張昭隆+張均琦+沈長(zhǎng)斌

【摘要】：任意角的三等分問(wèn)題是幾何學(xué)的三大難題之一，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為用尺規(guī)三等分任意角是不可能的.本文試圖用初等幾何知識(shí)證明任意角是可以三等分的.角有銳角和鈍角之分，而鈍角都可以等分成銳角，所以銳角的等分問(wèn)題如果得到解決，則鈍角和圓（360°）的等分問(wèn)題也就會(huì)得到解決.所以，本文先從銳角的等分開(kāi)始進(jìn)行了研究.

【關(guān)鍵詞】三等分；圓周角；圓心角；弦切角

任意角的三等分問(wèn)題是幾何學(xué)的三大難題之一，兩千八百年來(lái)，數(shù)學(xué)家們都認(rèn)為用尺規(guī)三等分任意角是不可能的（特殊角除外），認(rèn)為這是一個(gè)“作圖不能”的問(wèn)題.近百年來(lái)，數(shù)學(xué)界的老前輩們還是認(rèn)為只要是任意角，僅用尺規(guī)三等分是不可能的.這些前輩們是用解析幾何作解的（即用公式做題）.

為什么用解析幾何作解呢？是因?yàn)椤绑@訝之處是初等幾何沒(méi)能對(duì)此問(wèn)題提供解答”，所以“我們必須求助于代數(shù)和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主編《初等幾何的著名問(wèn)題》2005年版第2頁(yè)）.

實(shí)際上，如果用上述數(shù)學(xué)方法解幾何問(wèn)題，有些問(wèn)題只能以近似的方式來(lái)解決.比如，以a為直徑作一個(gè)圓，會(huì)容易做出來(lái)；但如果是計(jì)算一下周長(zhǎng)S，這時(shí)候問(wèn)題就來(lái)了，因?yàn)槲覀円褂忙兄祦?lái)計(jì)算，所以計(jì)算出來(lái)的周長(zhǎng)S計(jì)只能是S≈S計(jì)且S≠S計(jì)，或表示為S=S計(jì)±δ，δ可以很小，但是畢竟是個(gè)“差”呀.再比如，1 m=3市尺，那么1尺等于多少厘米呢？計(jì)算不出來(lái)，只能表示為：1市尺=33 cm，而這是一個(gè)近似值.計(jì)算不出來(lái)，如何分開(kāi)呢？但用幾何的方法就分開(kāi)了.所以用幾何的方法解決幾何問(wèn)題，才是真正的可行之道.

本文試圖用初等幾何知識(shí)證明任意角是可以三等分的.

在作圖之前，首先要明確一下任意角的概念：任意角是指0°<α≤360°，不包含負(fù)角和超過(guò)360°的角.另外，角有銳角和鈍角之分，而鈍角都可以等分成銳角，所以銳角的等分問(wèn)題如果得到解決，則鈍角和圓（360°）的等分問(wèn)題也就會(huì)得到解決.所以我先從銳角的等分開(kāi)始進(jìn)行了研究.

下面即將以初等幾何知識(shí)以及純幾何的手工操作，通過(guò)尺規(guī)作圖來(lái)三等分任意銳角.

題給條件：0<α=∠x(chóng)Oy<90°（參照?qǐng)D1）.

求解：三等分α.

一、作圖（參照?qǐng)D2）

（1）在Ox邊上任取一點(diǎn)A，然后在Ox邊上取OA=AA2=A2A3.

（2）以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑，作AB，此時(shí)OA=OB（同圓半徑），

以O(shè)為圓心，以O(shè)A2為半徑，作A2B2，此時(shí)OA2=OB2（同圓半徑），

以O(shè)為圓心，以O(shè)A3為半徑，作A3B3，此時(shí)OA3=OB3（同圓半徑）.

（3）作∠α的平分線OP.

① 以A3為圓心，以O(shè)A3為半徑作弧lA；

② 以B3為圓心，以O(shè)A3為半徑作弧lB，交lA于P；

③ 連接OP，交AB于C，交A2B2于C2，交A3B3于C3，

此時(shí)，∠x(chóng)OP=∠POy=∠AOC=∠COB=∠A2OC2=∠C2OB2=∠A3OC3=∠C3OB3.

∵同一圓內(nèi)等角對(duì)等弧，

∴AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.

（4）連接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的長(zhǎng)度取弦A3W3=V3B3=A2C2，連接A3W3，V3B3.

（5）連接OW3，OV3，此時(shí)，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3（同圓半徑），

則OW3，OV3三等分∠α，即∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3.

二、證明

1.作輔助圖（參照?qǐng)D3）.

（1）連接A3V3交OW3于KW.

（2）以O(shè)KW為直徑作⊙R.

① 以O(shè)KW為半徑，以O(shè)為圓心作弧lO1，lO2，以O(shè)KW為半徑，以KW為圓心作弧lK1交lO1于M，作弧lK2交lO2于N.

② 連接MN交OKW于R，則MN是OKW的垂直平分線，R是垂足.

∵OW3是OKW所在的直線段，∴OW3⊥MN.

③ 以R為圓心，以RO（=RKW）為半徑，作⊙R，

交MN于m，n，交OA3于O，a，

交OW3于O，KW，交OV3于O，E，

交OB3于O，b，交A3V3于KW，KW是A3V3與⊙R的唯一公共點(diǎn).

2.證明.

（1）根據(jù)以上所作輔助圖（參照?qǐng)D3）可知：⊙R交A3V3于KW，即KW是A3V3與⊙R的唯一公共點(diǎn).

根據(jù)圓的切線定義：如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這條直線叫作這個(gè)圓的切線，該公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)，可以得出結(jié)論：A3V3是⊙R的一條切線；

另根據(jù)圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，可以得出結(jié)論：A3V3⊥RKW.∵OW3是RKW所在的直線段，∴A3V3⊥OW3，KW是垂足.

（2）在Rt△OKWA3與Rt△OKWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠OKWA3=∠OKWV3=90°，∵同圓半徑，∴OA3=OV3，OKW為共有直角邊，

根據(jù)HL定理，Rt△OKWA3≌Rt△OKWV3.∵對(duì)應(yīng)邊相等，∴A3KW=KWV3.

（3）在Rt△W3KWA3與Rt△W3KWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠W3KWA3=∠W3KWV3=90°，根據(jù)證明（2）結(jié)論：A3KW=KWV3，W3KW為共有直角邊.

根據(jù)SAS定理，Rt△W3KWA3≌Rt△W3KWV3，∵對(duì)應(yīng)邊相等，∴A3W3=W3V3.

（4）∵根據(jù)證明（3），可知A3W3=W3V3，又根據(jù)作圖（4）的步驟，可知A3W3=V3B3，

∴A3W3=W3V3=V3B3（等量相等），

∴A3W3=W3V3=V3B3（等弦對(duì)等?。?，

∴∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3（等弦對(duì)等角），

∴∠A3OW3+∠W3OV3+∠V3OB3=∠α得證.

綜上，我們已證明：∠α被三等分后，三個(gè)分角在A3B3上且只有在A3B3上的對(duì)應(yīng)弦等于A2C2.關(guān)于鈍角的三等分問(wèn)題，由于篇幅所限，簡(jiǎn)單說(shuō)明如下：可將鈍角二等分或四等分，變成相等的兩個(gè)或四個(gè)銳角，再對(duì)得到的銳角按上述方法進(jìn)行三等分后，進(jìn)行角的合并（二合一或四合一），則可實(shí)現(xiàn)鈍角的三等分.