謝晉

摘要：隨著全球經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題再用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題顯得尤為重要，而數(shù)學(xué)建模就是利用計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題。本文從四個(gè)方面論述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)用中數(shù)學(xué)建模的重要性，詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)建模在生活中的應(yīng)用和怎樣在學(xué)校教育中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)這兩個(gè)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)四個(gè)方面即概念、重要性、應(yīng)用、養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力的深刻論述得出結(jié)論，數(shù)學(xué)建模是架于數(shù)學(xué)理論和生活實(shí)際之間的一個(gè)橋梁，讓人們看到了數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)在現(xiàn)代教育中的重要地位和作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；綜合素質(zhì)；教學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)建模的概念

數(shù)學(xué)建模非常廣泛、簡(jiǎn)單，它一直與生活、學(xué)習(xí)息息相關(guān)。例如，在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的課程時(shí)，根據(jù)應(yīng)用題的已知量列出的數(shù)學(xué)等式就是最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，對(duì)方程進(jìn)行求解的過(guò)程就是在進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的方法。也就是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象、簡(jiǎn)化、確定變量和參數(shù)、并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立變量，參數(shù)間的確定性的數(shù)學(xué)問(wèn)題（也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型）求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的多次循環(huán)，不斷深化結(jié)果。它是用數(shù)學(xué)方法解決各種實(shí)際問(wèn)題的橋梁。

（二）數(shù)學(xué)建模的思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“處理”現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種有效的數(shù)學(xué)手段。而通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)形式的模型。求解檢驗(yàn)體問(wèn)題獲得解決的方法稱為數(shù)學(xué)建模方法。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)系統(tǒng)的過(guò)程，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的過(guò)程中需要利用各種技巧、技能的及分析、綜合等認(rèn)知活動(dòng)。綜合分析，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題必須先通過(guò)觀察分析、提煉出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，之后再把數(shù)學(xué)模型納入知識(shí)系統(tǒng)去處理。

（三）數(shù)學(xué)建模的流程

這里所說(shuō)的建模步驟只是大體上的規(guī)范，實(shí)際操作中應(yīng)針對(duì)具體問(wèn)題作具體分析，靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模的一般步驟如下：

1.準(zhǔn)備模型。熟悉實(shí)際問(wèn)題，了解與問(wèn)題有關(guān)的背景知識(shí)，明確建模的目的。

2.建立模型。分析處理已有的數(shù)據(jù)、資料，用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言找出必要的假設(shè)；利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具描述有關(guān)變量和元素的關(guān)系，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（如方程、不等式、表格、圖形、函數(shù)、邏輯運(yùn)算式、數(shù)值計(jì)算式）。在建模時(shí)，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，以使模型得到更廣泛的應(yīng)用與推廣。

3.求解模型。利用數(shù)學(xué)工具，對(duì)模型進(jìn)行求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質(zhì)討論等。對(duì)模型求解的結(jié)果進(jìn)行分析，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)分析各變量之問(wèn)的依賴關(guān)系，有時(shí)需要根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)式的預(yù)測(cè)和最優(yōu)決策、控制等。

4.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。把模型分析的結(jié)果返回到實(shí)際應(yīng)用中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯?shí)用性，即驗(yàn)證模型的正確性。通常，一個(gè)成功的模型不僅能夠解釋已知現(xiàn)象，而且還能預(yù)言一些未知現(xiàn)象。

如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際不符或部分不符，而且求解過(guò)程沒(méi)有錯(cuò)誤，那么問(wèn)題一般出在模型假設(shè)上，此時(shí)應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)。如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際相符，并滿足問(wèn)題所要求的精度，則認(rèn)為模型可用，便可進(jìn)行模型應(yīng)用與推廣。

二、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的重要性和可行性

（一）數(shù)學(xué)建模的重要性

數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)際上是數(shù)學(xué)和研究的實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的結(jié)果。一個(gè)成功的數(shù)學(xué)應(yīng)用的成果往往會(huì)使人們對(duì)所研究問(wèn)題的認(rèn)識(shí)達(dá)到更深入的層次，這是當(dāng)使用自然語(yǔ)言來(lái)描述一個(gè)現(xiàn)象是很難做到的。數(shù)學(xué)是各學(xué)科可以共同使用的一種科學(xué)語(yǔ)言，有它自己的理論體系，而實(shí)際問(wèn)題則各自顯示自己的特征和要求。一個(gè)成功的應(yīng)用必須把兩者溝通建立它們之間的緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)模型就是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁。通過(guò)數(shù)學(xué)模型的組建把數(shù)學(xué)的語(yǔ)言引到實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際問(wèn)題的對(duì)模型的分析的特殊要求，又往往對(duì)數(shù)學(xué)理論提出新的挑戰(zhàn)。實(shí)踐證明，要想使數(shù)學(xué)應(yīng)用成功，將有賴于應(yīng)用者深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和他的嚴(yán)格的邏輯推理的訓(xùn)練。但僅僅如此是不夠的，還要依賴于他的敏銳的眼光，分析歸納的能力以及對(duì)實(shí)際問(wèn)題的深入理解和廣博的知識(shí)面。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)理論主要著眼于內(nèi)部的理論結(jié)構(gòu)和它們之間的邏輯聯(lián)系，并沒(méi)有著意于討論如何從實(shí)際問(wèn)題中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題以及如何應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題方面的內(nèi)容。作為一個(gè)應(yīng)用者，更想使自己的應(yīng)用工作得到成功，僅僅掌握數(shù)學(xué)理論的內(nèi)容和訓(xùn)練是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，他必須具備應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，必須經(jīng)受更全面的訓(xùn)練。

在信息的時(shí)代，數(shù)學(xué)將扮演一個(gè)十分重要的角色，一個(gè)人數(shù)學(xué)素質(zhì)的高低將作為衡量他的能力的重要因素。數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和實(shí)踐對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)有著積極重要的作用。首先，數(shù)學(xué)知識(shí)的真正掌握不是教出來(lái)的，而是學(xué)生自己做出來(lái)的，數(shù)學(xué)建模正是一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程，它體現(xiàn)了學(xué)與用的統(tǒng)一。

其次，受應(yīng)試教育的影響，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)往往只是在純數(shù)學(xué)推理圈內(nèi)活動(dòng)，而將數(shù)學(xué)的源頭和去向都棄之不顧，從而造成許多學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有什么用處，純粹是符號(hào)游戲，是為升學(xué)而學(xué)。數(shù)學(xué)給學(xué)生的印象似乎是：代數(shù)繁，幾何難。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開(kāi)展能讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)的生命力就在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向人們提出的各種問(wèn)題。

（二）數(shù)學(xué)建模的可行性

馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一種科學(xué)只有在成功地應(yīng)用到數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到真正完美的地步?！备叩葦?shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想的適宜的相互結(jié)合的目的在于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力及創(chuàng)新的能力。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)引人建模的方法和思維，重點(diǎn)培育學(xué)生的實(shí)踐能力，以案例分析為重點(diǎn)，以“題”為中心的組織基礎(chǔ)知識(shí)講授，來(lái)充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和自主性，以“用”為標(biāo)準(zhǔn)，取舍教學(xué)內(nèi)容以“練”為手段選擇靈活多樣的教學(xué)方法，講解難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，精講多練，讓學(xué)生在“煉”中發(fā)現(xiàn)自己的知識(shí)缺陷，激發(fā)他們的求知欲，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的。

三、數(shù)學(xué)建模在生活各個(gè)方面的應(yīng)用分析

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯越來(lái)越多的出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中。電氣工程師必須要建立所要控制的生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)這個(gè)模型對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制。氣象工作著為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開(kāi)根據(jù)氣象站，氣象衛(wèi)星匯集的氣壓，雨量，風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的模型，就可以分析藥物的療效，有效的指導(dǎo)臨床用藥。城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為領(lǐng)導(dǎo)層次對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。廠長(zhǎng)經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本，貯存費(fèi)用等信息籌劃出一個(gè)合理的安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，一定可以獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益。就是日常生活如訪友采購(gòu)當(dāng)中，人們也會(huì)談?wù)撜乙粋€(gè)數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化一下出行路線，對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)人員和應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問(wèn)題與他們掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。

數(shù)學(xué)建模據(jù)建模的方式和應(yīng)用領(lǐng)域的不同可以用許多種分類。日常生活即應(yīng)用領(lǐng)域模型大概可以分為經(jīng)濟(jì)與管理、社會(huì)與文化、工業(yè)與科技、人口與交通、生態(tài)與環(huán)境、體育生理與醫(yī)療等幾類。

（一）最優(yōu)化應(yīng)用

最優(yōu)化應(yīng)用題包括工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、日常生活、試驗(yàn)、銷售、投資、比賽等方面，分最值問(wèn)題、方案優(yōu)化的選擇、試驗(yàn)方案的制定等類型。對(duì)于最值問(wèn)題，一般建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；而對(duì)于方案的優(yōu)化選擇問(wèn)題是將幾種方案進(jìn)行比較，選擇最佳的方案。

一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)客房，每問(wèn)客房定價(jià)相等，最高定價(jià)為198元，最低定價(jià)為88元。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價(jià)為198元時(shí)，住房率為55%；每間客房定價(jià)為168元時(shí)，住房率為65%；每間客房定價(jià)為138元時(shí)，住房率為75%每間客房定價(jià)為108元時(shí)，住房率為85%.欲使旅館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價(jià)？

分析與思考：據(jù)經(jīng)理提供的數(shù)據(jù)，客房定價(jià)每下降30元，入住率即提高10個(gè)百分點(diǎn)。相當(dāng)于平均每下降1元，入住率提高1/3個(gè)百分點(diǎn)。因此，可假設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)。

（二）金融與經(jīng)濟(jì)

現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)生活中，人與金融之問(wèn)的關(guān)系日益密切。金融類的題目注重了針對(duì)性、典型性、新穎性和全面性，因而對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)方面的要求就更高。

涉及金融與經(jīng)濟(jì)的建模題常見(jiàn)的有投資問(wèn)題、住房貸款問(wèn)題、分期付款問(wèn)題、證券問(wèn)題等。一般的做法是通過(guò)數(shù)學(xué)建模將此類題型轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)中的常用知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決，如數(shù)列問(wèn)題、冪函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題等。

例 （購(gòu)房貸款）：小李年初向銀行貸款20萬(wàn)元用于購(gòu)房。已知購(gòu)房貸款的年利率優(yōu)惠為10%，按復(fù)利計(jì)算。若這筆貸款要求分10次等額歸還，每年一次，并從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元（精確到1 元）？

分析與思考：已知貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限，要求出每年的歸還額。本題即可化為求每年的歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限的關(guān)系。

不妨先把這個(gè)問(wèn)題作一般化處理。假設(shè)向銀行貸款元M0，年利率為α，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息記入次年的本金生息），并從借款后次年年初開(kāi)始每次k元等額歸還，第n次全部還清。那么，一年后欠款數(shù)M1=（1+α ） M0-k

兩年后欠款數(shù)M2=（1+α ） M1-k=（1+α ） 2M0-k[（1+α ）+1]

N年后欠款數(shù)Mn=（1+α） Mn-1-k=（1+α） nM0-k[（1+α） n -1]/ α

由Mn==0

可得k=α（1+α） n + M0/ （1+α）n-1

這就是每年歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限之問(wèn)的關(guān)系式。

對(duì)于上述購(gòu)房問(wèn)題，將a =0.1，M0=200 000 ， n=10代入得32 549.6元。

本題建模的關(guān)鍵在于：將每年的歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限的關(guān)系化為數(shù)列計(jì)算問(wèn)題。

（三）估算與測(cè)量

估計(jì)與測(cè)量是數(shù)學(xué)中最古老的問(wèn)題。估算與測(cè)量類的建模題，其背景包括人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)、科學(xué)技術(shù)等方面的一些測(cè)量、估算、計(jì)算。

對(duì)于估算與測(cè)量的題目，一般要先理解好題意，正確建模，然后通過(guò)周密的運(yùn)算，找出結(jié)論。這類題目常?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式、數(shù)列、二項(xiàng)式定理展開(kāi)式、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行處理。

四、實(shí)踐中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的建議

（一）在公式中使用建模思想

在高數(shù)教材中占有重要位置的是公式，也是要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容之一。為了讓教師的教學(xué)效果進(jìn)一步提升，在課堂上老師不僅要讓學(xué)生對(duì)計(jì)算的技巧進(jìn)一步提升之余，還要和建模思想結(jié)合在一起，讓解題難度更容易，還讓課堂氛圍更活躍！為了讓學(xué)生對(duì)公式中使用建模思想理解的更透徹，老師還應(yīng)該結(jié)合實(shí)例開(kāi)展教學(xué)。

（二）講解習(xí)題的時(shí)候使用數(shù)學(xué)模型的方式

課本例題使用建模思想進(jìn)行解決，老師通過(guò)對(duì)例題的講解，很好的講述使用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的方式，讓學(xué)生清醒的認(rèn)識(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中怎樣使用數(shù)學(xué)建模。完成每章學(xué)習(xí)的內(nèi)容之后，充分的利用時(shí)間為學(xué)生解疑答惑，以學(xué)生所學(xué)的專業(yè)情況和學(xué)生水平的高低選擇合適的例題，完成建模、解決問(wèn)題的全部過(guò)程，提升學(xué)生解決問(wèn)題的效率。

（三）組織學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

一般而言，在競(jìng)賽中可以很好地鍛煉學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)以及獨(dú)立思考的能力。這就要求學(xué)校充分的利用資源并廣泛的宣傳，讓學(xué)生積極的參加競(jìng)賽，在實(shí)踐中鍛煉學(xué)生的實(shí)際能力。在日常生活中使用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)自思考，然后在競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程中意識(shí)到自己的不足，今后也會(huì)努力學(xué)習(xí)，改正錯(cuò)誤，提升自身的能力。

五、結(jié)論

高等數(shù)學(xué)主要對(duì)學(xué)生從理論學(xué)習(xí)走向解決實(shí)際問(wèn)題的能力進(jìn)行培養(yǎng)，在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用建模思想，促使學(xué)生對(duì)高數(shù)知識(shí)更充分的理解，學(xué)習(xí)的難度進(jìn)一步降低，提升應(yīng)用能力和探索能力。當(dāng)前，在高等教學(xué)過(guò)程中引入建模思想還存在一定的不足，需要高校高等數(shù)學(xué)老師進(jìn)行深入的研究和探索的同時(shí)也需要學(xué)生很好的配合，以便于今后的教學(xué)中進(jìn)一步提升教學(xué)的質(zhì)量。

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