黎偉克

【摘 要】在緊張的初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，提高課堂教學(xué)效率是初三數(shù)學(xué)后期教學(xué)工作的重中之重。在課堂教學(xué)中適時(shí)運(yùn)用比較思維，既能幫助學(xué)生更好、更快、更系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又能提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，自然能夠提高復(fù)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】比較思維；初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）18-0077-02

現(xiàn)行中考時(shí)間都在六月，而初三教學(xué)內(nèi)容難度大，知識(shí)點(diǎn)多，教學(xué)時(shí)間緊；初三內(nèi)容又是中考的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在。很多學(xué)校在沒有增加教學(xué)時(shí)間的前提下，要保質(zhì)、保量地完成教學(xué)內(nèi)容就已捉襟見肘，遑論有充裕時(shí)間進(jìn)行總復(fù)習(xí)。因此，在進(jìn)行初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)如何提高課堂復(fù)習(xí)效率便成為初三數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的重大課題。在多年的初三教學(xué)工作中，筆者發(fā)現(xiàn)，適時(shí)運(yùn)用比較思維，將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)化，幫助學(xué)生更快、更有效地進(jìn)行復(fù)習(xí)，有利于提升教學(xué)效率。

比較思維，就是尋求事物之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。簡(jiǎn)言之，“同中求異”，“異中求同”。前者求異思維，后者求同思維；前者要求善于抓住事物的個(gè)性，有利于把握事物的特征，后者善于抓住事物的共性，有利于把握事物的本質(zhì)。只有抓住事物的個(gè)性與共性，才能深刻地理解事物。在進(jìn)行初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，利用比較思維，可以將零散的知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)串，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，以及分析問題、解決問題的能力。下面從幾個(gè)方面來(lái)說(shuō)明比較思維在初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中的應(yīng)用。

一、在相近概念的復(fù)習(xí)中運(yùn)用比較思維

概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。很多學(xué)生在進(jìn)行概念的學(xué)習(xí)時(shí)，只是停留在詞語(yǔ)、形式的記憶上，而未真正掌握概念的內(nèi)涵和外延。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，將相近的概念放在一起復(fù)習(xí)，有助于加深對(duì)概念的理解，有助于區(qū)別這些概念，從而達(dá)到更好、更準(zhǔn)確理解的目的。

1. 在復(fù)習(xí)互為余角，互為補(bǔ)角概念時(shí)，我們進(jìn)行求同思維：都是對(duì)兩個(gè)角而言，都是描述兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與這兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)；我們求異思維：只有銳角才有余角，銳角，直角，鈍角都有補(bǔ)角?；ビ鄡山鞘侵杆鼈兊暮蜑?0°，互補(bǔ)兩角是指它們的和為180°，即若該角為α，它的余角為：90°-α，而補(bǔ)角為180°-α。

2. 在復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的概念時(shí)，我們進(jìn)行求同思維：都能沿一條直線折疊，直線兩旁的圖形能完全重合，這條直線都叫圖形的對(duì)稱軸；我們進(jìn)行求異思維：軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形而言，它描述的是一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)。而軸對(duì)稱是對(duì)兩個(gè)圖形而言，描述的是兩個(gè)全等圖形具有特殊的位置關(guān)系。若將兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形視為一個(gè)圖形，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

3. 在復(fù)習(xí)矩形、菱形概念時(shí)，我們進(jìn)行求同思維：它們都是平行四邊形；它們都具有平行四邊形的所有性質(zhì)，對(duì)邊分別平行且相等，對(duì)角分別相等，對(duì)角線互相平分，都是軸對(duì)稱圖形。我們進(jìn)行求異思維：矩形是有一個(gè)角是直角的平行四邊形，或是對(duì)角線相等的平行四邊形；菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，或是對(duì)角線互相垂直的平行四邊形。

這樣，通過對(duì)相近概念進(jìn)行比較，既能避免學(xué)生混淆概念，又能加深對(duì)這些概念的理解，復(fù)習(xí)時(shí)學(xué)生也容易掌握。

二、在相近性質(zhì)的復(fù)習(xí)中運(yùn)用比較思維

1. 在復(fù)習(xí)全等圖形的性質(zhì)和相似圖形的性質(zhì)時(shí)，我們求同思維：他們描述的是兩個(gè)圖形形狀相同，對(duì)應(yīng)角相等。我們求異思維：全等圖形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)邊上的高線，對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)角的角平分線，對(duì)應(yīng)的對(duì)角線），周長(zhǎng)，面積相等。而相似圖形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)線段，周長(zhǎng)都成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方。

2. 在復(fù)習(xí)平方根和立方根性質(zhì)時(shí)，我們求同思維：一個(gè)數(shù)平方根的平方等于這數(shù)本身，一個(gè)數(shù)立方根的立方等于它本身。0的平方根、立方根都是0。我們求異思維：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)。負(fù)數(shù)沒有平方根；一個(gè)任意實(shí)數(shù)都有唯一的一個(gè)立方根。一個(gè)數(shù)平方的平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，而一個(gè)數(shù)立方的立方根等于這個(gè)數(shù)。

在教學(xué)中，教師若能將這些相近知識(shí)比較起來(lái)復(fù)習(xí)，學(xué)生就很容易掌握它們性質(zhì)的異同，既能區(qū)分，還可以加深對(duì)這些性質(zhì)的理解。

三、在一題多變的練習(xí)中應(yīng)用比較思維

高效的復(fù)習(xí)課堂追求的目標(biāo)是通過少而精的習(xí)題教學(xué)，既能鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，又能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問題、解決問題的能力，以及邏輯推理能力得到較高程度的提升。

一題多變是跳出題海戰(zhàn)術(shù)的好的途徑。一題多變是指在一道題的基礎(chǔ)上，改變部分條件或是數(shù)字，從而變?yōu)橐粋€(gè)新的問題，它正是在掌握例題典型性的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮例題的可變性，通過條件的變化和問題的改換，使知識(shí)向縱向和橫向延伸。這對(duì)于防止學(xué)生思維的呆板，擺脫思維定勢(shì)的羈絆，都是極其有益的。它可以很好地利用一個(gè)素材，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，使之善于發(fā)現(xiàn)問題的聯(lián)系與區(qū)別，達(dá)到掌握和消化多個(gè)知識(shí)的目的，自然也能夠提升初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的效率。

例1. 在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB。BI，CI交于點(diǎn)I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數(shù)是多少？

在解決這一問題后，提出如下變形問題：①若BI，CI分別是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分線，BI，CI交于點(diǎn)I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數(shù)是多少？

例2. 在三角形ABC中，BI平分∠ABC，CI平分△ACB的外角∠ACD，BI， CI交于點(diǎn)I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數(shù)是多少？

通過觀察、分析發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)問題可以通過角平分線的定義，以及三角形內(nèi)角和求出∠BIC的度數(shù)。后面兩個(gè)問題雖然條件發(fā)生了變化，但是解決問題的思路、方法和前一個(gè)問題類似。所以在復(fù)習(xí)時(shí)，只需引導(dǎo)學(xué)生在求同、求異思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察、比較、聯(lián)想，就能夠找到解決問題的突破口，從而實(shí)現(xiàn)舉一反三，觸類旁通。

這樣的例子還有如下：已知，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

通過觀察和分析，不難得出四邊形是平行四邊形?？梢钥紤]連接AC，利用三角形的中位線知識(shí)說(shuō)明EF，GH都和AC平行，都等于AC的一半，從而說(shuō)明EF，GH既平行又相等，則四邊形EFGH就是平行四邊形了。

此后可以提出以下問題：①在上一個(gè)問題中，四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？ ②若四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？ ③若四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，且AC=BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？

后面的幾個(gè)問題經(jīng)過比較可知，它們都是連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形，它們都應(yīng)該是平行四邊形。進(jìn)行求異思維：①中利用三角形中位線知識(shí)可以知道，EH= BD， EF= AC，當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=EH，四邊形就是菱形。②中由AC⊥BD，利用平行四邊形的性質(zhì)可以說(shuō)明∠HEF=90°，從而說(shuō)明四邊形是矩形。③中AC⊥BD，且AC=BD，利用前面結(jié)論，可以知道四邊形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。

在上述例題中，通過一題多變練習(xí)，不僅復(fù)習(xí)了三角形的中位線，平行四邊形的判定，還復(fù)習(xí)了特殊平行四邊形矩形、菱形、正方形的判定。由此，很好地鍛煉了學(xué)生的觀察能力，以及分析問題、解決問題的能力，也提升了總復(fù)習(xí)的效率。

四、在深化解題方法為解題通用思路中應(yīng)用比較思維

在復(fù)習(xí)分式方程、簡(jiǎn)單的無(wú)理方程、簡(jiǎn)單的高次方程時(shí)，進(jìn)行求異思維：它們的解題方法分別是：去分母，去根號(hào)，降次。但進(jìn)行求同思維：它們都運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維，將這些方程轉(zhuǎn)化為一元一次，或者是一元二次方程求解。因此，總結(jié)出這些問題通用的解題思路，這樣就可以達(dá)到從知識(shí)向方法轉(zhuǎn)變的目的，復(fù)習(xí)效率自然就高。

五、在一題多解中應(yīng)用比較思維

同一個(gè)問題可能有不同的解法，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中如遇到同一個(gè)問題，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分利用已知條件，從不同角度看問題，從不同方向、不同知識(shí)體系思考問題，從而形成不同的解法。比較這些解法，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高思維的靈活性，也可以加深對(duì)知識(shí)的理解。

比如，在解方程：x2-5|x|+4=0時(shí)，甲同學(xué)利用對(duì)x取值分類討論，化為兩個(gè)方程：x2+5x+4=0（x≤0），x2-5x+4=0（x﹥0）來(lái)解決。乙同學(xué)將方程轉(zhuǎn)化為：|x|2-5x+4=0，進(jìn)而化為（|x|-1）（|x|-4）=0，易知|x|-1=0或|x|-4=0。比較這兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)前者為典型解法，容易想到；后者利用因式分解，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)易絕對(duì)值方程，思維更巧妙。

比較思維內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛，教學(xué)方法也各有千秋，還需廣大教師在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)一步探討，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)效率的穩(wěn)步提升。

（編輯：朱澤玲）