黃玉蓮

【摘 要】本文選取數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、模型思想以及分類討論這四種經(jīng)典數(shù)學(xué)思想，探討其對(duì)發(fā)展學(xué)生思維能力的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 思維能力 中職數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）09B-0132-02

在中職教育中，數(shù)學(xué)是一個(gè)基礎(chǔ)性的課程，這門(mén)課也對(duì)學(xué)生的思維能力有著潛移默化的作用。在數(shù)學(xué)課堂上適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想，可以讓中職生在知識(shí)能力和探究能力兩個(gè)方面都更加完善。在中職的數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生面臨的不僅僅是一道道的數(shù)學(xué)題目和解答，更重要的內(nèi)容是如何領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想。只有通過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)，才能深化思想、提升能力。

一、數(shù)形結(jié)合，探討集合

數(shù)形結(jié)合思想是一種實(shí)用性非常強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想，它不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際分析問(wèn)題的能力，而且可以更好地化解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題?！皵?shù)”是指數(shù)字類的數(shù)學(xué)元素，而“形”則是具體的圖形。說(shuō)到圖形，不僅是函數(shù)圖象或者是幾個(gè)圖形，一條線、一個(gè)數(shù)軸即可稱為一個(gè)圖形。

以基礎(chǔ)模塊下冊(cè)第一章《集合》為例。集合的概念對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的事物，將它放在第一章，說(shuō)明了它是為了學(xué)生而打開(kāi)新世界的大門(mén)。集合是一種簡(jiǎn)單但是卻很重要的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，在命題真假判斷、排列組合、函數(shù)值域等方面有著極其重要的應(yīng)用。集合就是某一類數(shù)的組合體，屬于數(shù)字類的數(shù)學(xué)元素，在大多數(shù)情況下采用“數(shù)”邏輯來(lái)運(yùn)算。集合通常用“{a1，a2，a3，…}”這樣的形式來(lái)表示，“數(shù)”的屬性很強(qiáng)。但是在解題過(guò)程中，數(shù)字給人的感覺(jué)是抽象的，需要?jiǎng)幽X進(jìn)行分析，而且耗費(fèi)時(shí)間較多。換個(gè)角度思考，如果數(shù)字運(yùn)算不簡(jiǎn)便，那么我們可以由“數(shù)”延伸至“形”。形可以使數(shù)變得更加直觀，數(shù)也可以為形增添精確性。此時(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵。例如下面一道題目：

已知 ，，求 a∩b。

其實(shí)這是一道簡(jiǎn)單的題目，但是如果運(yùn)用數(shù)軸的方法可以讓這道題目更直觀。當(dāng)參與交集的集合增多時(shí)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)軸法就顯出了它的優(yōu)勢(shì)。以這道題為例，如果將 a 和 b 兩個(gè)集合畫(huà)在數(shù)軸上時(shí)，如圖 1 所示，那么我們就可以輕易地觀察到，a 與 b 的交集，或者說(shuō) a 與 b 的公共部分，就是中間的那一塊區(qū)域，也就是 {x|0

集合在大多數(shù)情況下是數(shù)的集合，但是這并不意味著只能用“數(shù)”的思維去解決問(wèn)題。在數(shù)字運(yùn)算中引入“形”的方法，數(shù)形結(jié)合方能靈活解題。數(shù)形結(jié)合不只是一種解題策略，更是一種深入人心的數(shù)學(xué)思維方法。

二、多元轉(zhuǎn)化，變換方程

轉(zhuǎn)化思想也是一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的就是運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此不管采用哪種思路，只要能夠把問(wèn)題解決，就是好思路。在解決問(wèn)題中，采取間接的方式、采用轉(zhuǎn)化的思想，也不失為一種明智的策略。

數(shù)學(xué)是一門(mén)靈活的學(xué)科，一條路走到黑是行不通的。轉(zhuǎn)化思想就是一個(gè)很好的例子，這里采用第二章《不等式》的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)明。舉一個(gè)實(shí)際的題目：

解不等式

學(xué)生看到分式，可能很多就要皺眉頭了，因?yàn)榉质降耐ǚ直容^麻煩。但是對(duì)于這道題目來(lái)說(shuō)，學(xué)生看到分式就發(fā)愁還有點(diǎn)為時(shí)過(guò)早，因?yàn)椴坏仁降挠覀?cè)是個(gè)“0”。因?yàn)?0 的存在，我們就可以將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比值大于 0 則說(shuō)明分子、分母是同號(hào)的，也就是它們的乘積也大于 0。那么原式即可轉(zhuǎn)化為：，不等式一下子就簡(jiǎn)單了很多。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想最重要的原則就是等價(jià)關(guān)系，但是上述轉(zhuǎn)化是不等價(jià)的，還缺一個(gè)“x≠1”的條件。細(xì)心、靈活，是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的要領(lǐng)。

通過(guò)轉(zhuǎn)化不等式的案例，學(xué)生可以從中看到轉(zhuǎn)化思想的力量。轉(zhuǎn)化的意義在于簡(jiǎn)化問(wèn)題。但是世上沒(méi)有免費(fèi)的午餐，簡(jiǎn)化問(wèn)題也有代價(jià)，那就是需要付出思考，并且承擔(dān)著轉(zhuǎn)化不等價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)。

三、建立模型，引入函數(shù)

數(shù)學(xué)是自然規(guī)律的一種反映形式，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是一種模型。建立數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的首要一步。在解決一些實(shí)際化的問(wèn)題時(shí)，首先需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，引入一些數(shù)學(xué)工具。建立模型的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是分析問(wèn)題的過(guò)程，它對(duì)解決問(wèn)題起到舉足輕重的作用。

以第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》為例。指數(shù)函數(shù)是中職數(shù)學(xué)中新學(xué)的一種函數(shù)，在運(yùn)算方面具有一定的難度。從實(shí)際生活上來(lái)講，很多生活中的問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)息息相關(guān)。理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用之間的轉(zhuǎn)化，這就是建立模型的過(guò)程。以一個(gè)具體的題目為例：

在一個(gè)施工工地上，有一臺(tái)挖掘機(jī)，價(jià)值 40 萬(wàn)元。隨著時(shí)間的流逝，它的價(jià)值會(huì)降低，每一年比上一年的折舊率是 20%，問(wèn)當(dāng)它的價(jià)值折舊到 30 萬(wàn)時(shí)所用的時(shí)間。

面對(duì)這道題目，我們要采用試驗(yàn)的方法來(lái)建立模型。當(dāng)使用 1 年時(shí)，設(shè)備價(jià)值為 40×（1-20%）萬(wàn)元；當(dāng)使用 2 年時(shí)，設(shè)備價(jià)值為 40×（1-20%）×（1-20%）=40×（1-20%）2 萬(wàn)元。如此一來(lái)，那么這一數(shù)學(xué)模型即為對(duì)數(shù)函數(shù)，可以設(shè) x 年后，這臺(tái)挖掘機(jī)價(jià)值為 30 萬(wàn)元，列出方程式為 40×（1-20%）x=30，然后用計(jì)算器即可解出最終結(jié)果。數(shù)學(xué)模型有很多種形式，可以是函數(shù)也可以是圖形，但是不論什么形式都是為解決問(wèn)題而生的。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)便解題，是數(shù)學(xué)思想的彰顯。

四、分類討論，明確數(shù)列

數(shù)學(xué)的一種經(jīng)典方法就是歸納，也就是將不同的問(wèn)題用相同的規(guī)律進(jìn)行表達(dá)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。但是在某些情況下，歸納到一起并不容易，甚至不利于問(wèn)題的解決，那么這時(shí)候就不能強(qiáng)行進(jìn)行歸納，而是需要采用分類討論的思想，先分后合。

以第六章《數(shù)列》為例，數(shù)列的題目可謂是變化萬(wàn)千，學(xué)生在解題時(shí)，可能會(huì)遇到各種各樣的分類情況。如何恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?，并且能將不同的情況合理地歸納起來(lái)，可以說(shuō)是數(shù)列題目中永遠(yuǎn)的難題。引用一道比較經(jīng)典的例題進(jìn)行探究：

已知一個(gè)等比數(shù)列 {an} 的公比為 q，數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn>0（n=1，2，3，…，n），根據(jù)上述條件，求公比 q 的取值范圍。

這是一道非常經(jīng)典的等比數(shù)列問(wèn)題，規(guī)律也比較普遍。在本題中對(duì) q 的取值范圍沒(méi)有任何說(shuō)明，進(jìn)行分類討論勢(shì)在必行。首先由前 n 項(xiàng)和 Sn>0，q≠0，可以推得 a1=S1>0。分類討論的原則是先討論簡(jiǎn)單的、特殊的情況。從解題難度上講，先討論特殊情況，將問(wèn)題的范圍縮小，然后再進(jìn)一步進(jìn)行推導(dǎo)；從考試得分上講，先寫(xiě)出簡(jiǎn)單部分有利于先行獲取應(yīng)得的分?jǐn)?shù)。在數(shù)列中，特殊情況就是公比或者公差特殊的情況。首先需要考慮 q=1 的情況，當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=na1>0，顯然 q=1 的條件下，是符合題目要求的。在 q 不等于 1 的情況下，，化簡(jiǎn)可得 ，（n=1，2，3，…），等價(jià)于 1-q<0，1-qn<0 或 1-q>0，1-qn>0。對(duì)上述式子進(jìn)行求解，可以得出 q>1 或 q<1 且 q≠0。這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，當(dāng)學(xué)生面對(duì)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，一定要有這種分類討論的思想。

數(shù)列問(wèn)題中的分類討論是一種典型的解題思路，當(dāng)然在其他類型的題目中，分類討論也是一種重要的方法。任何的思想都沒(méi)有普適性，因此需要因題制宜，靈活運(yùn)用。借分類討論思想，可以明確數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)，提升能力。

總而言之，數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的方方面面，一個(gè)小的技巧、一個(gè)簡(jiǎn)單的方法中都會(huì)彰顯著數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是屬于一種深邃的、高階的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想的過(guò)程中，需要付出很多的努力，需要在實(shí)踐中不斷提升、不斷總結(jié)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐志成，管毓紅.數(shù)學(xué)思想方法及其在高中、中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國(guó)培訓(xùn)，2016（5）

[2]鄭 潔.中職教育中數(shù)學(xué)思想方法的滲透[J].法制與經(jīng)濟(jì)，2010（8）

[3]張 亞.數(shù)學(xué)思想方法在中職教學(xué)中的運(yùn)用[J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（2）