☉上海市青浦區(qū)豫才中學 孟甚暉

深度學習是將個人內(nèi)在的對學習的需要作為動力，通過理解幫助學習，學習者有能力對新的內(nèi)容進行批判性的學習，并將新內(nèi)容與原有知識進行聯(lián)系，具有將原有的知識在新的情境中運用的能力［1］.

基于問題鏈教學的初中數(shù)學深度學習是基于知識的內(nèi)在結構和整體特征，以問題為主線，以知識為載體，引導學生從知識學習走向思維發(fā)展，從低階思維走向高階思維［2］.問題鏈的設計與完善，有助于理清整節(jié)課的主線“脈絡”，其清晰的條理性使學生更易于理解，有助于學生“平滑”地接受新知識.本文以筆者所上公開課“弧長”及幾次磨課為例，通過課堂中的三個活動，從改善概念教學、優(yōu)化公式推導、突破難題難點三個角度，圍繞問題鏈的設計意圖與實施效果，談談利用問題鏈導向深度學習的實踐與思考.

1 教學實例

活動1：利用問題鏈改善概念教學

（1）問題鏈設計，如圖1.

圖1

設計意圖：本節(jié)課內(nèi)容是弧，活動1主要是對弧及圓心角的概念教學.通過提問一個具體圓心角∠AOB的頂點位置，直觀理解圓心角的意義，為后面判斷圓心角提供理論依據(jù).

（2）課堂實踐.

在試講時，學生利用課前學習單自主學習知識點.由于缺乏系統(tǒng)的講解與引導，導致學生概念模糊.正式上課時，筆者取消了課前預習單，而是通過提問引入概念.

師：已知半徑OA，如果我在圓上再取一點B，連接OB，得到了一個什么？

生：∠AOB.

師：這個角的頂點在哪里？

生：圓心.

師：頂點在圓心的角，我們稱為圓心角.這個圓心角在圓上截取了一部分，A、B兩點之間的部分我們稱它為弧.

……

活動2：利用問題鏈優(yōu)化公式推導

（1）學習單設計.

問題1：觀察：弧的長度與什么因素有關？

當半徑不變時，弧的長度與______有關；當圓心角不變時，弧的長度與________有關.

問題2：在同一圓中，半徑為r：圖中（圖略）圓心角∠AOB各是幾度？圓心角∠AOB所對弧長分別是圓周長的幾分之幾？

問題3：能說出下列各圓心角所對的弧長是圓周長的幾分之幾嗎？會求弧長嗎？

72°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，弧長為________；48°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，弧長為________；135°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，弧長為________；1°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，弧長為________；n°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，弧長為________.

弧的長度l與圓心角n、半徑r有什么關系？能否用一個數(shù)量關系表示？

問題4：歸納弧長公式：l=________.

（2）問題鏈設計，如圖2.

圖2

設計意圖：活動2是本節(jié)的重點，即推導弧長公式.這里利用部分與整體的關系：先從角度入手，理清圓心角與周角的關系，從而得出弧長與圓周長的關系，進而推導出弧長公式.

（3）課堂實踐.

這部分經(jīng)歷多次修改，學生從“圓心角是周角的幾分之幾”到“弧長是圓周長的幾分之幾”，容易出現(xiàn)理解上的“斷裂”，導致無法順利推導出公式.

（4）課后反思.

問題2（改）：表1圖中所示各圓心角占這個圓周角的幾分之幾？圓心角所對弧長分別是圓周長的幾分之幾？

表1

問題3（改）：下列各圓心角所對的弧長是圓周長的幾分之幾？

72°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，1°的圓心角所對的弧長是圓周長的________，n°的圓心角所對的弧長是圓周長的________.

活動3：利用問題鏈突破難題、難點

（1）學習單設計.

例題1：如果圓的半徑長r是1厘米，求180°的圓心角所對的弧長l.

練習1：如果圓的半徑長r是40厘米，弧所對的圓心角為36度，求弧長.

練習2：三角形ABC的三條邊長都是30毫米，分別以

例題2：圓的半徑長為5厘米，一個圓心角所對的弧長為6.28厘米，求這個圓心角的度數(shù).（π取3.14）

練習3：已知一條弧長為6.28厘米，弧所對的圓心角為90度，則這條弧所在圓的半徑多少？（π取3.14）

（2）問題鏈設計，如圖3.

圖3

設計意圖：活動3是弧長公式的運用，通過問題鏈梳理解題的一般步驟：列出已知條件，代入公式，解方程.練習2是本節(jié)的難點：在復雜圖形中尋找弧所對的圓心角.因此問題鏈從回顧圓心角的定義入手，尋找圓心角及相應的半徑，再分析三條弧長之間的大小關系，最后利用一般步驟解決.

（3）課堂實踐.

【評注】練習2的問題鏈經(jīng)歷了一次修改，修改前的試講片段如下：

師：三條邊的長相等，因此三個角相等，內(nèi)角和為180度，每個角都是60°.

師：你會畫弧嗎？我們一起看黑板：以點A為圓心、27毫米為半徑的是哪段？

師：我們得到了弧BC，它所對的圓心角是哪個角？

生：∠A.

師：圓心角和半徑分別都知道了，我們代入公式.那弧AC呢？弧BC呢？

……

【評注】通過修改問題鏈，使條理更加流暢、清晰，更易于學生理解.

黑板上演示畫弧BC.

師：還記得圓心角的定義嗎？

生：頂點在圓心的角.

師：頂點在圓心A的角是哪個？

生：∠A.

師：所以弧BC所對的圓心角就是哪個角？

生：∠A.

師：由于三個圓心角∠A=∠B=∠C=60°，半徑都是30毫米，因此弧AC、弧BC、弧AB的長度有怎樣的大小關系？

生：相等.

師：所以求出弧BC以后，只要怎樣即可？

生：乘以3.

……

2 結語

借助問題鏈的設計，不僅能改善概念教學，利用問題思考幫助學生突破難點，還能加強指導，有效啟發(fā)，讓學生在循序漸進中理解知識，逐步掌握知識的發(fā)生、發(fā)展過程，最大限度地提高課堂學習質(zhì)量.問題鏈也可以看作教學設計的一條主線：如實際授課效果不如預期，只需優(yōu)化相應的問題鏈即可，既提高了教師備課的操作性，又有助于把握整節(jié)課的節(jié)奏.問題鏈中每個精心設計的小問題，都是導向深度學習的“指路牌”.