江蘇省蘇州市振華中學(xué)校 蔣 劍

探尋內(nèi)在邏輯聯(lián)系 設(shè)計(jì)幾何概念教學(xué)
——蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“圓”（第2課時(shí)）教學(xué)片段與反思

江蘇省蘇州市振華中學(xué)校 蔣 劍

筆者在不斷地探索、嘗試在課堂教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，幫助他們掌握概念。本文系蘇科版九年級(jí)上冊(cè)的“圓”第2課時(shí)課例片段及反思。

一、教材內(nèi)容簡(jiǎn)析

蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章第1節(jié)“圓”共安排兩課時(shí)，第1課時(shí)主要學(xué)習(xí)圓的描述定義、集合定義，掌握?qǐng)A的兩個(gè)基本要素——圓心與半徑，探索點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；第2課時(shí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的相關(guān)要素，包括：弧、弦、圓心角、同心圓、等圓、等弧等概念，為后面研究圓的有關(guān)性質(zhì)做好鋪墊。由于本節(jié)課概念較多，學(xué)生掌握起來(lái)有一些困難，弧的認(rèn)識(shí)與表示、等弧概念的理解是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

二、教學(xué)片段

師：今天我們一起繼續(xù)研究圓的知識(shí)。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的定義，現(xiàn)在我們動(dòng)手畫一個(gè)圓。

師：在畫圓的過(guò)程中揭示了圓的兩個(gè)基本要素，分別是什么？

生齊答：圓心和半徑。

【設(shè)計(jì)意圖】這一環(huán)節(jié)就是要讓學(xué)生在課堂中“動(dòng)”起來(lái)，通過(guò)具體操作，實(shí)施“動(dòng)手‘做’數(shù)學(xué)”來(lái)復(fù)習(xí)圓的概念，而不是以“提問(wèn)”、“背誦”概念方式來(lái)復(fù)習(xí)。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，發(fā)展數(shù)學(xué)思想和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的雙翼，而動(dòng)手‘做’數(shù)學(xué)”是積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要形式，也為研究后面的幾何概念做了鋪墊。

師：再畫一個(gè)圓，只改變一個(gè)要素，你發(fā)現(xiàn)和原來(lái)的圓有什么關(guān)系？

學(xué)生在本子上畫第二個(gè)圓。（記住要求：只改變一個(gè)要素）

師：我們發(fā)現(xiàn)改變圓的一個(gè)要素畫出的兩個(gè)圓有兩種情況，第一種是圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓。經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)他們能？

生齊答：重合了。

師：定義：互相重合的兩個(gè)圓叫作等圓。

師：還有一種情況是圓心相同半徑不同的兩個(gè)圓，我們把它們叫作同心圓。

【設(shè)計(jì)意圖】為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解圓的兩個(gè)基本要素，以“兩要素”為定向設(shè)計(jì)活動(dòng)，使他們領(lǐng)悟：改變?nèi)魏我粋€(gè)基本要素，圖形就不唯一確定。這與研究全等三角形的思路是相通的，并讓學(xué)生體會(huì)到改變幾何對(duì)象的要素的方法，是研究幾何對(duì)象（幾何變換）的一般思路，從而也順其自然地引出了 “同心圓”、“等圓”兩個(gè)新概念。本環(huán)節(jié)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較的方法，采取“順應(yīng)”的方法對(duì)新概念進(jìn)行了新的建構(gòu)。

師：在線段上（除端點(diǎn)外）任意取一點(diǎn)，可以把線段分成兩部分，那圓呢？

生：不行。

師：如果圓上有兩個(gè)點(diǎn)呢？

生：可以。

請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)演示。

師：這兩部分都叫作圓弧。定義：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

師：弧怎么表示呢？聯(lián)想線段的表示方法。

…

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)，通過(guò)類比線段的概念學(xué)習(xí)“弧”的概念。與線段類似，端點(diǎn)是弧的決定要素，同樣的，弧的表示也用端點(diǎn)表示，與字母順序無(wú)關(guān)。但是，由于圓的特殊性，圓具有“閉合性”，兩點(diǎn)把圓分成了兩部分——兩條弧。

師：弧與圓有什么關(guān)系？回憶剛才學(xué)的弧的概念。

生復(fù)述概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分。

師：所以,弧、圓之間的關(guān)系是什么？

生：兩個(gè)弧加起來(lái)就是一個(gè)圓。

師：弧與圓的關(guān)系就是部分與整體的關(guān)系。類比等圓的概念，我們可以聯(lián)想到什么？

生：等弧。

師：整體能重合，那么部分顯然也能重合，所以我們得到等弧的定義是什么？

生：能夠互相重合的弧。

師：這就是等弧的定義。

【設(shè)計(jì)意圖】等弧概念的理解是本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。書上給出；“等弧——能夠互相重合的弧叫等弧這個(gè)概念”比較突兀，學(xué)生不易掌握好。定量分析等弧，等弧由兩個(gè)要素決定：弧的度數(shù)（“彎曲程度”）與弧的長(zhǎng)度。由于學(xué)生的認(rèn)知水平，顯然在本節(jié)課上不適合教授這些知識(shí)。但如何理解等弧的概念，特別是“重合”兩字？筆者就想到，可以類比等圓的概念，其中還滲透了部分與整體思想。通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，等弧概念的引入就顯得“水到渠成”了。

師：已知點(diǎn)A、點(diǎn)B在圓O上。如果從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“圓”走，要到達(dá)點(diǎn)B，路徑是什么？

生齊答：弧AB。

師：在平面上，你在點(diǎn)A處，怎么走，到B處路程最短？

生：直接連接AB。

師：就是作連接AB的線段。這條線段，它的兩個(gè)端點(diǎn)有什么特征？

生：在圓上。

師：定義：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦。大家想一想，弦實(shí)際上是什么？

生：線段。

師：這條線段的特征是它的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上，所以它的表示方法是和線段相似的，表示為弦AB。其中，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。

【設(shè)計(jì)意圖】弦與弧的不同，本質(zhì)就是平面內(nèi)兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的路徑不同。弦與弧也是我們?cè)谄矫鎺缀晤I(lǐng)域里重點(diǎn)研究的最基本的兩類圖形——直線形和曲線形的“代表”，它們是矛盾的，可在圓里面又得到了高度的統(tǒng)一——它們是相互對(duì)應(yīng)的。

師：現(xiàn)在有一塊圓形的披薩餅，有三個(gè)人一起分享。怎樣動(dòng)手切，比較合理？

師：大家基本都完成了。有的同學(xué)比較細(xì)致，把字母、角度都標(biāo)出來(lái)了。

師：我們現(xiàn)在切出一塊，就是需要“切出”一個(gè)角。有同學(xué)算出這個(gè)角是120度。既然是“角”，那它的頂點(diǎn)在哪里？

生齊答：圓心。

師：定義：頂點(diǎn)在圓心的角，我們把它稱為圓心角。圖中，∠AOB就是圓心角。

師：我們?nèi)粘Ｉ钪羞€能碰到類似的例子，從中找到圓心角嗎？

生：傘…

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“切披薩”這個(gè)日常生活中常見的問(wèn)題來(lái)引出圓心角的概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。在學(xué)生畫圓心角的過(guò)程中，也揭示了圓心角的大小與披薩切塊大小之間的關(guān)系。圓心角的大小實(shí)際也刻畫了弧的“彎曲程度”。

三、課后反思

圓是平面幾何中基本的曲線形之一。圓的有關(guān)性質(zhì)是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而圓的有關(guān)概念是研究圓的性質(zhì)的前提與基礎(chǔ)。何為性質(zhì)？幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。通過(guò)研究圓的相關(guān)要素——弧、弦、圓心角之間的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系來(lái)研究圓的有關(guān)對(duì)稱性。

本節(jié)課的概念比較多，對(duì)于這些概念，教學(xué)時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀加以理解，這個(gè)不能忽視。幾何，歸根結(jié)底，是研究圖形的，要充分利用圖形的“直觀性”幫助學(xué)生理解幾何概念。其次，我們教師要深入理解教材，會(huì)合理加工、重組教材提供的素材進(jìn)行課堂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)“用教材教”，而不是停留在“教教材”的低水平層次上。筆者進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)通過(guò)找尋知識(shí)內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，有利于更好地進(jìn)行幾何概念教學(xué)：

1.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，體現(xiàn)過(guò)程性原則的要求

數(shù)學(xué)是抽象的，這既是“攔路虎”，又是數(shù)學(xué)“魅力”的集中體現(xiàn)。怎樣讓學(xué)生不在數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程中“迷失”？讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程是一個(gè)好辦法，這也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出的新課程基本理念：要重視過(guò)程，處理好直觀與抽象的關(guān)系；在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)概念，體現(xiàn)系統(tǒng)性原則的要求

圓就是一個(gè)小系統(tǒng)，它的組成要素和相關(guān)要素包括：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角。圓與弧的關(guān)系就對(duì)應(yīng)了系統(tǒng)與要素的關(guān)系，也體現(xiàn)了整體與部分的數(shù)學(xué)思想?；　⑾遗c圓心角的關(guān)系就反映了系統(tǒng)內(nèi)要素與要素的關(guān)系，而它們關(guān)系的具體體現(xiàn)就是圓的對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)不變性）。圓的其他許多性質(zhì)也是通過(guò)與圓有關(guān)的線段（如直徑、弦、切線長(zhǎng)等）和角（如圓心角、圓周角等）體現(xiàn)的。所以，理解圓的相關(guān)概念，對(duì)圓整章內(nèi)容的掌握就顯得尤為重要。先研究幾何對(duì)象的要素、相關(guān)要素，即概念，再研究要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系，即性質(zhì)，這是一種普遍適用的方法，其中，概念是基礎(chǔ)、根本，是數(shù)學(xué)大廈的地基。

《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要途徑。同時(shí)，提升系統(tǒng)思維水平是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力、分析和解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵舉措。