崔文閏

摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用畫圖和列表分析解決數(shù)學(xué)問題是圖式表征的一種外在表現(xiàn)形式。圖式表征對解題有促進(jìn)作用。本研究采用測試與訪談的方法，利用實驗數(shù)據(jù)分析當(dāng)前小學(xué)生數(shù)學(xué)解題過程的表征類型，以及影響學(xué)生作圖分析自覺性的因素，提出具有針對性的教學(xué)建議，從而幫助學(xué)生學(xué)會更好地在多元表征的前提下發(fā)揮圖式表征思考的作用。

關(guān)鍵詞：圖式表征；作圖分析；自覺性；數(shù)學(xué)解題；思考問題

一、問題的提出

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用畫圖和列表分析解決數(shù)學(xué)問題就是圖式表征的一種外在表現(xiàn)形式。能夠發(fā)揮圖表的積極作用，利用作圖來思考數(shù)學(xué)問題是一種能力，而自覺地運用這種能力則是一種思考的習(xí)慣，或者說是一種自覺性。這種自覺性有可能成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成長中的一種良好的素養(yǎng)。

那么，當(dāng)前小學(xué)生作圖分析數(shù)學(xué)問題的自覺性如何呢？他們是否具備一定的作圖分析能力？對學(xué)生自覺作圖思考產(chǎn)生影響的因素有哪些？教師如何處理好教學(xué)中這些因素的作用，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣？這些正是本研究所聚焦的問題。

二、研究方法

1. 被試

從某小學(xué)選取三、四年級各3個班級，每個班40-50人，作為數(shù)學(xué)測驗施測的對象，并請數(shù)學(xué)教師根據(jù)學(xué)生平時的成績在各班選出優(yōu)、中、差學(xué)生各2名，兩個年級共36名學(xué)生作為個別訪談的對象。

2. 研究材料

根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平編制數(shù)學(xué)測試卷，涉及非視覺化題目（NVP：nonvisual problem）與視覺化題目（VP：visual problem），有方位問題、行程問題、植樹問題和集合問題等。

3. 研究程序

（1）數(shù)學(xué)測試

學(xué)生以班級為單位在一節(jié)課里完成數(shù)學(xué)測驗。教師在三年級的三個班中言語提示程度如下：三（1）班教師不進(jìn)行任何提示，發(fā)卷即做；三（2）班教師在測試前會提醒該班學(xué)生可以使用不同的方法答題，包括：列式、言語分析（非視覺空間表征）、畫圖（視覺空間表征）等；三（3）班教師不僅對學(xué)生做出了如三（2）班的言語提示，還利用簡易的例子向?qū)W生介紹作圖分析數(shù)學(xué)問題的好處和方法。四年級三個班的學(xué)生在測試時，教師操作如同三年級。

（2）學(xué)生訪談

對選定的36名學(xué)生進(jìn)行個別訪談，每個學(xué)生的訪談時間大約為5分鐘。訪談時，讓學(xué)生看著已經(jīng)做過的試卷向教師解釋解題思路。然后教師根據(jù)草稿紙的內(nèi)容與學(xué)生的口頭敘述，再次確定學(xué)生的表征類型。

（3）計分方法

卷面上每一道題目計算方法正確記1分。（對于計算錯誤的情況予以忽略）卷面分析過程使用了圖式表征（例如能夠呈現(xiàn)出問題本質(zhì)的結(jié)構(gòu)性圖表）記1分。畫出沒有關(guān)系的圖象不得分。由于之前有學(xué)者已研究得出圖象表征與成功解決數(shù)學(xué)問題之間呈負(fù)相關(guān)，故本研究分析不重復(fù)該點。

三、分析與討論

1. 圖式表征運用與成功解題的相關(guān)性

在實驗設(shè)計中，學(xué)生具有結(jié)構(gòu)性圖表的思考每題記1分，成功解題記1分，利用spss16.0軟件計算兩者的相關(guān)性（見表1）。

從表1看出，做題總分與圖式總分相關(guān)系數(shù)為 .376** ，Sig. （2-tailed）= .000<.05，是顯著相關(guān)。即用圖思考是影響做題正確率的。這與文獻(xiàn)調(diào)查中很多學(xué)者的研究一致，適當(dāng)?shù)剡\用圖式表征思考可以促進(jìn)成功解題。

2. 圖式表征運用的程度

通過實驗從數(shù)據(jù)中獲知，小學(xué)三、四年級的學(xué)生運用圖表分析數(shù)學(xué)問題的比率整體約在50%。也就是說，學(xué)生在思考過程中能夠運用多種表征協(xié)助數(shù)學(xué)思考，其中有一半使用了作圖思考（見表2）。

3. 對學(xué)生自覺作圖思考產(chǎn)生影響的因素

根據(jù)實驗設(shè)計的情況，再結(jié)合實驗數(shù)據(jù)的結(jié)果，不難得出對學(xué)生自覺作圖思考產(chǎn)生影響的因素有以下幾點：

（1）教師言語提示與學(xué)生思考的成熟度

根據(jù)實驗設(shè)計，（1）班教師對學(xué)生是不作任何提示的；（2）班教師在測試前會提醒該班學(xué)生可以使用不同的方法答題；（3）班教師不僅提醒了學(xué)生可以使用多種方法答題，還利用簡易的例子向?qū)W生介紹作圖分析數(shù)學(xué)問題的好處和方法。由此看來，三個班的學(xué)生在教師不同的言語影響下，答題思考的策略肯定有所不同。那么影響程度如何呢？我們對各班學(xué)生運用畫圖思考的程度做了相關(guān)性分析（見表3）。

由表2、表3可見，教師言語提示對學(xué)生畫圖分析的自覺性是有一定影響的，特別是稍低年級的學(xué)生尤為明顯，很多時候他們的表現(xiàn)是不知道如何表達(dá)。當(dāng)學(xué)生思考成熟度增加到一定程度時，他們使用圖表思考的自覺性會增加，即便教師沒有提示，也會選擇多種方法進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

但是很明顯的是，關(guān)于畫圖思考的指導(dǎo)，短時教授對學(xué)生的作用并不大。原因有兩個：一是實驗中教師的短時教授質(zhì)量不高；第二個原因，畫圖思考是一種需要學(xué)生自己在較長時間內(nèi)體驗其成功所形成的經(jīng)驗，短時教授需要較高的教學(xué)水平，否則效果自然不明顯。

（2）數(shù)學(xué)問題的類型

從表2可以看到，前三題學(xué)生使用圖表分析的比率是比較大的，而第四題的比率明顯很低。另外，關(guān)于四道數(shù)學(xué)題，圖式表征運用得分與成功解題得分的相關(guān)性顯示：前三題的畫圖分析與成功解題密切相關(guān)，第四題的畫圖分析與成功解題無關(guān)（見表4）。

從表4分析畫圖思考與成功答題（得分）的相關(guān)性，第一、二、三題的畫圖分析與成功答題都是顯著相關(guān)；而第四題相關(guān)系數(shù)為 .070 ，Sig. （2-tailed）= .261>.05，是顯著相關(guān)的。

由此看出，涉及方位問題的數(shù)學(xué)問題，如地點坐標(biāo)、植樹問題等，用圖的適切性較大，學(xué)生畫圖分析的自覺性自然較高。

第四題的數(shù)量關(guān)系式是關(guān)于集合問題的，利用子集與全集的關(guān)系得出結(jié)論。在訪談中我們了解到，較多解題成功的學(xué)生利用子集間的關(guān)系直接加減運算即得到結(jié)果，認(rèn)為不需要畫圖分析。而對于解答集合問題常用的“維恩圖”，學(xué)生也沒有接觸過，所以沒有使用。endprint

總結(jié)得出，數(shù)量關(guān)系簡潔明確的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生會直接利用數(shù)量關(guān)系分析得出結(jié)果，這類問題使用圖表分析的適切性不大，學(xué)生畫圖分析的自覺性自然也較低。

四、教學(xué)啟示

1. 學(xué)生需要在教師的提示中開拓思維

從學(xué)生的心理分析，較小年齡學(xué)生在做題的時候，首先想到的是自己曾經(jīng)獲得成功的解題方法，或者是課堂上教師指導(dǎo)過、同學(xué)們展示過的解題技巧。有些時候他們的表現(xiàn)是不知道如何表達(dá)。如果教師在日常的教學(xué)中沒有注意使用多種表征（包括言語、圖表、符號等）與學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，那么學(xué)生在獨立思考的時候就會受到單一表征的桎梏。因此，要開拓學(xué)生的思維，教師就要使用多元表征與學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，啟發(fā)學(xué)生利用多種途徑進(jìn)行思考是十分必要的。

2. 良好的思考方式需要長期培養(yǎng)

實驗發(fā)現(xiàn)，短暫的畫圖指導(dǎo)對學(xué)生幾乎不起作用。我們指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自覺運用畫圖的方法思考數(shù)學(xué)問題，可以從兩方面入手：一是提高短時教授的質(zhì)量；二是幫助學(xué)生在平時就養(yǎng)成良好的畫圖思考的習(xí)慣。前者需要講求教學(xué)方法，當(dāng)然好的教學(xué)方法可以讓學(xué)生盡快掌握一門絕招。例如，有教師提出“反向引導(dǎo)策略”，即先讓孩子學(xué)會看圖說意，再教會學(xué)生據(jù)意畫圖。因為這是雙向的，也可以說是表征的轉(zhuǎn)化。多元表征的轉(zhuǎn)化就是對信息的不同處理方式，這是數(shù)學(xué)思維過程的一種優(yōu)化訓(xùn)練。對畫圖思考習(xí)慣的培養(yǎng)，是對孩子潛移默化的影響，讓學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)畫圖分析的優(yōu)勢，學(xué)會如何畫圖理解數(shù)學(xué)概念、規(guī)律，如何畫圖表解答數(shù)學(xué)問題，更要辯證地運用各種方法，而不是一概而論。

3. 選擇恰當(dāng)?shù)谋碚黝愋?/p>

各種表征有其特有的優(yōu)勢，一般情況下，問題形式?jīng)Q定了人們常用的表征形式。只有當(dāng)常規(guī)的表征形式不便于或不利于解決問題時，有經(jīng)驗的問題解決者才會采用另一種更有效的表征形式。何為常規(guī)表征與更為有效的表征？這取決于學(xué)習(xí)者成功解題的經(jīng)驗。教師有意識地勤于指導(dǎo)和提示學(xué)生采用不同形式的表征策略進(jìn)行解題，從而獲得成功經(jīng)驗，是非常重要的。

能否成功地選擇和建構(gòu)一種適當(dāng)?shù)谋碚餍问饺Q于解決問題的綜合知識與以往運用某種表征的經(jīng)驗。前者受數(shù)學(xué)知識習(xí)得的影響，后者則可以通過教師對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的訓(xùn)練獲得經(jīng)驗。學(xué)生要學(xué)會依據(jù)不同問題的數(shù)量關(guān)系及呈現(xiàn)形式選擇恰當(dāng)?shù)谋碚黝愋蛯栴}進(jìn)行分析，教師就需要在平時訓(xùn)練學(xué)生一題多解。比較在同一問題情境下或者同一數(shù)量關(guān)系下，多元表征各自的優(yōu)勢所在，從而獲得辨別的經(jīng)驗。endprint