郝保國

(華南師范大學(xué)附屬中學(xué) 510630)

臺(tái)灣地區(qū)實(shí)施的是多元大學(xué)入學(xué)方案,每年有兩次大的考試.一是每年1、2月份的大學(xué)學(xué)科能力測試(簡稱“學(xué)測”),兼有“繁星計(jì)劃”、“推薦甄選入學(xué)”、“特殊身份學(xué)生優(yōu)待入學(xué)”等方式,可以讓一部分學(xué)生提前被大學(xué)錄取.如果學(xué)生在這一次沒能被理想的大學(xué)錄取,那么還可以參加7月初的指定科目考試(簡稱“指考”).“指考”數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)學(xué)甲(理科程度)與數(shù)學(xué)乙(文科程度).

在大陸,每年高考一結(jié)束,大家就對數(shù)學(xué)試卷評頭品足,加之微信一散播,影響是巨大的.臺(tái)灣與大陸同文同種,有相同的文化與教育傳統(tǒng).我們不妨把審視的目光投向海峽那邊,了解、分析臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題,或許會(huì)給我們帶來新的發(fā)現(xiàn)與感受.本文擬述評近三年臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題,期望給我們高考相關(guān)部門和一線數(shù)學(xué)教師提供一些借鑒和參考.

1 試卷結(jié)構(gòu)的設(shè)置

臺(tái)灣試卷強(qiáng)化標(biāo)準(zhǔn)化考試,單選題與多選題并存.“學(xué)測”由單選題、多選題、選填題三類題型構(gòu)成.每次考試用時(shí)100分鐘,總分100分；“指考”數(shù)學(xué)甲與數(shù)學(xué)乙從結(jié)構(gòu)上講,比“學(xué)測”各多了兩個(gè)解答題,每套試卷用時(shí)均為80分鐘,總分100分.

三套試卷中的單選題、多選題、選填題在不同年份中呈現(xiàn)的個(gè)數(shù)和對應(yīng)分值是有變化的.以“指考”數(shù)學(xué)甲為例,可以看到近三年中三類試題呈現(xiàn)的個(gè)數(shù)與對應(yīng)分值的變化情況,見表1.

表1 不同年份數(shù)學(xué)甲三類試題呈現(xiàn)的試題個(gè)數(shù)與對應(yīng)分值

臺(tái)灣各套試卷的單選題每題給出5個(gè)選擇支,其中只有一個(gè)選擇支是正確的.多選題每題也是5個(gè)選擇支,但正確選擇支不止一個(gè).

選填題是怎樣的題型呢？就是按照給定的答題模式,將所得答案涂在答題卡上,便于機(jī)器閱卷,可以節(jié)省閱卷的人工成本.其實(shí)與大陸高考數(shù)學(xué)試卷中的填空題沒有本質(zhì)上的區(qū)別,只有形式上的不同.解答題在“指考”試卷中叫非選擇題,從形式上講,與大陸試卷中的解答題相同.

單選題比大陸試卷中的選擇題多一個(gè)選擇支,選中的概率要低一些.多選題屬開放式題型.大多數(shù)多選題雖然考的某一塊知識,但考查的基本知識點(diǎn)不止一個(gè).比如例1,雖然考的是數(shù)列與極限的知識,但基本知識點(diǎn)涉及到等比數(shù)列、通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、遞推式、求極限等.臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)試題命題方向指出,選擇題考查數(shù)學(xué)概念,并鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)給予的選項(xiàng)作判斷；選填題考查學(xué)生主動(dòng)解題的能力；解答題是進(jìn)一步考查學(xué)生解題時(shí)的論證及表達(dá)能力.

多選題在大陸高考試卷中偶爾有涉及,而臺(tái)灣每一套試卷有多個(gè)多選題,占分還比較高,這是與大陸高考試卷很不同的地方.臺(tái)灣多選題一般容量比較大,有些題突出了核心數(shù)學(xué)概念,強(qiáng)化了基礎(chǔ)知識與基本技能的考查；有些題依托數(shù)學(xué)模型,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查；有些題學(xué)生可憑借數(shù)學(xué)直感、類比、歸納可以解決,考查學(xué)生的合情推理能力.臺(tái)灣多選題一般客觀性強(qiáng),可信度高,在升學(xué)考試中具有很好的甄別和選拔功能.

2 試卷內(nèi)容的呈現(xiàn)

臺(tái)灣地區(qū)高中數(shù)學(xué)實(shí)行“一綱多本”,因此大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)考試大綱要統(tǒng)整課程與各教材的知識內(nèi)容.“學(xué)測”題一般考查學(xué)生對高一、高二課程中概念性知識、程序性知識的理解與掌握,以及基本數(shù)學(xué)能力的運(yùn)用；“指考”題以進(jìn)一步考查學(xué)生閱讀、表達(dá)、推理以及連結(jié)的能力為主.另外,為協(xié)助大學(xué)各校系選才,須考慮學(xué)生未來修習(xí)各專業(yè)課程時(shí)所需的數(shù)學(xué)知識,應(yīng)針對這些知識進(jìn)行較具深度的考查.一般而言,數(shù)學(xué)乙的題目計(jì)算量較少,整合性試題在比例上也較少；數(shù)學(xué)甲則較多整合數(shù)個(gè)概念的問題,計(jì)算量也較多.

數(shù)學(xué)甲與數(shù)學(xué)乙的考試范圍與內(nèi)容,具體見表2.

表2 數(shù)學(xué)甲與數(shù)學(xué)乙兩試卷的考試范圍與內(nèi)容

統(tǒng)計(jì)三年試卷,可以看到各知識點(diǎn)實(shí)際被考到的次數(shù)：

“學(xué)測”：平面向量7次,三角7次,空間向量6次,概率統(tǒng)計(jì)5次,函數(shù)與圖象5次,數(shù)列5次,數(shù)據(jù)分析4次,行列式與矩陣4次,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4次,線性規(guī)劃3次,排列組合二項(xiàng)式定理3次,直線與圓3次,橢圓與雙曲線3次,不等式2次,數(shù)與式1次,高次多項(xiàng)式與方程1次,含絕對值方程1次,立體幾何1次,邏輯推理2次.

數(shù)學(xué)甲：概率統(tǒng)計(jì)6次,微積分5次,空間向量5次,平面向量5次,極限4次,行列式與矩陣4次,高次多項(xiàng)式或方程4次,三角4次,復(fù)數(shù)3次,數(shù)列3次,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)3次, 直線與圓3次.

數(shù)學(xué)乙：平面向量5次,高次多項(xiàng)式與方程5次,概率統(tǒng)計(jì)4次,行列式與矩陣3次,極限3次,線性規(guī)劃3次,直線與圓3次,排列組合二項(xiàng)式定理2次,二次函數(shù)與圖象2次,數(shù)列2次,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)2次,數(shù)據(jù)分析2次,三角1次,數(shù)與式1次.

由于三套試卷考查的目的各不相同,因而考試內(nèi)容有所側(cè)重.但從總體來說,概率與統(tǒng)計(jì)、平面向量、空間向量、極限、微積分、行列式與矩陣等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容是考試的重點(diǎn).與每個(gè)知識點(diǎn)每年呈現(xiàn)的個(gè)數(shù)是不確定的一樣,每個(gè)知識點(diǎn)每年所占分值也是不確定的.也許臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)試題存在這些變數(shù),使復(fù)習(xí)迎考沒有固定模式可以遵循,反而會(huì)增添考試本身的魅力.

3 試題的特色

臺(tái)灣地區(qū)學(xué)生在國際評價(jià)項(xiàng)目TIMSS和PISA中均有杰出表現(xiàn),這證明了他們的數(shù)學(xué)教育質(zhì)量非同一般,應(yīng)該他們的大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)試題也有獨(dú)到之處.我們從下面幾個(gè)方面來分析和欣賞.

3.1 突出了能力立意

臺(tái)灣地區(qū)2010年頒布的《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》,特別重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).因些,臺(tái)灣地區(qū)大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)試題突出能力立意的主旨,尤其突出考查學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力、抽象化能力、解題能力,提倡試題能給學(xué)生提供多角度思考問題、一題多解的空間,反對試題求解過程中需要用到繁雜的運(yùn)算和特別強(qiáng)的解題技巧.

(1)試描繪y=f(x)在0≤x≤3范圍中可能的圖形,在圖上標(biāo)示(0,f(0)),(2,f(2)),并由此說明a為正或負(fù).

(2)試求方程式f(x)-12=0的實(shí)數(shù)解(如有重根須標(biāo)示),并利用y=G(x)在x=1處有極值,求a之值.

(3)在0≤x≤2的范圍中,求G(x)之最小值.

解 (1)由題意在0≤x≤3的范圍中,f(x)在x=0,x=2處有最大值12,加之f(0)=f(2),故可得三次函數(shù)如圖1所示,此時(shí)a<0.

(2)解法一：方程f(x)-12=0的實(shí)數(shù)解可視作直線y=12與y=f(x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo),由f(0)=f(2)=12,可得x=0,x=2是方程f(x)-12=0的兩個(gè)解,因f(x)在x=2處有極大值,所以x=2是一個(gè)二重根,從而可設(shè)f(x)-12=ax(x-2)2.由于G′(x)=f(x),又因?yàn)镚(x)在x=1處有極值,可得

圖1

f(1)=G′(1)=0,所以由f(1)-12=a得知a=-12,且f(x)=-12x(x-2)2+12.

解法二：由f(0)=f(2)=12,f′(2)=0可知

方程f(x)-12=0的解是 0和2(重根),由G′(x)=f(x),又因?yàn)镚(x)在x=1處有極值,故可得f(1)=G′(1)=0.

假設(shè)多項(xiàng)式f(x)=ax3+bx2+cx+d,則其微分是f′(x)=3ax2+2bx+c,再由f(0)=f(2)=12,f′(2)=0,解得c=4a,b=-4a,d=12,再由f(1)=0可解得a=-12,亦即f(x)=-12x2+48x2-48x+12.

(3)因?yàn)镚′(x)=f(x)=-12x2+48x2-48x+12=-12(x-1)(x2-3x-1)

下面有兩種解法說明G(x)之最小值為G(0)=0.

所以,在0≤x≤2的范圍中,G(x)的最小值為G(0)=0.

解法二：由第(2)小題f(x)=-12x2+48x2-48x+12,可推得

G(x)=-3x4+16x3-24x2+12x，

這是2016年“指考”數(shù)學(xué)甲中最后一個(gè)解答題,充分將微分、積分的知識與方法融于一題.解題過程中,除了將一元三次式分解因式外,沒有用到特別的解題技巧.但是,這是一個(gè)微分與積分的綜合題,涉及的知識點(diǎn)比較多,多次要用到討論單調(diào)性、微分與積分互換、閉區(qū)間內(nèi)求極值等方法技巧,因此,想拿到高分也是不容易的.

3.2 注重與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系

《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》在“課程目標(biāo)”中指出,培養(yǎng)學(xué)生具備實(shí)際生活應(yīng)用和學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)科所需的數(shù)學(xué)知能.在“核心能力”培養(yǎng)中,提倡培養(yǎng)學(xué)生“連結(jié)能力”,能將課堂內(nèi)學(xué)到的知識聯(lián)系到生活實(shí)際,用數(shù)學(xué)知識有效地解決生活中隨時(shí)可能碰到的問題.

例3(2015年“指考”數(shù)學(xué)乙解答題第1題) 根據(jù)內(nèi)政部營建署《建筑物無障礙設(shè)施設(shè)計(jì)規(guī)范》,無障礙通路之設(shè)計(jì)需符合以下規(guī)定：

(2)坡道之起點(diǎn)及終點(diǎn),應(yīng)設(shè)置長、寬各150公分以上之平臺(tái).此處的長指的是水平長度,而非斜面的長度；

(3)走道的中間應(yīng)設(shè)置適當(dāng)數(shù)量的平臺(tái),使得每段坡道的高差不超過75公分,且平臺(tái)的水平長度至少150公分；

圖2與圖3為側(cè)面示意圖,圖2摘自此規(guī)范書,圖3為圖一的簡明版,其中l(wèi)≥150,h1,h2≤75；走道之坡度相當(dāng)于走道斜率之絕對值.

圖2

圖3

依上述規(guī)定,一條升高2公尺的無障礙走道,在無轉(zhuǎn)彎的條件下,其最小可能的水平長度(含平臺(tái))為多少公尺？

當(dāng)高度不超過6公分時(shí),只能設(shè)計(jì)一個(gè)平臺(tái)；

當(dāng)高度差超過6公分,但不超過3+75+3公分時(shí),可以設(shè)計(jì)前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái),中間一個(gè)坡道；

當(dāng)高度差超過3+75+3公分,但不超過3+75+3+75+3公分時(shí),可以設(shè)置前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái),中間兩個(gè)坡道以及一個(gè)150公分的平臺(tái)；

當(dāng)高度差超過3+75+3+75+3公分,但不超過3+75+3+75+3+75+3公分時(shí),可設(shè)置前后兩個(gè)各150公分的平臺(tái),中間三個(gè)坡道以及兩個(gè)150公分的平臺(tái)；

四個(gè)150公分的平臺(tái)會(huì)升高3×4=12公分,剩下的200-12=188公分的高度由坡道來提供,所以坡道的水平長度為188×12=2256公分,因此水平總長度為2256+150×4=2856公分,也就是28.56公尺.

從例3還可以看到,題設(shè)文字表述多,但從求解過程看,沒有繁雜的運(yùn)算,也不用到特別強(qiáng)的數(shù)學(xué)技巧.這是臺(tái)灣數(shù)學(xué)課本習(xí)題和重大考試數(shù)學(xué)試題的一種常見現(xiàn)象,練的和考的是學(xué)生閱讀能力、理解能力、運(yùn)算能力.這些能力是學(xué)生離開學(xué)校能夠帶得走的能力,而不是那種考完考試就用不上,一個(gè)月不用就忘干凈的所謂數(shù)學(xué)能力.

3.3 有機(jī)融入文化的元素

臺(tái)灣地區(qū)《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》也強(qiáng)調(diào),引進(jìn)與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)文化,對學(xué)生會(huì)起正面的作用,尤其能協(xié)助學(xué)生將抽象觀念具體化.因此,臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)試題也充分體現(xiàn)了這些課程理念.

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例4是一個(gè)與數(shù)字游戲相關(guān)的問題,而且是一種常見的游戲.我們大家很小的時(shí)候都玩過.

例5(2015年“學(xué)測”多選題第5題) 小明參加某次路跑10公里組的比賽,下表為小明手表所記錄之各公里的完成時(shí)間、平均心率及步數(shù)：

完成時(shí)間平均心率步數(shù)第一公里5:00161990第二公里4:501621000第三公里4:501651005第四公里4:55162995第五公里4:401711015第六公里4:411701005第七公里4:351731050第八公里4:351811050第九公里4:401711050第十公里4:341881100

在這10公里的比賽過程,請依據(jù)上述數(shù)據(jù),選出正確的選項(xiàng).

(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為188；(2)小明此次路跑,每步距離的平均小于1公尺；(3)每公里完成時(shí)間和每公里平均心率的相關(guān)系數(shù)為正相關(guān)；(4)每公里步數(shù)和每公里平均心率的相關(guān)系數(shù)為正相關(guān)；(5)每公里完成時(shí)間和每公里步數(shù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)相關(guān).(正確答案是(2)(4)(5)).

例5是一個(gè)與體育比賽及身體狀況相關(guān)的問題,是一個(gè)與我們生活十分密切的問題.統(tǒng)計(jì)臺(tái)灣地區(qū)近三年的大學(xué)入學(xué)試題,還有很多融入文化元素的考試題.比如,瓷磚鋪地、飛機(jī)機(jī)票、電器串聯(lián)、人工受孕、花盆擺放、房屋貸款、不同商品包裝價(jià)格、考試成績統(tǒng)計(jì)、汽車方向盤旋轉(zhuǎn)、鐘的時(shí)針與分針交叉、男女生相邀旅游等問題,都充分融入了文化的元素.這樣的試題密切了數(shù)學(xué)與文化的關(guān)聯(lián),使學(xué)生切實(shí)感受到文化情境中有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)內(nèi)在于文化情境,抽象的數(shù)學(xué)問題得以具體化.

4 啟示

大陸近三十年來的高考數(shù)學(xué)試題,無論是全國出的試卷還是某些省單獨(dú)出的試卷,都固定是三類題型,即單選題、填空題、解答題.解答題總是6個(gè)大題,最后兩題一般是綜合性很強(qiáng)的難題,需要用到非常高超和靈活的解題技巧.比如2016年高考數(shù)學(xué)全國卷的最后兩題,很多省份考生平均得分在0.1至0.3之間,這就失去了試題的選拔功能,也形成不了區(qū)分度,實(shí)際成了兩道廢題.試題編制要符合學(xué)生的認(rèn)知能力,不要隨意拔高或降低難度,或超出課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱規(guī)定的范圍．我們要學(xué)習(xí)臺(tái)灣大學(xué)入試題的命題原則與方法,減少解答題個(gè)數(shù),增加多選題,同樣能考查到學(xué)生觀察、分析和解決問題的能力,特別是閱讀理解、邏輯推理、運(yùn)算和求解能力,還能避免偏題、怪題和難題,達(dá)到真正選拔人才的目的．

臺(tái)灣《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》的一個(gè)基本理念是,“避免形式化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),要將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界連接.因此以生活上需要或是其他學(xué)科需要的數(shù)學(xué)內(nèi)容,形成高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容”.從該理念出發(fā),臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)試題十分注重與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,解決生活情境中的數(shù)學(xué)問題.20年前,大陸高考命題采納了張奠宙與蘇式冬兩教授的建議,在高考試題中增加應(yīng)用題,曾獲得普遍的肯定.但不久高考中的應(yīng)用題就被概率統(tǒng)計(jì)題代替.其實(shí)很多概率統(tǒng)計(jì)題的背景沒有生活氣息,考生感覺不到數(shù)學(xué)與生活的相互滲透與融合的美感,至使整套試題顯得過于抽象和刻板.長此以往,學(xué)生怕見到應(yīng)用題,讀幾遍都讀不懂題意,即使讀懂也不會(huì)建構(gòu)合適的數(shù)學(xué)模型來解決問題.因此,學(xué)生的閱讀能力、理解能力和解決生活中實(shí)際問題的能力沒有得到鍛煉和提高.我們要借鑒臺(tái)灣大學(xué)入學(xué)試題的命題原則與方法,大比例增加具有生活氣息的考試題,藉此可以比較全面地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.