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        加強空間感知 提升想象能力

        2017-12-05 09:56:52江蘇省南京市行知實驗中學(xué)
        數(shù)學(xué)大世界 2017年32期
        關(guān)鍵詞:想象能力教學(xué)

        江蘇省南京市行知實驗中學(xué) 徐 敏

        加強空間感知 提升想象能力

        江蘇省南京市行知實驗中學(xué) 徐 敏

        空間幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點,其著重培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力,也是核心素養(yǎng)之一——直觀想象素養(yǎng)最有效的體現(xiàn)。加強空間感知教學(xué),有助于提高學(xué)生的想象能力,也為其頭腦中建立空間概念奠定基礎(chǔ)。

        立體幾何;數(shù)學(xué);空間感知;直觀想象;空間想象能力

        眾所周知,直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標準提出的六大核心素養(yǎng)之一,其要求學(xué)生通過幾何直觀培養(yǎng)想象能力。在傳統(tǒng)的公理化體系下的歐式幾何中,四大公理托起了整個立體幾何的大廈,讓我們的空間認知全部建立在這個公理之上,從而形成了空間想象能力。但是近年來,因為空間向量的引入已經(jīng)大大降低了學(xué)生對于立體幾何空間感知的依賴性,在一定程度上降低了思維的難度,也降低了思維的樂趣。筆者認為,空間向量的確可以解決空間幾何問題,但是過于使用其代數(shù)化的本質(zhì)而疏遠了幾何特征,從而降低了思維含量,這也在近年的高考試卷中體現(xiàn)出命題不斷向傳統(tǒng)公理化方式傾斜,以求不同方法的公正性。

        一、三視圖注重感知

        三視圖是空間幾何初學(xué)的必備知識,三視圖將一個完整的空間幾何結(jié)構(gòu)體用平面圖形完整地展示出來,其具備了空間幾何平面化的基本思路。對于學(xué)生而言,特別是偏文類的學(xué)生,其頭腦中基本感知模型欠缺,造成了認知的不足。教學(xué)中建議以基本圖形為主,輔以平面和空間的轉(zhuǎn)換,加強空間感知,提升想象能力。

        分析:本題是容易題,初學(xué)者對其的認知尚不具備完整的想象,教學(xué)建議從某一圖形出發(fā),輔以其他視圖進行,以提高空間感知。觀測俯視圖可知,底面圖形以正方形為研究對象,輔以正視圖中的垂線和側(cè)視圖中的等腰形態(tài),不難發(fā)現(xiàn)其原幾何體結(jié)構(gòu)是四棱錐,問題迎刃而解。

        二、對定理的理解運用

        空間幾何傳統(tǒng)解決方案中,四大公理是立體幾何大廈的基本,而后平行垂直的八大定理則是空間幾何傳統(tǒng)大廈的支柱。要培養(yǎng)空間感知,恰恰是從各種圖形結(jié)構(gòu)中獲取定理使用的情境,以模型為載體,抽象出定理使用的基本,從而獲取空間想象能力。

        問題2:在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,且A1A=AB,頂點A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心。(1)求證:AA1⊥BC;(2)求直線A1B與平面BCC1B1所成角的大小。

        分析:斜棱柱的解決是學(xué)生提升空間想象能力的關(guān)鍵。對于本題涉及的斜三棱柱來說,我們最想去尋找的依舊是存在于幾何結(jié)構(gòu)體中的線面垂直,思考本題不難發(fā)現(xiàn),射影恰恰是一種線面垂直。有了這樣的依托,要解決第(1)問自然

        水到渠成。設(shè)O為△ABC的中心,連接AO,所以BC⊥AO,又AA1⊥BC,所以BC⊥面A1AO,因此BC⊥A1A。

        對于第(2)問來說,研究線面角是傳統(tǒng)幾何的常態(tài),也是熱點問題。從公理化體系的解決方式中,我們一般使用兩種方式,其一是獲取斜線在平面中的射影,這一般需要找到線面垂直作為支撐;其二是利用等體積法獲取高度。觀察本題斜三棱柱,因為有第(1)小題的線面垂直支撐,所以從第一種傳統(tǒng)方式入手思考更便捷。取BC、B1C1的中點E、F,連接AE、A1F、EF。由(1)知BC⊥面A1AEF,從而面A1AEF⊥面C1CBB1,在面A1AEF內(nèi)作A1G⊥EF,垂直為G,連接GB,則∠A1BG是直線A1B與平面B1BCC1所成的角。設(shè)A1A=2,在平行四邊形A1AEF中,

        本題的線面角求解過程中的“找——證——算”是典型的傳統(tǒng)方案,對于學(xué)生而言,最困難的是找!線面角在傳統(tǒng)方法中怎么尋找?前面已經(jīng)講述了兩種常用方式,就第一種方式而言,找到線面垂直的方法又具備一定的模式化:一般來說,往往找斜線與面中某一直線垂直,進而轉(zhuǎn)化為證明面的垂線。教師還要對學(xué)生加以合理的命題意圖的引導(dǎo):一般這種垂直往往在某些線上,不太可能在“荒郊野嶺”,這就鼓勵學(xué)生大膽往特殊位置上嘗試,從空間感知來講,這樣的位置是可以實現(xiàn)的。將線面垂直的判定定理運用到具體情境中,體現(xiàn)了定理與現(xiàn)實抽象的結(jié)合,實現(xiàn)了想象能力的提高。

        總之,加強空間幾何教學(xué)需要進一步加強傳統(tǒng)方式的教學(xué),這是因為傳統(tǒng)方式提升了學(xué)生的空間感知,筆者建議教學(xué)首先還是需要關(guān)注傳統(tǒng)方式,而空間向量始終適宜作為傳統(tǒng)公理化教學(xué)的補充,這樣的方式才有助于培養(yǎng)具備合理空間想象能力的學(xué)生,從而獲得直觀想象的素養(yǎng)。

        [1]沈恒.浙江七年高考立體幾何自主命題回顧與前瞻[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(10).

        [2]薛彬.高中立體幾何改革的回顧與前瞻[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2014(3).

        [3]戴海林.立體幾何教學(xué)中的轉(zhuǎn)化策略——15年高考閱卷隨想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(11).

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