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        歐拉不等式的一個加強(qiáng)的改進(jìn)及其類似

        2017-12-24 11:28:46
        數(shù)學(xué)通報 2017年2期
        關(guān)鍵詞:對式波利亞十全十美

        王 圣

        (安徽滁州中學(xué) 239000)

        設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學(xué)家歐拉于1765年建立,該不等式具有簡單而不平凡的特點,關(guān)于它的各種加強(qiáng)、隔離和推廣的研究從未間斷過. 文[1]給出歐拉不等式與邊長間的一個不等式鏈,文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式

        定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑,則有(Σ表示循環(huán)和)

        (1)

        當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

        (2)

        下面給出式(2)的證明.

        由于

        原本到此,對式(1)的探究可以暫告一個段落了,但是數(shù)學(xué)大師波利亞告誡我們:“沒有一道題目可以解決得十全十美,總存在值得我們探究的地方”,那么式(1)是否還有東西可以進(jìn)一步的挖掘?

        定理2設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑,則有

        (3)

        當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

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