寧國市津河中學(xué) 汪庭斌

不等式有很多證明方法，筆者通過平時的教學(xué)實踐，闡述證明不等式的幾種方法，以期給初學(xué)者有所幫助，不對之處，歡迎指正.

策略一：待定系數(shù)法

有的題目往往很難湊出所要證明的式子，我們可以采取待定系數(shù)法來解決.

例1已知a，b∈R+，求證：

分析：嘗試找到一個r，使得成立，故只需

依據(jù)已知條件可知原不等式等號成立時，a=b.

由上述分析可知：當(dāng)a=1時，（fa）取得最小值0.

證明：

問題得證.

策略二：切線法

有的題目可以構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)的切線解決不等式的證明.

例2 已知a，b∈R+，求證：

故可猜想y=Ax+B是（fx）在（1，（f1））處的切線方程.所以

策略三：割線法

例3 已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求證

分析：可知兩點的割線方程是，故只需證+1在（0，1）上恒成立即可.

策略四：定積分解法

有類數(shù)列求和形式的不等式問題，通常是不等式與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，是高考的熱點，對于此類不等式問題，常用的方法是數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造函數(shù)法，但是難度大，較難尋找解決問題的切入點.利用定積分的幾何意義（曲邊梯形的面積）來解決這類問題會收到意想不到的效果.

例4設(shè)函數(shù)（fx）=ln（1+x），g（x）=xf（′x），x≥0，其中f（′x）是（fx）的導(dǎo)函數(shù).

（1）g（1x）=g（x），gn+（1x）=g（g（nx）），n∈N*，求g（nx）的表達式；

（2）若（fx）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-（fn）的大小，并加以證明.

分析：本題以函數(shù)為載體，導(dǎo)數(shù)為工具，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.下面來分析第（3）問.

思路一：構(gòu)造函數(shù)

圖1

圖2

思路二：因為需要比較的結(jié)果為，等價于構(gòu)造函數(shù)并作圖像如圖2所示.因函數(shù)在［1，n+1］上是增函數(shù)，由函數(shù)圖像可知，在區(qū)間［1，n+1］上的n個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，即

這類數(shù)列求和形式的不等式證明難度較大，往往令人望而生畏.要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是建立在充分理解和掌握定積分有關(guān)知識的前提下，同時善于分析、善于聯(lián)想、善于化歸，才能達到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.

策略五：放縮策略

放縮法是一種常用的證明技巧，主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.猜想與遞推是數(shù)列中常見的問題.而放縮法時常是數(shù)列證明問題中至關(guān)重要的一種策略，下面舉例加以說明：

例5 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

分析：由題目我們很容易得出），構(gòu)造輔助數(shù)列可以得出數(shù)列｛a｝的通項公式；n第（2）問中不等式左邊的數(shù)列無法用公式進行求和，所以可以利用第（1）問中的結(jié)論對數(shù)列的通項進行適當(dāng)?shù)姆趴s.

證明：（1）由an+1=3an+1得

此外，對于這個問題的解答也可以通過遞推放縮來完成，可以使證明過程更加簡潔明了.

放縮法是證明問題的一種重要方法，特別是在證明數(shù)列不等式過程中，使用放縮法的關(guān)鍵是找到與需要證明的結(jié)論相關(guān)的關(guān)系，對于不同的問題可以適當(dāng)變換策略.如改整體放縮為局部放縮，并兼顧整體特征來達到解決問題的目的.