羅勇

摘 要：本文以高等學(xué)校常微分方程解的存在唯一性定理的教學(xué)為例，闡述高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育，提高教學(xué)效率和效果的可能的途徑和應(yīng)該注意的問題。本文的觀點(diǎn)主要基于作者親身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)，同時(shí)力圖使本文的教學(xué)觀點(diǎn)和建議具有一般性和廣泛的意義。

關(guān)鍵詞：高校數(shù)學(xué)教育；常微分方程基本定理；教學(xué)方法

在各高校的許多本科專業(yè)，如數(shù)學(xué)，物理，計(jì)算機(jī)，經(jīng)濟(jì)與管理，工科等在大二或大三的時(shí)候都會(huì)開設(shè)常微分方程這門課程。筆者從事經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融專業(yè)的常微分方程的教學(xué)工作已有兩年，今年已經(jīng)是第三次主講這門課程了。因?yàn)閷?duì)這門課程積累了較多的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，難免心中有一些感悟，不發(fā)不快。今天就來簡(jiǎn)單講講這門課程其中的一個(gè)章節(jié)：常微分方程解的存在唯一性的教學(xué)的一些經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，算是對(duì)自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的小結(jié)，希望能夠啟發(fā)自己和讀者。

筆者比較了現(xiàn)在國(guó)內(nèi)幾本主要的常微分方程教材，比如復(fù)旦大學(xué)出版社出版，張曉梅教授等人主編的《常微分方程》； 高等教育出版社出版，東北師范大學(xué)微分方程教研室主編的《常微分方程》以及高等教育出版社出版，北京大學(xué)丁同仁教授等人編寫的經(jīng)典教材《常微分方程教程》之后發(fā)現(xiàn)，不同的教材在編寫常微分方程解的存在唯一性定理的時(shí)候，選材是大同小異的，幾乎都以Picard存在唯一性定理為主，兼顧著介紹一下Euler的解的存在性定理。但是由于不同的教材假想的受眾不太一樣，各個(gè)教材還是會(huì)有一些差異。

常微分方程在高校的所有數(shù)學(xué)課程中，總的來說是一門比較簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)專業(yè)課，但是它又為應(yīng)用高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)來解決很多實(shí)際問題，提供了一個(gè)很重要的例子。因此筆者認(rèn)為它具有很獨(dú)特的地位。尤其是在解的存在唯一性定理的講解中，提供了一個(gè)全方位鍛煉大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的機(jī)會(huì)。筆者接下來就來展開說明為什么是這樣。

Picard存在唯一性定理是說，如果方程的右端函數(shù)f（x，y）在以（x_0，y_0）點(diǎn)為中心，長(zhǎng)a寬b的矩形區(qū)域上連續(xù)，并且關(guān)于y變量在該區(qū)域上滿足Lipschitz連續(xù)性條件，那么常微分方程的初值問題存在唯一的解，其中解的存在區(qū)間在a和b除f在矩形區(qū)域上的最大值的商中取小。定理的證明非常漂亮，先是把方程轉(zhuǎn)化為和它等價(jià)的積分方程，然后對(duì)積分方程做Picard迭代，定義出來一個(gè)函數(shù)序列，再證明這個(gè)函數(shù)序列在定理的區(qū)間上一致收斂到積分方程的解，從而證明了微分方程解的存在性。唯一性的證明可以用一種在存在性的證明中反復(fù)用到的迭代估計(jì)的方法，也可以通過證明Bellman引理得到，兩個(gè)證明都是非常簡(jiǎn)潔漂亮的。其中用Bellman引理的證明更復(fù)雜一些，但是由于Bellman引理的重要性，這個(gè)證明方法也是值得詳細(xì)介紹的。

要提到的是，除了用Picard迭代的方法證明解的存在性之外，還可以用壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理來進(jìn)行證明。不動(dòng)點(diǎn)定理的證明方法可謂是高屋建瓴，其論證非常簡(jiǎn)短，其美妙難以形容。但是在建立不動(dòng)點(diǎn)定理的過程中需要引進(jìn)較為抽象的距離和完備性的概念，需要學(xué)生進(jìn)行一些適應(yīng)。我覺得這個(gè)證明方法可以介紹性的給學(xué)生講解，但是對(duì)于數(shù)學(xué)系的學(xué)生，這個(gè)證明是完全可以理解的，應(yīng)該進(jìn)行詳細(xì)的講解。

從事數(shù)學(xué)研究的時(shí)候，我們會(huì)知道，一個(gè)定理的得出，其假設(shè)是非常重要的。不同的假設(shè)得到不同的結(jié)論。假設(shè)的強(qiáng)度也影響到結(jié)論的強(qiáng)度。在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)定理與其假設(shè)的這種關(guān)系，我們往往強(qiáng)調(diào)的不夠，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定程度的缺陷。想要加強(qiáng)這種教育，在講解常微分方程解的存在唯一性定理的時(shí)候，就是一個(gè)極好的機(jī)會(huì)。因?yàn)槲覀冎繮icard解的存在唯一性定理中，解的唯一性實(shí)際上就很依賴于f（x，y）關(guān)于變量y是Lipschitz連續(xù)的這個(gè)假設(shè)。因?yàn)镋uler存在性定理告訴我們，要得到微分方程解的存在性，假設(shè)f（x，y）是連續(xù)的就夠了，但是Euler解一般來說不是唯一的。在數(shù)學(xué)研究中，如何在盡可能弱的假設(shè)下得到同樣的結(jié)論也是核心的努力方向之一，我們也應(yīng)該在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。比如在常微分方程解的存在唯一性定理中，我們就可以問為了仍然得到解的存在唯一性，f（x，y）的假設(shè)是否可以減弱。這方面的嘗試在丁同仁教授等人的教材中就有，我們?cè)诮虒W(xué)的過程中亦應(yīng)該把它作為一個(gè)重要的方面進(jìn)行強(qiáng)調(diào)。

以上就是筆者近年來從事常微分方程這門課程的教學(xué)之后，在比較了若干主要教材，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)體驗(yàn)之后對(duì)常微分方程解的存在唯一性定理的教學(xué)應(yīng)該注意和強(qiáng)調(diào)的一些方面，進(jìn)行的一個(gè)小結(jié)。教育方法和教學(xué)效果的提高，是一個(gè)宏大的課題，需要進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的積累，總結(jié)和提高。希望筆者若干年后，能對(duì)這個(gè)課題發(fā)表新的感想，以供方家指正，不勝感激！

參考文獻(xiàn)：

[1]張曉梅，張振宇，遲東璇.常微分方程[J]，復(fù)旦大學(xué)出版社.

[2]東北師范大學(xué)微分方程教研室主編，常微分方程第二版[M].高等教育出版社.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社.endprint