江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級中學(xué) 姜愛美 馮中芹

思維導(dǎo)圖在解析幾何解題中的應(yīng)用

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級中學(xué) 姜愛美 馮中芹

高中數(shù)學(xué)新課程標準的課程基本理念是倡導(dǎo)學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為“再創(chuàng)造”的過程。同時，新課程標準設(shè)立了許多學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成多樣性的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造了有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，通過自學(xué)學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。

解析幾何是近幾年高考的重點，但解析幾何的概念和解題方法理解起來比較困難，學(xué)生對解析幾何的認識不深入，對解析幾何的應(yīng)用掌握不理想，使得學(xué)生對解析幾何的解答產(chǎn)生了畏懼心理，怕下筆，很難得到分。利用思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)既有利于學(xué)生理清知識層次,也能顯示出解題的思維過程。思維導(dǎo)圖是一種簡單有效的用圖形來表達思維、知識的表征工具, 它最大的優(yōu)點是采用結(jié)構(gòu)化的放射性思考模式，充分發(fā)揮左右腦的天賦，符合大腦的運作方式。因此，思維導(dǎo)圖被譽為強力學(xué)習(xí)、記憶和思維訓(xùn)練的方法，能大幅提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及掌握新知識的能力。

一、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題反思中的應(yīng)用

解題反思是解析幾何中一個必不可少的環(huán)節(jié)。根據(jù)思維導(dǎo)圖的發(fā)散性特點，我們可以探索解題思路和進行解題后的反思。通過思維導(dǎo)圖，能使學(xué)生的知識應(yīng)用更熟練、更深刻，并學(xué)會一些解決問題的方法和技巧，積累一些解題經(jīng)驗。

在做題后，指導(dǎo)學(xué)生反思題中所涉及的知識，包括概念、公式、定理。這樣做既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)到一些基本概念，并且能讓學(xué)生找出沒有掌握的概念，達到進一步學(xué)習(xí)薄弱知識的目的。反思解題思想，用思維導(dǎo)圖畫出來，可以使抽象的思維直觀化。反思題目應(yīng)當注意的地方，讓學(xué)生再遇到此類題目時不犯相同的錯誤。

例1 已知曲線C：y2=4x，過點P(0,2)的直線l與曲線C交于A，B 兩點，且直線l與x軸交于點E 。試問否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由。

在解題后，通過思維導(dǎo)圖進行解題反思，反思自己的解題思路，總結(jié)解題規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)自己在解題中顯露出的知識能力的缺陷，同時培養(yǎng)學(xué)生的歸納、整理、應(yīng)用知識的能力。反思問題涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法是如何運用的，運用的過程中有什么特點，是否在其他情況下運用過，運用時有什么區(qū)別、聯(lián)系，總結(jié)出規(guī)律，歸納出解決問題的一般方法來。

二、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題變式中的應(yīng)用

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化，即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。利用思維導(dǎo)圖指導(dǎo)學(xué)生對題目變式進行整理，一題多變。改變條件或結(jié)論，看問題有什么變化，解決問題的方法有什么改變，也可以將當前的命題推廣到一般情況，進行發(fā)散思維，當然，不是每一個題目都有變式。另外，利用思維導(dǎo)圖鼓勵學(xué)生多思考，激發(fā)其創(chuàng)造性。對于分支變式，可以另畫導(dǎo)圖加以發(fā)散，這樣就既在整體上有了把握，也在解題思想上有了認識。

通過思維導(dǎo)圖總結(jié)弦中點以及求直線與圓錐曲線相交弦的中點問題的常用方法，使得學(xué)生對所學(xué)知識有系統(tǒng)的認識。同時，思維導(dǎo)圖能夠很好地體現(xiàn)變式與例題，變式與變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法進行總結(jié)和反思，以提高分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題方法選擇中的應(yīng)用

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是近幾年高考命題的熱點和重點，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等。關(guān)于圓錐曲線問題解決的基本方法是點參法、斜參法，而方法（點參、斜參）的選擇是學(xué)生解決圓錐曲線問題的一個難點，學(xué)生在解決這類問題時，往往因為方法的選擇而導(dǎo)致計算上的困難，最后時間過去了，題目還是沒有做出來。因此，在解題方法選擇前，如果先畫出各個方法的思維導(dǎo)圖，然后進行比較，看解題方法在簡易、嚴謹?shù)确矫嬗惺裁床煌?，比較各種方法的優(yōu)劣，并確定最好的解題辦法，這樣就能為學(xué)生在高考中節(jié)省時間。

（1）求直線AB的方程；

（2）若點P為橢圓c上異于A、B的動點，且直線AP,BP)分別交直線y=x于點M、N，證明：OM.ON為定值。

點參法的思維導(dǎo)圖

方法二（斜參法），設(shè)直線BP的斜率為k。

斜參法的思維導(dǎo)圖

從這兩個思維導(dǎo)圖上看，斜參法的思維導(dǎo)圖比點參法的思維導(dǎo)圖要復(fù)雜得多，那么計算過程就復(fù)雜。另外，點參法的思維導(dǎo)圖具有對稱性，即求M點坐標與求N點坐標的過程是一樣的，這樣給計算帶來了很大的方便。所以，通過思維導(dǎo)圖的對比，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)點參法比較簡單，使學(xué)生節(jié)省了時間。

通過上述思維導(dǎo)圖，要求每位同學(xué)能夠形成知識網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)主要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在實際教學(xué)中，需要學(xué)生協(xié)同合作，每人負責(zé)落實某一塊的思維導(dǎo)圖，完成后再組合成新的思維導(dǎo)圖。這樣的操作加強了同學(xué)們之間的合作交流，同時也培育了他們的整體思維能力。利用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生學(xué)會整理解析幾何的知識、題型和方法，更積極地參與到教學(xué)中來，提高學(xué)習(xí)效率。利用思維導(dǎo)圖指導(dǎo)高中生學(xué)習(xí)解析幾何能夠提高學(xué)習(xí)的針對性，讓學(xué)生知道解析幾何知識的來龍去脈，在他們的頭腦中形成清晰明了的知識網(wǎng)絡(luò)，利用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生進行解題后的反思，促進知識的深入理解，最終提高學(xué)生解決問題的能力。