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        數(shù)學(xué)問題解答

        2017-12-24 11:28:48
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年2期
        關(guān)鍵詞:不等號(hào)外接圓垂線

        2016年12月號(hào)問題解答(解答由問題提供人給出)

        2341已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求證:

        a+ab+abc+abcd≤4.

        (陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

        證明(1)先證3元的類似不等式:

        已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求證:

        a+ab+abc≤4.

        (*)

        事實(shí)上,由條件知a≤3,應(yīng)用2元均值不等式,得

        a+ab+abc=a+ab(1+c)

        所以

        a+ab+abc≤4.

        (2)再證4元的不等式:

        由條件a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,得

        于是,條件變形為a+d,b,c≥0,(a+d)+b+c=3,并注意應(yīng)用(*),得

        a+ab+abc+abcd

        =(a+abcd)+ab+abc

        ≤(a+d)+ab+abc

        ≤(a+d)+(a+d)b+(a+d)bc≤4.

        所以

        a+ab+abc+abcd≤4.

        容易獲知,等號(hào)成立的條件為(a,b,c,d)=(2,1,0,0).

        2342設(shè)⊙N切△ABC的兩邊CA,CB于點(diǎn)E,F(xiàn),同時(shí)與△ABC的外接圓⊙O內(nèi)切于點(diǎn)P.連結(jié)CN并延長(zhǎng)交⊙O于T,求證:⊙(T,TB)與EF相切 .

        (湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀斌 441700)

        證明設(shè)CT與EF交于點(diǎn)S,連結(jié)TO并延長(zhǎng)交⊙O于M,連結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于Q(點(diǎn)N在PQ上),則

        ∠CFN=∠CSF=90°,

        所以NC·NS=NF2.

        又NC·NT=NP·NQ=NF·NQ,

        所以NC·NS+NC·NT=NF2+NF·NQ.

        而NC·NS+NC·NT=NC·(NS+NT)

        =NC·TS,

        NF2+NF·NQ=NF·(NF+NQ)

        =NF·(NP+NQ)

        =NF·PQ,

        所以NC·TS=NF·PQ.

        又因?yàn)椤鰿FN∽△MBT,

        所以NC·TB=NF·PQ.

        由①、②得NC·TS=NC·TB,TS=TB.

        注意到CT⊥EF知,EF是以點(diǎn)T為圓心,定線段TB長(zhǎng)為半徑的圓的切線.

        故⊙(T,TB)與EF相切.

        2243設(shè)ai,xi,λi∈R,(i=1,2,…,n,n≥2),t∈R,且

        M1=λ1x1+λ2x2+…+λn-1xn-1+λnxn>0,

        M2=λ2x1+λ2x2+…+λnxn-1+λ1xn>0,

        ,

        Mn=λnx1+λ1x2+…+λn-2xn-1+λn-1xn>0,

        并令

        N1=(t-λ1)x1+(t-λ2)x2+…+(t-λn)xn,

        N2=(t-λ2)x1+(t-λ3)x2+…+(t-λ1)xn,

        Nn=(t-λn)x1+(t-λ1)x2+…+(t-λn-1)xn,

        若t(λ1+λ2+…+λn)>0,則

        若t(λ1+λ2+…+λn)<0,則式中不等號(hào)反向.

        于是由柯西不等式可得

        當(dāng)t(λ1+λ2+…+λn)<0,則式中不等號(hào)反向.

        2344在△ABC中,以BC中點(diǎn)M為圓心,作圓交AB、AC于F、E,作DF⊥AB,DE⊥AC,F(xiàn)E交AD于P,BP、ME交Q,求證:QA∥BC.

        (江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 陳志欽 335000)

        證明設(shè)BQ交AC于R,由梅氏定理可知:

        延長(zhǎng)QA至G,顯然D是△ABC的垂心,

        由※和※※可得:

        ?cos(∠QAE-∠FDA)-cos(∠QAE+∠FDA)=

        =cos(∠ADE-∠GAB)-cos(∠ADE+∠GAB),(積化和差公式)

        由∠QAE+∠GAB=∠ADE+∠FDA

        ?cos(∠QAE+∠FDA)=cos(∠ADE+∠GAB)

        因此∠QAE+∠FDA=∠ADE+∠GAB

        ?∠FDA=∠GAB,

        由弦切角和已知條件?DA⊥AQ,

        由AD⊥BC得QA∥BC.

        (甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍 741600)

        =2n+2n·2n-1=2n·(n+1)

        所以當(dāng)n=1時(shí),不等式

        取等號(hào).

        2017年1月號(hào)問題(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

        2346若a≥0,b≥0,c≥0,a+b+c=1,試證:

        (1)

        (浙江湖州市雙林中學(xué) 李建潮 313012)

        2347在Rt△ABC中,CA≠CB,CD為斜邊AB上的中線,過A作CD的垂線交直線CB于點(diǎn)E,

        過B作CD的垂線交直線CA于點(diǎn)F,連接EF交線段AB于點(diǎn)P,求證:△AFP的外接圓與△BEP的外接圓在其交點(diǎn)P處的切線互相垂直.

        (河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

        2348若△ABC的面積為S,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則

        (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

        (北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

        2350若a,b,c>0,則3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2≥6(a2b2+b2c2+c2a2).

        (浙江省寧波市甬江職高 邵劍波 315016)

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