江蘇省南京市梅園中學(xué) 趙 霞

“最短路徑問(wèn)題”課堂教學(xué)策略探究

江蘇省南京市梅園中學(xué) 趙 霞

一、學(xué)情問(wèn)題分析

1.教學(xué)內(nèi)容方面

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究最短路徑問(wèn)題——將軍飲馬問(wèn)題。最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬問(wèn)題”為載體，開展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”、（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問(wèn)題。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。

2.教學(xué)對(duì)象方面

（1）認(rèn)知基礎(chǔ)：在七年級(jí)已經(jīng)研究過(guò)“兩點(diǎn)之間,線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問(wèn)題以及有關(guān)平移的基本知識(shí)，在本章的前面，學(xué)生也初步掌握了作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，所有這些內(nèi)容構(gòu)成了本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ)。

（2）活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)初中階段一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識(shí)，獲得了初步的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的主動(dòng)參與、合作交流的意識(shí)和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問(wèn)題的能力。

（3）困難預(yù)測(cè)：學(xué)生在解決“線段和最短”這一問(wèn)題時(shí)缺乏經(jīng)驗(yàn)，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題時(shí)更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手。解答“當(dāng)點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)時(shí)，如何在直線l上找到點(diǎn)C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l的異側(cè)的兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線段和最小”的問(wèn)題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難。在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求作的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法一些學(xué)生想不到。

3.教學(xué)環(huán)境方面

現(xiàn)在我們?nèi)兴薪淌叶及惭b了電子白板。電子白板良好的交互性以及圖形處理的優(yōu)勢(shì)，有利于本節(jié)課中學(xué)生的觀察、思考、操作、反思，所以本節(jié)課的備課和授課全部在電子白板上進(jìn)行。

二、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)分析

教學(xué)目標(biāo)：1.能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。2.能將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)重、難點(diǎn)：經(jīng)歷利用軸對(duì)稱，將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題的過(guò)程。

三、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄（部分）

（一）問(wèn)題引入

（教師活動(dòng)） 構(gòu)建模型：

1.看到課題，回憶學(xué)過(guò)哪些最短路徑問(wèn)題？

2.小試身手：如圖，已知點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短？

（學(xué)生活動(dòng)） 學(xué)生口答：

（1）兩點(diǎn)之間，線段最短。

（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連線段中，垂線段最短。

（設(shè)計(jì)意圖）以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)為起點(diǎn)，為進(jìn)一步豐富、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪墊。

（二）合作探究，感悟方法

1.提出問(wèn)題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地。到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”。你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

白板顯示：

（學(xué)生活動(dòng)）閱讀故事，獨(dú)立思考老師提出的問(wèn)題，嘗試將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（設(shè)計(jì)意圖） 由學(xué)生代表敘述抽象的過(guò)程：將“地點(diǎn)”和“河”分別抽象成“點(diǎn)”和“直線”，把這個(gè)最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。

將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，這個(gè)過(guò)程的經(jīng)歷和體會(huì)，對(duì)于其他實(shí)際問(wèn)題的解決同樣具有深遠(yuǎn)意義。

2.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

（教師活動(dòng)）如圖，已知點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)。請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、 B的距離之和最小。

問(wèn)：（1）能否在直線l下方找到一點(diǎn)B′，滿足對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)P，都有PB=PB′?（組織學(xué)生回憶軸對(duì)稱的性質(zhì)）

（2）怎樣畫出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′？

（學(xué)生活動(dòng)）圍繞問(wèn)題（1）先獨(dú)立思考1分鐘，然后小組內(nèi)交流，獨(dú)立思考問(wèn)題（2）后，根據(jù)視頻嘗試敘述對(duì)稱點(diǎn)的畫圖過(guò)程，在紙上獨(dú)立完成畫圖和必要的文字說(shuō)明。

（設(shè)計(jì)意圖）通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo)、臺(tái)階的搭建，幫助學(xué)生逐步將同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題，滲透轉(zhuǎn)化思想。

3.反思、總結(jié)

（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立反思、總結(jié)解決這個(gè)問(wèn)題的思想方法，白板顯示轉(zhuǎn)化過(guò)程和解題關(guān)鍵的提煉。

（學(xué)生活動(dòng)）獨(dú)立反思、總結(jié)解決這個(gè)問(wèn)題的思想方法，并集體交流，補(bǔ)充完整。

（設(shè)計(jì)意圖）通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主反思和總結(jié)，使學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)反思的習(xí)慣。

4.自主證明

（教師活動(dòng)）你能用所學(xué)的知識(shí)證明PA+PB最短嗎？

追問(wèn)：為什么要在直線l上任取點(diǎn)C（不與點(diǎn)P重合）？

（學(xué)生活動(dòng)）在老師的引導(dǎo)下獨(dú)立完成證明過(guò)程，并思考老師的追問(wèn)，然后集體交流。

（設(shè)計(jì)意圖）讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力。

（三）變式訓(xùn)練

（教師活動(dòng)）方法遷移：如圖，將射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。在射線OC、OD上分別確定點(diǎn)P、Q，使線段AP、PQ、BQ的和最小。

（學(xué)生活動(dòng)）獨(dú)立思考1分鐘，然后組內(nèi)交流、討論,合作解決。

（設(shè)計(jì)意圖）適當(dāng)?shù)淖兪接兄趯W(xué)生鞏固方法和進(jìn)一步內(nèi)化方法。

（四）類比探究

（教師活動(dòng)）觸類旁通：如圖，P為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

（學(xué)生活動(dòng)）獨(dú)立思考，先將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再嘗試獨(dú)立解決，然后小組內(nèi)討論。

（設(shè)計(jì)意圖） 讓學(xué)生自主經(jīng)歷一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程，形成方法的融會(huì)貫通。

（五）反思總結(jié)

（教師活動(dòng)）領(lǐng)悟本質(zhì)：組織學(xué)生在回放中反思總結(jié)。（學(xué)生活動(dòng)）獨(dú)立反思，然后交流。

（設(shè)計(jì)意圖） 進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和把握解題關(guān)鍵。

四、教學(xué)反思與感悟

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！北竟?jié)課的教學(xué)中，不只是讓學(xué)生接受一個(gè)概念或一種方法，不只是注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的教學(xué)，而是更重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，即讓學(xué)生在經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題和利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題的過(guò)程中，去感受建模、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬問(wèn)題”為載體，開展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，不僅增加了內(nèi)容的趣味性、激發(fā)了學(xué)生的求知欲，而且能夠在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

2.思維方式數(shù)學(xué)化

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題、將同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題的過(guò)程，充分感受建模和轉(zhuǎn)化思想，逐步形成數(shù)學(xué)化的思維方式。

3.啟發(fā)引導(dǎo)問(wèn)題化

問(wèn)題設(shè)計(jì)不是越多越好，杜絕淺層次、指向不明的問(wèn)題。設(shè)計(jì)的問(wèn)題要讓學(xué)生真正有所思考，并且可以經(jīng)過(guò)思考得到結(jié)論。本節(jié)課中，通過(guò)一系列緊扣教學(xué)目標(biāo)的問(wèn)題：“你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？”“能否在直線l下方找到一點(diǎn)B′，滿足對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)P，都有PB=PB′？“怎樣畫出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′？”“為什么要在直線l上任取點(diǎn)C（不與點(diǎn)P重合）？”逐步引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑和方法，也有助于學(xué)生有序思維的發(fā)展和分析、解決問(wèn)題能力的提高。

4.內(nèi)容呈現(xiàn)直觀化

借助電子白板，將教學(xué)內(nèi)容直觀呈現(xiàn)，同時(shí)利用動(dòng)畫、視頻揭示圖形的演變過(guò)程、思維的發(fā)展過(guò)程、問(wèn)題的解決過(guò)程、對(duì)稱點(diǎn)的作圖過(guò)程，使學(xué)生大腦里形成清晰的畫面，有助于進(jìn)一步地理解和內(nèi)化知識(shí)。

5.習(xí)慣養(yǎng)成常態(tài)化

及時(shí)反思是有效學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。養(yǎng)成及時(shí)反思的習(xí)慣不僅有助于學(xué)生知識(shí)、方法的內(nèi)化，而且對(duì)于學(xué)生學(xué)力的提高有著深遠(yuǎn)的意義。本節(jié)課中十分注重反思習(xí)慣的潛移默化，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思抽象的過(guò)程、轉(zhuǎn)化的方法和解題關(guān)鍵的提煉。

數(shù)學(xué)思想觀念是指用數(shù)學(xué)眼光去認(rèn)識(shí)和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的“用數(shù)學(xué)”意識(shí)，使數(shù)學(xué)關(guān)系成為學(xué)生的一種思維模式。本節(jié)課中，我從引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維模式的角度去展開過(guò)程性教學(xué)，讓學(xué)生得到了自主的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟。