江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳

如何培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型的意識

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳

數(shù)學(xué)模型的建立其實是在大量的題海中觀察、分析、提煉而成的。這個提煉的過程就是一個思考的過程，沒有對解題過程和結(jié)果的反思，就沒有數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。運用模型的過程又是一次對問題進(jìn)行全方位思考的過程，在提煉、運用的過程中需要學(xué)生不斷去反思，這種反思將極大地促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。

本文從蘇州工業(yè)園區(qū)初三期末調(diào)研的一道填空壓軸題說起，探討如何在研究一類最值問題時培養(yǎng)學(xué)生幾何模型意識的建立。

一、問題引導(dǎo)、初識模型

例1 如圖1-1，在正方形ABCD中，AB=3cm，以B為圓心，1cm長為半徑畫⊙B，點P在⊙B 上移動。連接AP,并將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP',連接BP'，在點P移動的過程中，BP'長度的最小值

要解決求BP' 的最小值問題，必須要知道P'的運動路線是什么樣的，我們發(fā)現(xiàn)，P'是受P的運動而運動的，P是主動點，P'是從動點，可以猜測P'的路線也是圓上的點。我們不妨先找?guī)讉€特殊點P，因為P是⊙B上的點，比如可以找⊙B與直線AB的兩個交點，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)90°得到P'的位置，從而得到點P'的路線是以點D為圓心，1cm長為半徑的⊙D上的點。這樣“BP'長度的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“平面內(nèi)一點與圓上各點連線中，到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短、遠(yuǎn)交點距離最長”的問題處理，如圖1-2，使BP'距離最小的點的位置即為如圖1-3所示的點。

二、聯(lián)系中考、強化模型

最值問題一直都是中考的熱點和難點，既可以與幾何模型結(jié)合，也可與函數(shù)模型等結(jié)合，綜合性較強，難度較大。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不能很好地解決此類問題，或者說對此類問題較生疏，本人覺得其根本原因還是學(xué)生缺乏軌跡思想這種動態(tài)的考慮問題的方式。我們來看一道中考最值問題：

例2 （2016淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值

先研究題目大背景：整個問題在一個確定的直角三角形背景下，點F是定點，點E是邊BC上的一個動點，是主動點，而點P由點C關(guān)于直線EF翻折而來，是從動點，點P隨著點E的運動而運動、確定而確定。再明確目標(biāo)：求點P到邊AB的距離的最小值。

為什么會產(chǎn)生這個最值呢？AB是條定邊，點P是個動點，這才導(dǎo)致了最值的產(chǎn)生.所以問題的關(guān)鍵肯定就是動點P。接下來，目光鎖定到了動點P：既然點P是動點，那么它是怎么運動的呢？或者說，點P的運動路線是什么樣的呢？

圖2

圖 2-1

圖 2-2

圖 2-3

圖 2-4

表面來看，動點P是定點C沿著動直線EF翻折而來的，根據(jù)翻折“不變性”，易知PF始終等于CF=2，而點F是個定點，即動點P始終被“綁在”離定點F的距離等于2的一條確定的路線上。根據(jù)圓的定義可知，動點P一定在以定點F為圓心，2為半徑的圓上運動，如圖2-1，畫出這個圓來，當(dāng)然，點P的運動路線并非整個圓，而是圓的一部分，即為一段圓弧。這樣，“點P到邊AB距離的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“定⊙F上的點到邊AB距離的最小值”。

其實上面這個轉(zhuǎn)化成立也是有前提的：原問題中的點P要能夠取到使“定⊙F上的點到邊AB距離的最小值”的⊙F上的點！這一點，很多師生比較容易忽視，雖然直觀上確實能取到，但我覺得“做數(shù)學(xué)”一定要嚴(yán)謹(jǐn)，即便很直觀，也要簡單驗證或者說一下，尤其是平時琢磨題目的過程中，這是一種好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

圖2-2給出了“圓上一點到直線距離的最小值”模型，根據(jù)此模型作出圖2-3，則PG即為所求最小值。

借助Rt△ABC和Rt△AFG相似，算出PG=1.2，最后檢驗一下這個P可不可取：只需過點P作PE∥AB即可，如圖2-4所示，這樣的點E在BC邊上，故可取。

無獨有偶，2014年成都中考也有一道與例2幾乎一模一樣的考題：

如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN，連接AC,則AC長度的最小值

同例2的分析如出一轍，由翻折易知△A'M=AM=1為定值，點M是定點，故動點A'被“綁在”以定點M為圓心，1為半徑的定圓上運動，有了剛才兩道題目的啟發(fā)，這道題應(yīng)該可以得心應(yīng)手了。

圖3

三、促進(jìn)思維、感悟模型

上面談到的各個例題，動點的路線都在一段圓（?。┥线\動，初中階段會接觸到的曲線路線一般是圓或者圓弧，比如旋轉(zhuǎn)問題。當(dāng)然，動點也可能在雙曲線或者拋物線上運動，這都屬于曲線路線。

斯滕伯格說：智力就是學(xué)習(xí)的能力，就是在不熟悉的情境中使用先前發(fā)現(xiàn)的模式和關(guān)系思考并解決問題的能力。所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要重點關(guān)注的是模式和關(guān)系，通過總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)的模型，讓學(xué)生在短期內(nèi)迅速領(lǐng)會并運用模型和關(guān)系去解決問題，數(shù)學(xué)教師要學(xué)會用有限的類型去應(yīng)對無限的題海，才能真正給學(xué)生減負(fù)，給課堂增效。比如在相似教學(xué)時的“K”型模型以及“K”型的各種變式模型、“A”型相似、“X”型相似、斜截型相似、母子相似等幾何模型。

隨著課程改革推行的深入，初中階段的幾何教學(xué)是課改的重點內(nèi)容。在對初中幾何數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進(jìn)行探索及創(chuàng)新的過程中，模型教學(xué)對幾何數(shù)學(xué)課程改革的意義日漸突顯，充分調(diào)動了學(xué)生對學(xué)科知識學(xué)習(xí)的興趣與積極性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的參與度和自主性都得到了明顯加強，這不僅順應(yīng)了課程改革的要求，同時有效提高了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率，是教學(xué)成果顯著提升的制勝法寶。將幾何模型教學(xué)從幾何數(shù)學(xué)學(xué)科推廣至其他學(xué)科的教學(xué)改革實踐中，具有十分重大的借鑒意義。