圣轉(zhuǎn)紅??

摘 要：本文闡述了幾種重要的數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)列相關(guān)問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分類討論；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化與化歸；遞歸思想

數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集。數(shù)列是離散函數(shù)的一種，在數(shù)學(xué)中有著重要地位，學(xué)習(xí)數(shù)列有助于學(xué)生認識數(shù)學(xué)與經(jīng)濟生活等現(xiàn)實世界的聯(lián)系，有助于強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。下面我們就來探究一下數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想。

一、 分類討論思想

分類指的是依據(jù)研究對象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類，即根據(jù)對象的共同性與差異性，把相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類討論是數(shù)學(xué)解題的重要手段和策略，數(shù)列模塊中的分段數(shù)列求和由遞推公式求解析式，常用到這種方法：

【例1】 數(shù)列{an}中，其前n項和Sn=2n2-3n+1，求an。

分析：當(dāng)n=1時，與n≥2時分類討論。

解：當(dāng)n=1時，a1=S1=2×12-3×1+1=0

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+1-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5

而a1=0≠4×1-5，∴an=0 n=14n-5≥2且n∈N+

二、 轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本，最重要的思想方法，每一個數(shù)學(xué)問題的解決總離不開化歸與轉(zhuǎn)化，它堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓，解決數(shù)學(xué)問題就是將陌生問題向熟悉問題轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化，抽象問題向已知問題轉(zhuǎn)化，比如數(shù)列這個模塊，最重要的兩個基本數(shù)列是等差數(shù)列和等比數(shù)列，對其通項公式，學(xué)生基本上都能掌握，對于某些復(fù)雜的數(shù)列，求這兩種數(shù)列的通項公式問題就可以用以上的方法進行轉(zhuǎn)化。

【例2】 數(shù)列{an}中的首項a1=1，滿足an+1=2an+2n。

（1）求通項公式an；

（2）求其前n項和Sn。

分析：（1）觀察遞推關(guān)系式的特點，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解，（2）錯位相減法求和。

解：（1）由an+1=2an+2n得an+12n=an2n-1+1

∴an+12n-an2n-1=1

∴an2n-1是以a121-1=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列

從而an2n-1=1+（n-1）×1=n即an2n-1=n

∴an=n×2n-1

（2）①Sn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1

②2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n

①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n

-Sn=1-2n1-2-n×2n

∴Sn=n-12n+1

三、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形的對應(yīng)關(guān)系和相互思轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)形結(jié)合可以使抽象的問題簡單化。對于數(shù)列的某些函數(shù)特性，借助數(shù)形結(jié)合，可以簡潔、快速地解決問題。

【例3】 數(shù)列{an}中，已知an=n2+2λn+λ2-1且{an}單調(diào)遞增，求λ的取值范圍。

分析：由已知得用數(shù)形結(jié)合解決可以事半功倍，直接利用數(shù)列單調(diào)性定義，需要作差求最值，較為繁瑣。

解：設(shè)f（x）=x2+2λx+λ2-1則f（x）圖像開口向上且對稱軸方程為x=-λ

∵{an}單調(diào)遞增

∴-λ<32即λ>-32

∴λ取值范圍為-32，+∞

四、 遞歸思想

遞歸指由一種或多種簡單的基本情況定義的一類對象或方法，并規(guī)定其他所有情況都能還原為其基本情況，它是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，也是常用的算法語言。北師大版必修五的封面數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，…也就是著名的斐波那契數(shù)列充分體現(xiàn)了遞歸思想，在學(xué)生認識數(shù)列的定義及基本概念后，就讓他們來觀察封面數(shù)列，啟發(fā)他們通過觀察尋找遞推公式，從而體會遞歸思想的重要性，取得了良好的教學(xué)效果。

總之，數(shù)學(xué)思想的滲透及應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，我們在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中細致入微，認真鉆研就會達到“潤物細無聲”的教學(xué)效果。

參考文獻：

[1]鄒晗昀.解數(shù)列題中常用的數(shù)學(xué)思想方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2017（08）.

[2]高坤元.數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用[J].智富時代，2018（02）.

作者簡介：

圣轉(zhuǎn)紅，安徽省宿州市，安徽省靈璧中學(xué)。