張遠(yuǎn)富

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）09-0075-01

探究學(xué)習(xí)是素質(zhì)教育倡導(dǎo)的一種學(xué)習(xí)方式，進(jìn)行探究學(xué)習(xí)有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，使其進(jìn)行主動(dòng)的探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、問題意識(shí)，以及關(guān)注現(xiàn)實(shí)，關(guān)注人類發(fā)展的意識(shí)和責(zé)任感，有利于改變學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的枯燥感覺，有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問題能力。

接下來就是針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)問題怎樣來探究學(xué)習(xí)：有一百萬張獎(jiǎng)票，唯一的獎(jiǎng)項(xiàng)是一張10萬元的大獎(jiǎng)，第一個(gè)排隊(duì)買彩票的人中獎(jiǎng)的概率與最后一個(gè)買彩票的人的人的中獎(jiǎng)的概率有什么區(qū)別？這個(gè)問題對(duì)很多熱衷于買彩票的人來說，很少有人探究彩票中獎(jiǎng)與概率之間的關(guān)系，甚至有人認(rèn)為彩票中獎(jiǎng)與概率之間沒有什么必然關(guān)系，其實(shí)不然。

有關(guān)彩票中獎(jiǎng)的問題暫時(shí)先放一下，我們先探究另一個(gè)問題：一個(gè)袋子裝有100個(gè)球，其中有60個(gè)紅球，40個(gè)白球，從中每摸出一個(gè)球而不放回去，問第一次，第二次，第三次摸到白球的概率是多少？設(shè)第一次摸到白球?yàn)槭录1（白），第二次摸到白球?yàn)槭录2（白），第一次摸到紅球?yàn)槭录1（紅）。顯然第一次摸到白球的概率很容易得出答案：40/100。但是第二次摸到白球的概率怎么算呢？有的學(xué)生回答是 39/99，有的學(xué)生回答40/99，這兩種答案正確嗎？誰是對(duì)的，讓學(xué)生進(jìn)一步思考討論。回答第一種答案的理由是第一次取走了一個(gè)白球剩下只有39個(gè)白球了，當(dāng)然是概率就是39/99。回答第二種答案的理由剛好反過來，認(rèn)為第一次取走的是紅球而并非白球，當(dāng)然概率就是40/99。根據(jù)以上兩種理由，于是有人對(duì)以上的答案作出了否定，因?yàn)榈谝淮稳∽呤裁辞蚴桥既坏?，而非必然，取走紅球或者白球都有可能并對(duì)第二次取走白球的概率是有影響的，此時(shí)繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生怎樣求出第二次取得白球的概率？啟發(fā)學(xué)生第一次取得的球可能是白球，也可能是紅球，那么第二次取得白球的概率就有幾種情況：一種是先摸到白球后摸到紅球，另一種情況是先摸到紅球后摸到白球，則第二次摸到白球的概率就應(yīng)該這樣算：P2（白）=P1（白）×P2（白）+P1（紅）×P2（白）=40/100×39/99+60/100×40/99=40/100。居然同第一次摸到白球的概率相同，學(xué)生感到很驚奇，緊接著計(jì)算第三次摸到白球的概率，這時(shí)學(xué)生很容易探索出第三次摸到白球有四種情況：即（白、白、白）、（白、紅、白）、（紅、白、白）、（紅、紅、白），概率就是：P3（白）=40/100×39/99×38/98+40/100×60/99×39/98+60/100×40/99×39/98+60/100×59/99×40/98=40/100，又是40/100。此時(shí)點(diǎn)名計(jì)算法就是今天要學(xué)到的全概率公式。做完這道題后，馬上有提出問題，第十次，第二十次，摸到白球的概率又是多少？于是學(xué)生猜測(cè)還是40/100，能否驗(yàn)證一下，學(xué)生感覺有點(diǎn)困難。顯然按照這種計(jì)算很復(fù)雜，能否有其他辦法？引導(dǎo)學(xué)生用比例考慮，討論摸索，從而，探索出一種簡(jiǎn)單的方法，考慮第一次取球，紅球?yàn)?0/100，白球概率為40/100，即“紅球占60/100，白球占40/100”。這樣相當(dāng)于從100個(gè)球中按比例取出了一個(gè)球，那么剩下的99個(gè)球中白球與紅球的比例，取第二個(gè)白球的概率就是40/100，這種方法簡(jiǎn)單易懂。同理我們可以得到：取到第十次，二十次時(shí)，白球的概率仍為40/100。關(guān)鍵要理解按比例摸球，這對(duì)于解題起著很大的作用，學(xué)生可以在未知第一階段的具體取球的情況下，只考慮第二階段，從而簡(jiǎn)化全概率公式。

回過頭到第一個(gè)問題上，把這個(gè)模型運(yùn)用到彩票問題上。第一個(gè)排隊(duì)買彩票的人，其中獎(jiǎng)的概率與最后一個(gè)人沒有任何區(qū)別的，因?yàn)?，前面買彩票的人按比例拿走了彩票，這并不影響后面購買者的中獎(jiǎng)概率?？赡苡腥藭?huì)想“第一張彩票萬一就是中獎(jiǎng)的，買了豈不是賺了？”但是條件必須是“第一張彩票中獎(jiǎng)”。因此，條件概率與我們所說的不同，我們可以稱前面的摸球模型為“彩票模型”。

以上是對(duì)買彩票中獎(jiǎng)問題的探究性學(xué)習(xí)過程記錄，這里特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，就要從現(xiàn)實(shí)的有趣的富有挑戰(zhàn)性的問題中進(jìn)行，采用觀察、猜測(cè)、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，構(gòu)建“問題情景——建立模型——解釋、運(yùn)用于擴(kuò)展”基本模式中訓(xùn)練。

在接下來，在研究一個(gè)與彩票類似的問題。在民間老百姓吃酒經(jīng)常玩的一種游戲，在我接觸到的所有玩這種游戲的人，沒有一個(gè)人明白其中里面的道理是怎么一回事。這個(gè)游戲是這樣玩的，只要有兩個(gè)人以上就可以玩，如果有8個(gè)人，就準(zhǔn)備8枚硬幣之類的小東西，其中1人用手包住8枚硬幣中的任意幾枚，叫其他7人一個(gè)一個(gè)的猜，誰猜中包的硬幣數(shù)，就罰誰喝酒，7個(gè)人若都沒有猜中，包硬幣的人自罰酒，吃酒的人又繼續(xù)重新包硬幣開始，在這個(gè)游戲中，學(xué)生提出了以下問題：第一種觀點(diǎn)是：首先猜的人猜中的幾率最小，其次是第二人，從此類推最后一人猜中的幾率最大；第二種觀點(diǎn)是：包硬幣的幾率最??；第三種觀點(diǎn)是：所有人猜中的幾率都一樣的。問題提出來讓學(xué)生給出理由，通過學(xué)生相互討論后，第一種觀點(diǎn)的理由是：首先猜的人猜中的幾率只有1/8，第二個(gè)人猜中的幾率變成了1/7，以此下去，最后一個(gè)人猜中的幾率是1/2，而第二、三種觀點(diǎn)理由不充分，只是感覺和實(shí)踐中的體會(huì)，進(jìn)行到這里，必要提醒學(xué)生這個(gè)問題與模型彩票中獎(jiǎng)的問題是否相似？經(jīng)過一陣思考后，于是有的學(xué)生立即站出來反對(duì)第一二兩種觀點(diǎn)，而贊成第三種觀點(diǎn)。首先猜中的概率卻是只有1/8，但如果首先猜中的話（這種可能是存在的），下一個(gè)人猜中的概率還是1/7嗎？不就是0嗎？因此，第一種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，第二種是同樣的道理，顯然也是錯(cuò)誤的，只余最后一個(gè)觀點(diǎn)，我就想到已經(jīng)探究解答的買彩票中獎(jiǎng)問題，實(shí)質(zhì)是一樣的，也是一個(gè)按比例猜幣問題，每一個(gè)人猜幣都按1：7中與不中比例猜測(cè)的，因此，每一個(gè)人包括包幣的人都應(yīng)該是一樣的。到此，我們對(duì)概率在生活中的一些問題應(yīng)用的探究就告一個(gè)段落。

通過以上的探究、爭(zhēng)論，學(xué)生對(duì)概率在生活中的運(yùn)用有了更深刻的認(rèn)識(shí)、了解和特殊的興趣，同時(shí)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題，大膽猜測(cè)的創(chuàng)造性思維方式，改變了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的枯燥感覺，并在這個(gè)過程中初步體驗(yàn)了數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，總結(jié)數(shù)學(xué)的規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的目的。endprint