江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 徐蘭萍

善“變”出“樂”學(xué)
——一道中考題的變式教學(xué)引發(fā)的思考

江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 徐蘭萍

在數(shù)學(xué)中考中，大部分同學(xué)對綜合題的解決存在不同程度的困難。因?yàn)閿?shù)學(xué)綜合題不僅考查學(xué)生對基本知識的掌握，還要考查學(xué)生綜合應(yīng)用各種知識解決問題的能力。所以綜合題的教學(xué)不應(yīng)該是對題目單純的講解，更需要教師的精心設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠舉一反三，融會(huì)貫通。

綜合應(yīng)用；變式訓(xùn)練；解題能力；思維拓展

對于數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)，很多考生為了取得高分而陷入題海戰(zhàn)術(shù)，無法自拔，但很多時(shí)候卻事倍功半，收效甚微。所以，如何提高學(xué)生做題的效率，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，是我們廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)該探討的問題。下面筆者將從一道中考題的變式教學(xué)出發(fā)，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)如何開展變式教學(xué)，使學(xué)生免于大量重復(fù)的做題，達(dá)到做一題通一類題的效果，同時(shí)提高學(xué)生的解題能力，拓展學(xué)生的思維深度和廣度。

考題摘錄：(2015泰安）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-6，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3），且經(jīng)過點(diǎn)G（-2，3）。

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q，設(shè)△CDQ的面積為S，求S的最大值；

（3）若點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)D、M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上，∠DCB = ∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等腰三角形、線段垂直平分線及二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、平行的判定、三角形中位線等較多知識點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，有一定的難度。

在該題中，問題（1）比較基礎(chǔ)，絕大部分同學(xué)都能夠自行解決，所以可請學(xué)生講述。學(xué)生一般直接利用待定系數(shù)法，把A、C、G三點(diǎn)坐標(biāo)代入求得拋物線解析式。完成后，教師可以進(jìn)一步挖掘題目，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)C（0，3）與G（-2，3）是對稱點(diǎn)，求出對稱軸為直線x=-1，從而設(shè)出頂點(diǎn)式求解；或者求出A（-6，0）關(guān)于x=-1的對稱點(diǎn)是（4，0），從而設(shè)出兩點(diǎn)式求解。完成題目的同時(shí)，讓學(xué)生復(fù)習(xí)拋物線解析式的幾種設(shè)法，并回顧了拋物線的幾個(gè)基本知識點(diǎn)，如頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、對稱軸等。 問題（2）的教學(xué)仍然以學(xué)生講解為主，但講解后，教師需引導(dǎo)學(xué)生歸納出由動(dòng)點(diǎn)問題產(chǎn)生的線段長的一般表示方法，學(xué)會(huì)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。 問題（3）的解決需引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)其中的基本圖形，如由線段垂直平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形DNM或CNM，由等腰三角形和角平分線發(fā)現(xiàn)DN平行于BC，找出A型相似圖或直接發(fā)現(xiàn)三角形的中位線NM，從而順利突破本題難點(diǎn)。

上課講到這里，僅僅是完成了對該題的一般解答，如果想要進(jìn)一步加深學(xué)生對該題的掌握程度，開闊學(xué)生的眼界，拓寬學(xué)生的思路，則需要對題目進(jìn)行進(jìn)一步的加工和改造。作為教師，可以選擇添加變式，達(dá)到知識和方法的滲透。如可以添加如下變式進(jìn)行教學(xué)：

變式一：在（2）的情況下，延長PQ交拋物線于點(diǎn)E,求EQ的最大值。

該變式的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步歸納動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段求最值問題的解法。

變式二：點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△APF相似于△AOC？

該變式的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用對應(yīng)線段成比例來求點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式三：在線段OA上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB為直角？

該變式的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握射影定理的基本圖形。當(dāng)然，該題的解法不唯一，有的學(xué)生習(xí)慣于轉(zhuǎn)化為直線PC與BC的垂直關(guān)系來做，或者相似來做都可以，但最直接的方法仍然是應(yīng)用射影定理來完成。

變式四：點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)Q是線段CA上一動(dòng)點(diǎn),能否找到這樣的兩點(diǎn)，使得△APQ為直角三角形與△PQC為等腰三角形同時(shí)成立？

該變式的教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生分類討論，而分類討論問題一直是學(xué)生的難點(diǎn)。當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生要想到分成兩種情況討論：P、Q分別為直角頂點(diǎn)，接著還需分析出每種情況下，各對應(yīng)一種△PQC為等腰三角形的情況。

變式五：在（3）的條件下，平行于x軸的一條動(dòng)直線與AC交于H,與拋物線交于K，以D,M,H,K為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求H,K的坐標(biāo)。

該題變式主要考查平行四邊形的相關(guān)知識，教師教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生抓住平行四邊形對邊相等的性質(zhì)并結(jié)合點(diǎn)的表示解決該題。

變式六：在（3）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得△ADC與△DRB全等？

該題變式考查了全等三角形的相關(guān)知識，對于學(xué)生來說，難點(diǎn)仍然在于判斷對應(yīng)邊與對應(yīng)角，及按照點(diǎn)R所在象限的不同分情況討論，難度較大。教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生從已有的相等關(guān)系出發(fā)，尋找出一對對應(yīng)點(diǎn)，然后討論剩下的兩種對應(yīng)情況，畫出草圖分析。

當(dāng)然，對于變式來說，題目是永遠(yuǎn)也變不完的，對應(yīng)不同的知識點(diǎn)，放入不同的背景中，就可以造出許多不同的變式。但對于解題本身來說，很多技巧和思想方法是相通的，如線段與面積最大值問題，分類討論三角形全等或相似問題，四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形問題等等，方法都是有規(guī)律可循的。一些常見的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程思想，化歸思想等都是平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常滲透的。我們作為數(shù)學(xué)教師，不能局限于單純知識點(diǎn)的講授或某一問題的解決，而是要著眼于學(xué)生能力的提升，應(yīng)該更加重視數(shù)學(xué)思想方法的傳授與點(diǎn)撥、數(shù)學(xué)基本圖形的歸類整理。通過一些變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去模仿、探索和歸納出某些知識的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而提升學(xué)生的思維遷移能力，為學(xué)生知識的獲得和思維的拓展提供廣闊的發(fā)展空間。

那么，對于一道綜合題，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)變式題呢？筆者認(rèn)為可以從以下三個(gè)思路進(jìn)行嘗試：

一、添加已知條件

在原有題目的基礎(chǔ)上，選定一個(gè)想要考查的知識點(diǎn)，添加相應(yīng)的條件。如上述中考題的六個(gè)變式，基本上結(jié)合了要考查的內(nèi)容而給出了不同的條件。如變式一，考查的仍然是動(dòng)點(diǎn)問題構(gòu)成的線段最值問題，不同點(diǎn)的選擇就會(huì)產(chǎn)生不同的題目，如選擇與線段的交點(diǎn)或與拋物線的交點(diǎn)，或者也可選擇特殊點(diǎn)構(gòu)成的線段，如線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等。當(dāng)然，解題的最后，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式中不變的部分，如由動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長度，歸納出求線段最大值問題，一般與求函數(shù)的最值掛鉤，而求線段的最小值問題，一般又與垂線段最短有關(guān)；求兩條線段的和最短問題又涉及作對稱點(diǎn)的問題。甚至，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考到線段的變化又會(huì)引起圖形面積的變化等等，將思路進(jìn)一步拓寬。我想，經(jīng)過這樣的變式，學(xué)生對線段的最值問題一定記憶深刻。

二、改變圖形位置與形狀

運(yùn)用多種手段改變圖形的位置，如常見的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等改變圖形的位置；或者由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或線的運(yùn)動(dòng)改變圖形的形狀等，如上述中考題，筆者可以繼續(xù)如下變式：將△COD沿x軸向右平移m個(gè)單位，用含m的式子表示出它與△COB重疊部分的面積等。值得注意的是,教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸類的是一些求特殊結(jié)論的題目，如一些線段或角的數(shù)量關(guān)系，往往圖形變了，但是圖形的全等或相似的結(jié)論是不變的。這個(gè)時(shí)候的教學(xué)要突出基本圖形的尋找，如K形全等或相似、射影定理基本圖形等。

三、改變題目的陳述

將一些相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容一起呈現(xiàn)。例如書本上一道經(jīng)典的變式題：

求證：順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式一：求證：順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式二： 求證：順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

變式三：順次連接什么四邊形各邊中點(diǎn)，可以得到平行四邊形？

變式四：順次連接什么四邊形各邊中點(diǎn)，可以得到菱形？

這道變式題強(qiáng)化了特殊四邊形之間的聯(lián)系，再一次把四邊形的性質(zhì)與判定緊密相連，給學(xué)生以質(zhì)的飛躍。

葉圣陶說過這樣一段話：教師當(dāng)然要教，而尤宜致力于導(dǎo)，導(dǎo)者，多方設(shè)法，使學(xué)生自求得之，卒低于不待教師教授之謂也。我想，變式教學(xué)就是通過教師不斷地引導(dǎo)、不斷地深挖，提高學(xué)生綜合應(yīng)用各種知識的能力，讓學(xué)生感受到思維的跳躍，碰撞出智慧的火花，享受到學(xué)習(xí)的快樂。