劉益建

摘 要：眾所周知，數(shù)學是研究數(shù)與形的科學，數(shù)是抽象的，形是直觀的，兩個研究對象相輔相成。在近幾年的教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)：很多抽象的代數(shù)問題直接計算運算量太大，無從下手，但若是將其轉化為直觀的圖形，很容易通過圖形的性質進行解決，這種處理方法就是常用的數(shù)形結合思想，這種思想對于解決數(shù)學問題有著重要作用。

關鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)形結合；教學方法；應用體會

1引言

眾所周知，中學數(shù)學被分為代數(shù)和幾何兩大分支。代數(shù)主要是對數(shù)的分析，而幾何主要是對圖形的研究，但他們不是相互獨立的，而是有著非常緊密的聯(lián)系。我們經常會遇到很多代數(shù)問題，直接計算運算量太大，甚至無從下手，但是如果轉化成直觀的圖形之后，很容易通過圖形的性質而得到解決。還有一些圖形因為一些輔助線等考慮不到導致無法研究，但是往往通過坐標系等方法，轉化成代數(shù)問題之后就很容易得到結果。這種思想方法就是我們數(shù)學上一種常用的思想——數(shù)形結合思想。

2數(shù)形結合思想方法

數(shù)形結合是聯(lián)系“數(shù)”與“形”之間良好的紐帶，對于解決數(shù)學問題有著非常重要的作用，數(shù)形結合思想方法是解決數(shù)學問題的常用方法。所謂的數(shù)形結合，用專業(yè)語言去解釋，就是指在研究問題時，把形和數(shù)結合考慮，把問題的數(shù)量關系轉化為圖形性質，或者是把圖形性質轉化為數(shù)量關系，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化；解題中的數(shù)形結合，是指對問題既進行代數(shù)抽象的揭示，又進行幾何直觀的呈現(xiàn)，兩個方面相輔相成，而不是簡單的幾何問題用代數(shù)的方法或者代數(shù)問題用幾何的方法。

3運用數(shù)形結合思想方法的意義

數(shù)形結合是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，數(shù)嚴密抽象，形生動直觀：生動的幾何直觀與抽象的數(shù)量關系各有長處，抽象的數(shù)量賦予幾何直觀的形象，具體實在、思路清晰，又有活力；直觀的圖像有數(shù)量關系的支撐，內容豐富，令人可信，更有威力。其在教學中的積極意義有如下幾個方面：①拓展尋找解決數(shù)學問題的途徑；②加深對基本概念的理解，增加學習興趣，提高學習效率；③有助于數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。

4數(shù)形結合思想在實際初中數(shù)學教學中的應用

在數(shù)形結合思想中，“數(shù)”研究的主要是代數(shù)元素，“形”研究的則是幾何元素，它們之間之所以有對應關系，源于他們研究的是同一個問題，只是研究角度不同而已。數(shù)形結合的數(shù)學思想，包括以“數(shù)”助“形”和以“形”助“數(shù)”兩個方面。下面本文將分別舉例說明數(shù)形結合的2個方面的具體應用。

4.1以“數(shù)”助“形”

以“數(shù)”助“形”，即：借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質等。中學數(shù)學中的幾何是圖文并茂的，學生在研究幾何問題時學生需要通過分析圖形中的有關數(shù)量關系來探討圖形的結構和性質。

4.1.1利用坐標系解決幾何問題

在研究幾何問題時，可以對幾何圖形建立適當?shù)淖鴺讼?，把幾何圖形轉化成代數(shù)方程，從而用代數(shù)的方法解決幾何問題。例如：

【例】證明平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和。

根據題意，如果按照幾何方法證明過程看似簡單，但是這種方法思路很難想，而且化簡起來也不簡單，對于中學生來說有一定的難度，有了坐標系我們就容易解決了，將四個頂點表示出來就可以了（如圖）。

設：B（0，0），C（a，0），A（b，c），則D（b+a，c），根據坐標的相關知識，

AC2+BD2=（b-a）2+c2+（b+a）2+c2=2a2+2b2+2c2

AB2+BC2+CD2+DA2=（b2+c2）+a2+[（b+a-a）2+c2]+（b+a-b）2=2a2+2b2+2c2

所以，AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2，原命題得證。

4.1.2利用三角法解決幾何問題

當解題時遇到“無法到達的距離問題”、“航海問題”等，這時無法直接從原模型中計算出結果，可以建立數(shù)學模型，將其轉化為三角形，利用三角工具進行解題。例如：

【例】（如圖），我炮兵陣地位于地面A處，C、D兩處分別是我方兩觀察所，已知CD=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，當目標出現(xiàn)在地面點B處時，測得∠BDC=15°，∠BCD=30°，求：炮兵陣地到目標的距離是多少？

對于這類實際應用題，實質就是解三角形問題，在這類題中，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解。

4.2以“形”助“數(shù)”

以“形”助“數(shù)”，即：借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖形來直觀的說明函數(shù)的性質。

【例】例如，A=2，B=4，C=9，∣A-B-C∣

對于這個問題，由于D為一個數(shù)字范圍，其結果不唯一，因此在許多學生看來難度較大，但是通過∣A-B-C∣

5小結

數(shù)形結合是一種蘊涵并滲透在數(shù)學知識的一種思想方法，將數(shù)字與圖形結合在一起，優(yōu)勢互補地解決數(shù)學問題。學生在初中數(shù)學的學習中陷入思路僵化、學習困難、思維局限等問題的根源是沒有熟練、靈活掌握數(shù)形結合法的運用。數(shù)形結合方法不僅體現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一美和簡潔美，也不斷培養(yǎng)了學生的思考與反思的能力，鼓勵學生學習的積極性與主動性，塑造學生全面的數(shù)學思維和解題思路，提高教學效率，提高初中數(shù)學教學的整體質量。

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