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        復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的數(shù)形結(jié)合方法

        2017-08-29 14:35:56馮艷超
        課程教育研究 2017年28期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)層增函數(shù)外層

        馮艷超

        【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)28-0133-01

        對(duì)于復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題常用解決方法有兩種:第一種方法可以用導(dǎo)數(shù)方法來(lái)求;但是解不等式有的時(shí)候難度很大;第二種方法可以用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求。這種求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法直觀、簡(jiǎn)便、易懂、便于學(xué)生掌握,是值得一試的好方法?,F(xiàn)將這種方法解析如下:

        比如,求函數(shù)y=log■(x2-4x-5)的單調(diào)區(qū)間。

        解:要先分內(nèi)外層:內(nèi)層函數(shù)為:t=x2-4x-5;外層函數(shù)為: y=log■t,畫(huà)出內(nèi)層函數(shù)t=x2-4x-5的圖像;由內(nèi)層圖像可直接觀察得到內(nèi)層函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間,外層函數(shù)y=log■t當(dāng)t∈(0,∞)是減函數(shù),用方向箭頭代表單調(diào)性標(biāo)在內(nèi)層圖像上;在x軸上方圖像對(duì)應(yīng)外層函數(shù)為減函數(shù),x軸下方圖像無(wú)對(duì)應(yīng)的外層單調(diào)性即復(fù)合函數(shù)在這部分范圍無(wú)意義,只觀察內(nèi)層和外層單調(diào)性都同時(shí)存在的部分即可;x∈(-∞,-1)內(nèi)層函數(shù)是減函數(shù),外層函數(shù)是減函數(shù),所以根據(jù)同增異減的原則復(fù)合函數(shù)在x∈(-∞,-1)是增函數(shù);同理在x∈(5,+∞)內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)而對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是減函數(shù),根據(jù)同增異減的原則復(fù)合函數(shù)在是x∈(5,+∞)減函數(shù)。即:復(fù)合函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1)是增函數(shù),在區(qū)間(5,+∞)減函數(shù)。

        現(xiàn)將此方法總結(jié)一下:復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間,首先要把復(fù)合函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù);其次畫(huà)內(nèi)層函數(shù)圖像,這是因?yàn)樽宰兞糠秶蛦握{(diào)區(qū)間能直接可觀察;第三步求出外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間標(biāo)畫(huà)在內(nèi)層函數(shù)的圖像上;第四步根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的同增異減原則直接得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

        再比如,求y=(sinx)2-sinx+1的單調(diào)區(qū)間。

        解:內(nèi)層函數(shù): t=sinx

        外層函數(shù):y=t2-t+1在t≥■范圍上是增函數(shù),在t≤■范圍上是減函數(shù)。

        周期函數(shù)畫(huà)一個(gè)周期的圖像即可,由圖可知直線(xiàn)t=■上方的內(nèi)層函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)外層函數(shù)單調(diào)性是增函數(shù);t=■下方的內(nèi)層函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)外層函數(shù)單調(diào)性是減函數(shù);要先求出t=■與內(nèi)層函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)榻稽c(diǎn)把內(nèi)層函數(shù)分成四段對(duì)應(yīng)不同的外層單調(diào)性,在區(qū)間-■,■內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是減函數(shù),所以在這個(gè)區(qū)間復(fù)合函數(shù)是減函數(shù);在區(qū)間■,■內(nèi)內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是增函數(shù),所以在這個(gè)區(qū)間復(fù)合函數(shù)是增函數(shù);其他同理可得;因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)是周期函數(shù),所以寫(xiě)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間加上周期即可,所以復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間即:2k?仔-■,2k?仔+■(k∈z)和2k?仔+■,2k?仔+■(k∈z)是增函數(shù);2k?仔+■,2k?仔+■(k∈z)和2k?仔+■,2k?仔+■(k∈z)是減函數(shù)。

        這種數(shù)形結(jié)合求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法非常容易掌握,簡(jiǎn)便易懂,是值得推廣的方法,如果大家有興趣可以試試以下兩個(gè)題;能幫助我們鞏固一下這種數(shù)形結(jié)合的方法。

        練習(xí):1.求y=log3(x2-2x-3)的單調(diào)區(qū)間。

        2.求y=(cosx)2+cosx-2的單調(diào)區(qū)間。

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