陳德燕

(福建省福州第一中學 350001)

眾所周知，立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的一門學科，直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等是基本的研究方法.立體幾何的教學，要使學生通過探索和認識空間幾何體的結構特征、以及對基本圖形(點、直線、平面)位置關系的判定、性質的探索，在獲得立體幾何知識的同時，實現(xiàn)幾何直觀、空間想象力和邏輯推理能力的發(fā)展，提升直觀抽象、數(shù)學推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

從上所述可以看出，“探索”是立體幾何教學的關鍵詞.具體而言，就是要使學生在探索空間圖形的結構特征中形成幾何直觀、體會直觀抽象，感悟數(shù)學概念的抽象過程、體會數(shù)學抽象；在探索發(fā)現(xiàn)幾何元素(直線、平面)間位置關系的判定與性質過程中，學會“有邏輯地思考與推理”，培養(yǎng)運用科學的思維方式認識事物的能力；在探索判定與性質的證明方法的過程中，培養(yǎng)邏輯推理能力，養(yǎng)成正確的思維方式.

上述目標與讓學生學會解高考題、在高考中得高分的目標是非常不同的，需要我們教師切實地改變數(shù)學教育理念，改進教學行為.筆者認為，實現(xiàn)上述目標的關鍵有三個，一是充分相信學生的探究能力；二是幫助學生明確探索的方向，構建探索的路徑，找到探索的方法；三是給予學生足夠的獨立思考時間.基于這一認識，筆者以直線與平面垂直為載體進行了一次教學設計與實施的嘗試.

1 教學設計意圖

學生已經學習了直線、平面平行關系的判定、性質，直線、平面垂直關系的判定，對直線、平面垂直關系的性質的研究是立體幾何的“收關”階段.此時，必須引導學生對立體幾何的內容、方法進行歸納總結，使他們明確線面位置的“判定”研究什么？“性質”研究什么？如何研究？同時引導學生體悟“幾何的思維”方式，構建空間圖形位置關系的判定與性質的研究途徑、方法.在此基礎上，讓學生運用總結出的研究思路獨立探究直線、平面垂直關系的性質，加深對直線、平面位置關系性質的認識，切實掌握探究方法.為此，本課時的教學設計總體思路是：

先總結直線、平面平行關系的性質的研究路徑，包括內容、過程和方法，并由此構建探究幾何元素位置關系的“性質”的方向與路徑；再以此為依據(jù)，探究直線、平面垂直關系的性質和證明.

由于學生已經完整地學過直線、平面平行的判定與性質，已經了解了研究一種幾何關系的“基本套路”，因此上述設計思路與學生的認知水平是相一致的.

2 教學過程設計

2.1 歸納總結直線、平面平行關系性質定理的共性

教師通過如下表格形式展示直線、平面平行關系的性質定理：

定理名稱直線與平面平行的性質定理平面與平面平行的性質定理文字敘述一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個平面平行,同時和第三個平面相交,則它們的交線平行符號表示a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.圖 示略略

續(xù)表

問題1分析兩個性質定理的結構，你能歸納出它們的共性嗎？由此，你能給出探究與發(fā)現(xiàn)直線、平面平行關系的性質的方法嗎？

學生活動：先讓學生獨立思考，將思考結果寫下來；再進行小組交流，相互啟發(fā)；最后讓有不同想法的學生進行全班發(fā)言.

這個問題非常關鍵，同時也有一定難度，所以要留給學生充分的時間.教師在學生發(fā)言后進行歸納總結，并把如下結論寫在黑板上：

共性以平行關系為條件，通過引入一個平面，并借助它得到圖形中某些幾何元素之間確定的位置關系.

教師給出說明：這里要求位置關系是“確定的”，就是無論引入的平面如何變化，只要它經過直線a，那么在a∥α的條件下，這個平面與α的交線總是與a平行的.如果不是這樣，那就不能成為一條性質.如由a∥α，引入直線b，若b∥α，則a與b或相交或平行或異面，就不是直線與平面平行的一個性質，至少不是一個“好的性質”.

追問1事實上，引入的幾何元素可以是多樣的，由此可以得到不同的位置關系.你能根據(jù)上述思路，自己發(fā)現(xiàn)一個直線、平面平行關系的性質嗎？

設計意圖讓學生獨立發(fā)現(xiàn)一個已經學過的平行關系的性質，為后續(xù)研究“熱身”.

學生活動：學生獨立探究，獲得成果后進行全班交流.

例如，由a∥α，引入直線b，若b⊥α，則a⊥b，這也是直線與平面平行的一個性質：若直線與平面平行，則該直線與平面的垂線垂直.(a∥α，b⊥α?a⊥b).

追問2結合已經學過的直線與直線、直線與平面平行的性質定理，你能得出探究直線、平面在某種位置關系下的性質的一般方法嗎？

師生活動：學生獨立思考后，教師引導學生進行交流，最后要總結出如下結論：

探究直線、平面在某種位置關系(主要是平行、垂直)下的性質，就是探究它們與其他直線、平面是否形成確定的關系.探究這種性質的一般思路是：引入恰當?shù)膸缀卧?直線、平面)，觀察它在變化的過程中是否與已知直線、平面形成某些確定的位置關系.

2.2 直線與平面垂直的性質的探究

問題2根據(jù)上面的結論，請你說說探究直線與平面垂直性質的“路徑”嗎？

以a⊥α為條件，研究除直線a與平面α以外的直線或平面與直線a以及平面α之間的位置關系.即在a⊥α的前提下，引入輔助的幾何元素(直線或平面)，探究輔助的幾何元素在變化過程中與直線a或平面α間是否形成確定不變的位置關系.

學生自主探究：請你根據(jù)上述思路，獨立探究直線與平面垂直的性質(至少2條性質).

教師可以在學生自主探究的過程中進行全班巡視，了解學生探究的情況.在大多數(shù)學生得出結論的基礎上，讓有代表性的學生發(fā)言，教師將學生探究得到的性質分類整理成如下表格：

(1)引入的幾何元素為直線

引入的幾何元素直線b直線b直線b直線b直線b與已知線面的關系b?αb⊥αb∥ab⊥a,b?αb∥α性質(符號表示)a⊥α,b?α?a⊥ba⊥α,b⊥α?a∥ba⊥α,b∥a?b⊥αa⊥α,b⊥a,b?α?b∥αa⊥α,b∥α,?b⊥a;圖 示文字敘述,現(xiàn)實生活實例與性質的證明,作為課后作業(yè).

(2)引入的幾何元素為平面

引入的幾何元素平面β平面β平面β平面β與已知線面的關系a?βa∥βa⊥ββ∥α性質(符號表示)a⊥α,a?β?α⊥βa⊥α,a∥β?α⊥βa⊥α,a⊥β?α∥βa⊥α,α∥β?a⊥β圖 示文字敘述,現(xiàn)實生活實例與性質的證明,作為課后作業(yè).

2.3 直線與平面垂直的性質定理及其證明

問題3上面我們探究出了9條直線與平面垂直的性質.如果要選擇其中的一條作為直線與平面垂直的性質定理，你會選擇那一條？說說你的理由.

設計意圖這個問題可以有不同的答案.讓學生思考這個問題，目的是希望他們了解，教材中給出的性質定理是數(shù)學家選擇的結果，選擇的標準主要是簡單、直觀、有用.考慮學生的認知水平和課堂時間，不做展開，主要由教師給出說明.

別呦呦說：“有句話叫‘雨后春筍’，說得就是這個。春筍的力量可大了，別說穿破泥土，就是石頭也能掀翻。春筍得了雨，力氣大了，膽子也大了，頂著我的褻褲，在風中賣弄呢。這風看起來，也花花綠綠的?！?/p>

問題4我們把“同垂直于一個平面的兩條直線平行”作為主要的性質定理，選擇理由是：它給出的條件都是直線與平面垂直，而且體現(xiàn)了垂直與平行間的化歸.你能給出證明的思路嗎？

【注】考慮時間關系，課內以介紹證明策略(方法)、易錯點為主，具體的證明過程作為作業(yè)讓學生課后完成.

師生活動：在學生獨立思考后，先讓學生發(fā)言，要讓學生之間進行相互補充，基本完善后教師再講解.

證明平行關系的一般策略(方法)：

(1)在空間中可用的定理：線面平行、面面平行的性質定理(平行關系較少)；

【體現(xiàn)對結論的理性分析，有邏輯地思考問題】

(2)轉化為在平面中考慮，可以利用：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行.(垂直關系較多，利用垂直關系比較容易實現(xiàn)條件的轉化)

在此基礎上，教師展示學生中的兩種思路，請全班學生思考是否妥當，并說明理由.

思路一如圖，設a⊥α于A，b⊥α于B，連結AB.

則a⊥AB，b⊥AB.

所以，a∥b.

【注】證法錯誤.沒有a、b、AB共面的支撐.

思路二如圖，在平面α內任取一點O，過O作直線a′∥a，b′∥b.

則由a⊥α，b⊥α，得a′⊥α，b′⊥α，這樣過點O有兩條直線與平面α垂直，這不可能.

所以，a′與b′重合.

因此，a∥b.

【注】證法錯誤.推理的依據(jù)“過空間一點O與平面α垂直的直線唯一”本質上與要證的結論是等價的，陷入了“循環(huán)論證”.

結合上述兩種思路的分析，給出本題證明過程(反證法).

2.4 歸納小結、課后作業(yè)

小結：本節(jié)課我們從復習與分析直線、平面平行關系的2個性質定理入手，歸納了“性質定理”的結構，明確了“位置關系的性質”的含義，從而明確了直線、平面位置關系的性質的研究內容，構建了研究直線、平面的“位置關系的性質”的路徑，并以此為依據(jù)，探索了9條直線與平面垂直的性質.這里，明確直線、平面平行或垂直的性質到底指什么、一種幾何位置關系的性質是如何表現(xiàn)的等等是非常重要的，它給我們研究性質指明了方向.

課后作業(yè)：

1.完成課堂中探究的8條直線與平面垂直性質的：文字敘述、現(xiàn)實生活實例、及其證明.

2.探究平面與平面垂直的性質.

3 結束語

數(shù)學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這里，“知何由以知其所以然”就是要求我們把“如何思考”、“如何研究”等作為幾何教學的核心目標，實際上這就是在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).筆者在作出上述教學設計后進行了教學實施，實踐表明，只要給學生充分的時間，他們都能夠對“性質”的表現(xiàn)方式、研究的內容和方法等作出歸納，盡管語言表述比較稚嫩(其實這也是我們在以往的教學中沒有注意這方面的訓練造成的)，但主要的意思都是到位的.上述直線與平面垂直的8個命題都是學生探究出來的，而且大部分學生都表示“比較容易發(fā)現(xiàn)”.所以，只要我們樹立正確的學生觀，充分相信學生，放手讓學生去獨立探究，學生的創(chuàng)造力就能體現(xiàn)出來.這樣的教學，與“定理——證明——例題——練習”的目標追求有很大的差異，教學路徑也有很大的不同，學生所獲得的數(shù)學學習經驗也會很不一樣.通過實踐使筆者堅信，這樣的教學才是落實學生發(fā)展核心素養(yǎng)的正道.