山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 張益龍

挖掘定義本質(zhì) 拓展解題思路

山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 張益龍

雙曲線的定義是雙曲線的重要概念，對它的準確理解與正確運用，對學(xué)好雙曲線甚至整個圓錐曲線都很有意義。教材對雙曲線的定義明確了雙曲線上任一點到兩焦點的距離之差的絕對值為常數(shù)靈活應(yīng)用雙曲線的定義,在解決雙曲線上的點與焦點的距離有關(guān)的問題時,往往會收到事半功倍的效果。因此，本文揭示它的應(yīng)用，談用雙曲線的定義解題。

一、求點的軌跡問題

二、解決焦點三角形有關(guān)問題

點評：圖形具有直觀性。本題借助圖形，利用第一定義，首先求爾后再求周長，顯然是求解問題的一種策略；假若本題未給圖形，條件“過F1作直線交雙曲線的左支于A,B兩點”中再去掉“左支”兩字，情況就大不相同，請試一下。

三、求解雙曲線離心率問題

∴△AF1F2為直角三角形，

點評：本題中通過三角形的余弦定理建立離心率e關(guān)于cosθ的關(guān)系式，利用三角函數(shù)值域的有界性，從而確定離心率e的范圍，得出最值。

四、直線與雙曲線位置關(guān)系問題

解析：由圖及雙曲線的幾何性質(zhì)知：

點評：本題重點考查的是雙曲線的定義的應(yīng)用，難點是通過切線性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為定義形式。該題對雙曲線知識的靈活應(yīng)用提出了較高的要求，是今后考題的一個方法。

在解決雙曲線問題時要有應(yīng)用定義的意識，見到動點到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)（常數(shù)小于兩定點的距離），應(yīng)想到其軌跡是雙曲線，見到雙曲線上一點應(yīng)想到該點到兩焦點的距離之差的絕對值為常數(shù),只有這樣，才能熟練運用雙曲線的第一定義解題。