劉益建

摘 要：眾所周知，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)是抽象的，形是直觀的，兩個(gè)研究對(duì)象相輔相成。在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)：很多抽象的代數(shù)問(wèn)題直接計(jì)算運(yùn)算量太大，無(wú)從下手，但若是將其轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，很容易通過(guò)圖形的性質(zhì)進(jìn)行解決，這種處理方法就是常用的數(shù)形結(jié)合思想，這種思想對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著重要作用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)方法；應(yīng)用體會(huì)

1引言

眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)被分為代數(shù)和幾何兩大分支。代數(shù)主要是對(duì)數(shù)的分析，而幾何主要是對(duì)圖形的研究，但他們不是相互獨(dú)立的，而是有著非常緊密的聯(lián)系。我們經(jīng)常會(huì)遇到很多代數(shù)問(wèn)題，直接計(jì)算運(yùn)算量太大，甚至無(wú)從下手，但是如果轉(zhuǎn)化成直觀的圖形之后，很容易通過(guò)圖形的性質(zhì)而得到解決。還有一些圖形因?yàn)橐恍┹o助線等考慮不到導(dǎo)致無(wú)法研究，但是往往通過(guò)坐標(biāo)系等方法，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題之后就很容易得到結(jié)果。這種思想方法就是我們數(shù)學(xué)上一種常用的思想——數(shù)形結(jié)合思想。

2數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是聯(lián)系“數(shù)”與“形”之間良好的紐帶，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著非常重要的作用，數(shù)形結(jié)合思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法。所謂的數(shù)形結(jié)合，用專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言去解釋?zhuān)褪侵冈谘芯繂?wèn)題時(shí)，把形和數(shù)結(jié)合考慮，把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或者是把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化；解題中的數(shù)形結(jié)合，是指對(duì)問(wèn)題既進(jìn)行代數(shù)抽象的揭示，又進(jìn)行幾何直觀的呈現(xiàn)，兩個(gè)方面相輔相成，而不是簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題用代數(shù)的方法或者代數(shù)問(wèn)題用幾何的方法。

3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的意義

數(shù)形結(jié)合是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，數(shù)嚴(yán)密抽象，形生動(dòng)直觀：生動(dòng)的幾何直觀與抽象的數(shù)量關(guān)系各有長(zhǎng)處，抽象的數(shù)量賦予幾何直觀的形象，具體實(shí)在、思路清晰，又有活力；直觀的圖像有數(shù)量關(guān)系的支撐，內(nèi)容豐富，令人可信，更有威力。其在教學(xué)中的積極意義有如下幾個(gè)方面：①拓展尋找解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑；②加深對(duì)基本概念的理解，增加學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率；③有助于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

4數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)形結(jié)合思想中，“數(shù)”研究的主要是代數(shù)元素，“形”研究的則是幾何元素，它們之間之所以有對(duì)應(yīng)關(guān)系，源于他們研究的是同一個(gè)問(wèn)題，只是研究角度不同而已。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，包括以“數(shù)”助“形”和以“形”助“數(shù)”兩個(gè)方面。下面本文將分別舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的2個(gè)方面的具體應(yīng)用。

4.1以“數(shù)”助“形”

以“數(shù)”助“形”，即：借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確的闡明曲線的幾何性質(zhì)等。中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何是圖文并茂的，學(xué)生在研究幾何問(wèn)題時(shí)學(xué)生需要通過(guò)分析圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系來(lái)探討圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

4.1.1利用坐標(biāo)系解決幾何問(wèn)題

在研究幾何問(wèn)題時(shí)，可以對(duì)幾何圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，從而用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題。例如：

【例】證明平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和。

根據(jù)題意，如果按照幾何方法證明過(guò)程看似簡(jiǎn)單，但是這種方法思路很難想，而且化簡(jiǎn)起來(lái)也不簡(jiǎn)單，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，有了坐標(biāo)系我們就容易解決了，將四個(gè)頂點(diǎn)表示出來(lái)就可以了（如圖）。

設(shè)：B（0，0），C（a，0），A（b，c），則D（b+a，c），根據(jù)坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，

AC2+BD2=（b-a）2+c2+（b+a）2+c2=2a2+2b2+2c2

AB2+BC2+CD2+DA2=（b2+c2）+a2+[（b+a-a）2+c2]+（b+a-b）2=2a2+2b2+2c2

所以，AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2，原命題得證。

4.1.2利用三角法解決幾何問(wèn)題

當(dāng)解題時(shí)遇到“無(wú)法到達(dá)的距離問(wèn)題”、“航海問(wèn)題”等，這時(shí)無(wú)法直接從原模型中計(jì)算出結(jié)果，可以建立數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角工具進(jìn)行解題。例如：

【例】（如圖），我炮兵陣地位于地面A處，C、D兩處分別是我方兩觀察所，已知CD=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得∠BDC=15°，∠BCD=30°，求：炮兵陣地到目標(biāo)的距離是多少？

對(duì)于這類(lèi)實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問(wèn)題，在這類(lèi)題中，一般都離不開(kāi)正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫(huà)出符合題意的示意圖，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題去求解。

4.2以“形”助“數(shù)”

以“形”助“數(shù)”，即：借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖形來(lái)直觀的說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)。

【例】例如，A=2，B=4，C=9，∣A-B-C∣

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，由于D為一個(gè)數(shù)字范圍，其結(jié)果不唯一，因此在許多學(xué)生看來(lái)難度較大，但是通過(guò)∣A-B-C∣

5小結(jié)

數(shù)形結(jié)合是一種蘊(yùn)涵并滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)的一種思想方法，將數(shù)字與圖形結(jié)合在一起，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中陷入思路僵化、學(xué)習(xí)困難、思維局限等問(wèn)題的根源是沒(méi)有熟練、靈活掌握數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合方法不僅體現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一美和簡(jiǎn)潔美，也不斷培養(yǎng)了學(xué)生的思考與反思的能力，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，塑造學(xué)生全面的數(shù)學(xué)思維和解題思路，提高教學(xué)效率，提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量。

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