趙亮

【摘 要】數列極限定義是高等數學中的一重要概念， 也是學生學習的難點，是后面學習的基礎，但是數列ε-N定義的抽象性使很多學生難以理解，普遍感到“不知所云”，怎樣教好數列極限，使學生真正理解極限的本質，掌握其精髓，以至熟練地去運用它呢？是一個值得探討的問題。下面根據實際教學經歷， 談談數列極限定義教學的一點心得體會。

【關鍵詞】數列極限，ε-N定義

一、設置情境，導入新知

首先通過兩個具體的實例，引導學生初步認識數列的極限：

（1）我國古代著名的哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去，那么把每天截下的長度列出來就可以得到一個數列

讓學生思考當天數無限增加時，截下木棒的長度如何變化？通過思考、觀察不難看出，當天數n無限增大時，數列的通項無限地接近于0。

（2）劉徽“割圓術”，早在公元3世紀，我國古代數學家劉徽就利用圓內接正多邊形來推算圓的面積—割圓術，我們知道，當圓的內接正多邊形的邊數逐漸增大時，它與圓的差別就越小，其面積就越接近于圓的面積。在這里，不妨設圓的面積為S，圓的內接正六邊形的面積為A1，圓的內接正十二邊形的面積A2，…… 圓的內接正6×2n-1邊形的面積為An……于是得到一個數列：讓學生思考，當n無限增大時，數列{An}的通項An如何變化？不難發(fā)現，An無限地接近于圓的面積S。

除了上面兩個實例外，再讓學生看兩個具體的數列：①；②1，4，9，16，25，…，n2，…；讓學生仔細觀察實例中抽象出來的兩個數列和數列①②，它們有什么共同特征呢？在這里可以提示學生當n無限增大時，這4個數列有什么變化趨勢？突出學生課堂的主體地位，讓學生通過思考發(fā)現：當數列的項數n無限增大時，數列的通項都無限地接近于某一個確定的數，我們就稱這個確定的數為數列的極限。因此，我們可以抽象出數列極限的初步定義：對于一個一般的數列{an}，當n無限增大時，若an無限接近于一個確定的數a，則稱為數a為數列{an}的極限。 若不存在這樣一個確定的數a，就說數列沒有極限，如數列②。

二、由直觀描述性定義過渡到精確定義

數列極限的描述性定義只是一種形象的描述，并不嚴謹， 尤其對于“無限趨近”的描述不精確、不嚴密， 無法進行測量。因此， 需要引進較為精確的定義。在這里關鍵要讓學生理解“n無限增大時，an無限接近于一個確定的數a”這句話的含義，可以引導學生作如下分析：當n無限增大時， an無限接近于a。 也就是當n無限增大時， |an-a|無限接近于0。進一步可以理解為當n無限增大時，|an-a|可以任意小， 要多小就能有多小。換句話說就是當n增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先給定的任意小的正數。因此， 如果 n 增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先給定的任意小的正數， 則當n無限增大時， an限接近于常數a。

所以，我們就可以比較自然的給出數列極限的精確定義：設{an}為數列，a為定數，若對任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當時，有|an-a|<ε，則稱數列收斂于a，定數a稱為數列的極限，并記作或。

對定義中的語言需要向學生作進一步的解釋，要指出ε>0；ε的任意性和確定性，其中任意是說ε要多小就有多小，這樣就可以用|an-a|<ε很好的表達an無限接近a的意思；確定性的意思就是ε要給定，從定義中，不難發(fā)現，N是依賴于ε的，只有先確定下來ε，才能更好的去尋找正整數N，并且一般來說N是隨著ε的減小而增大的。如數列， 易知，如果給定，則由知n>100時，，N=100即可；如果給定，則由知n>1000時，，N=1000即可。

在這里要向學生強調N并不是由ε唯一確定的，定義中只強調N的存在性，并不在意它的大小。

三、例題講解，鞏固新知

結合具體例題，引導學生總結論證法步驟：①計算；②對任意給定的ε>0，由開始分析倒推，推出；③取自然數，則當時，恒有；④由極限定義得。

四、課堂小結，加深反思

在課堂總結環(huán)節(jié)，讓學生思考本節(jié)課我們學習了哪些知識？用定義證明數列極限的步驟是什么？通過提問，加深學生對數列極限的理解，掌握從特殊到一般、從具體到抽象的數學思維方法。極限理論是經過了近200 多年才建立起來的，教和學都不容易是可以理解的。 但只要我們在教學上由淺入深，分層次逐步引入定義，就會使學生學習的困難減少一些。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）[M] .北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]桂紹輝.基于數學語言數列極限定義的教學.贛南師范學院學報，2013（3）：95-98.

教改課題：

（1）廣西財經學院學位與研究生教改及學科建設課題：“應用型背景下”數學建模對創(chuàng)新型研究生人才培養(yǎng)模式的研究（XKYJ201613）.

（2） 2016年教師創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力研究專項課題：“互聯網+”時代數學建模對創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)型人才培養(yǎng)模式的探索與研究--以廣西財經學院為例（2016JSZXC14）

（3）《基于數學建模競賽的應用型人才培養(yǎng)模式研究與實踐》（2017A15）