鐘澎洪+陳靜安

摘要：復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)系課程體系中的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。在教學(xué)中，由于該門課的內(nèi)容專業(yè)性強，且知識、定理體系較為復(fù)雜，導(dǎo)致了教學(xué)效果不容樂觀。結(jié)合自身的教學(xué)實踐與學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，給出了如何提高課堂教學(xué)效果，讓學(xué)生掌握知識，并加深對知識的理解與運用的幾點建議。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；教學(xué)；比較法

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）27-0188-02

復(fù)變函數(shù)[2，3]是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，也是銜接數(shù)學(xué)分析的一門后續(xù)課程，與實變函數(shù)論可并列為分析類的一門重要課程。該課程可列為分析類的三大基礎(chǔ)課程之一。盡管復(fù)變函數(shù)的知識定理結(jié)構(gòu)表現(xiàn)在許多性質(zhì)、概念、定義與數(shù)學(xué)分析[1]課程有著相同之處，又與它在某些方面有著實質(zhì)不同。在實際的教學(xué)過程中，教師和學(xué)生都會感到該課程具有內(nèi)容多、知識定理演繹體系龐雜、思想方法技巧性強、應(yīng)用廣泛等特點，這給教師的教學(xué)還有學(xué)生的學(xué)習(xí)都帶來了一些的困難。這門課的教學(xué)實踐中，學(xué)生普遍反映概念難懂，習(xí)題難做。在這樣的情形下，我們高校教師尤其是年輕的教師應(yīng)該如何提高該課程的教學(xué)效果呢？筆者根據(jù)復(fù)變函數(shù)學(xué)科的知識特點及實踐中的教學(xué)體會，對于提高本課程的教學(xué)的有效性，給出以下幾個方面感悟與思考。

一、在教學(xué)中注重數(shù)學(xué)史和學(xué)科背景的滲透

復(fù)變函數(shù)的理論有著歷史淵源和應(yīng)用的背景，適當?shù)刂v解該學(xué)科的歷史和相關(guān)的背景知識，有利于學(xué)生對該門科了解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與興趣。當然，由于課時的限制，教師不可能花較多的時間去介紹這方面的知識。此時，要特別注重在講解相關(guān)知識點的時候，給予適當?shù)膶W(xué)科歷史和背景的介紹，要在非刻意中，潛移默化地讓學(xué)生了解這方面的知識。

例如，在講解“C-R條件”時，可以適當?shù)亟榻B該方程的發(fā)現(xiàn)的歷史。介紹該條件由來時，說明是柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，對該方程做了更詳細的研究，從而命名的。該方程組的發(fā)現(xiàn)可追溯到歐拉，甚至是達朗貝爾。該方程最早是由法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾在流體力學(xué)中的研究中得到的；另外，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分，也導(dǎo)出了的這兩個方程。在講Cauchy積分公式時，讓學(xué)生們思考如何測得球體中心點電額這一問題。若能測得球體表面各點的電額，則可利用Cauchy積分公式來測得球體中心的電額；講保角映射時，可提到俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用該方面的知識解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題。

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，可以適當穿插數(shù)學(xué)史；另外，讓學(xué)生了解該學(xué)科在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域，如理論物理、彈性理論、天體力學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。使學(xué)生真正感受到課程的理論方法的歷史和應(yīng)用，從而充分調(diào)動學(xué)習(xí)的主觀能動性。[4]

二、運用類比教學(xué)法幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，類比思維有利于在較短的時間內(nèi)吸收和掌握知識，并能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在課堂的教學(xué)中，要充分引導(dǎo)學(xué)生去找尋和發(fā)掘復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的定義、定理的異同。要使學(xué)生不但能看出顯而易見的相同，也要讓他們看出知識的異中之同或是同中之異。有了這種較有深度的認知，可以加深學(xué)生對復(fù)變函數(shù)概念、公式、定理的記憶，更能加深學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生獨立思維的能力。

類比教學(xué)的例子非常多，可以說復(fù)變函數(shù)的整個知識體系和數(shù)學(xué)分析是大體一致的，當然，相似之中也存在著差異。例如，講解極限定義的時候，可以給出它和數(shù)學(xué)分析中極限概念的類比。事實上，從定義的文字敘述上看，復(fù)函數(shù)和實函數(shù)極限除了個別字母表示不同之外，二者完全一樣。然而符號和形式上的一致性并不意味著其內(nèi)涵也一樣。實函數(shù)在自變量為一維的情形下是有左右極限的，部分學(xué)生會想當然地認為復(fù)函數(shù)也有左右極限，這就會導(dǎo)致錯誤。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)函數(shù)與二維的實函數(shù)來作比較，學(xué)生會更清晰地了解到復(fù)函數(shù)實際等價于兩個二維的實函數(shù)這一本質(zhì)的特點。最好在課堂上畫出復(fù)函數(shù)的圖像，圖像的直觀、可視化，學(xué)生會有更深的感知，了解到不能照搬以往的概念來理解復(fù)函數(shù)，從而克服自身的思維定式。

在講解一致收斂級數(shù)和函數(shù)的時候也可做類比的講解。我們可以引導(dǎo)學(xué)生把實數(shù)域上級數(shù)的性質(zhì)列出來，這時學(xué)生會列出連續(xù)性、逐項可微性定理和逐項可積性定理。然后可以讓學(xué)生分析復(fù)數(shù)域上的級數(shù)是否也有相同的性質(zhì)。最后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在實數(shù)域上的逐項可微的外爾斯特拉斯定理在復(fù)數(shù)域上有何不同：被求和函數(shù)只要在區(qū)域內(nèi)解析且級數(shù)內(nèi)閉一致收斂，復(fù)變函數(shù)便可求任意次導(dǎo)數(shù)；而實函數(shù)級數(shù)即使一致收斂，且各項可導(dǎo)，也并不能保證可逐項微分。在該過程中學(xué)生既能復(fù)習(xí)已有的知識，又能發(fā)現(xiàn)復(fù)級數(shù)的特性，調(diào)動了學(xué)生積極性的同時又鍛煉了類比的思維技巧。

可以使用比較教學(xué)法的知識點是非常多的，教師要善于挖掘并將此運用到教學(xué)中來。在教學(xué)中，類比的方式也是非常多的，除以上知識的橫向類比外，還可以在復(fù)變函數(shù)知識體系內(nèi)做類比，例如數(shù)與形的類比，一般與特殊的類比等。好的類比可以簡化學(xué)生的思維負擔(dān)，學(xué)生在類比探究的過程中調(diào)動了積極性，學(xué)習(xí)了知識的同時也鍛煉了思維能力。

三、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)生獨力思考、總結(jié)

復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)要加強學(xué)生的自我學(xué)習(xí)和獨立思考探究能力的培養(yǎng)，注重啟發(fā)與討論。教學(xué)中要強調(diào)過程，課本的各個知識點固然重要，但是不能只讓學(xué)生通過機械的記憶來掌握，要注重學(xué)習(xí)過程。由于課時較緊，可以根據(jù)教學(xué)進度，給出預(yù)習(xí)內(nèi)容和布置一些思考題，這樣的處理可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新課之前就發(fā)現(xiàn)自己知識中存在的問題，從而在聽課的時候有重點有目的，達到更好的聽課效果。

學(xué)習(xí)不是一味地輸灌，要加強學(xué)生自我學(xué)習(xí)過程的體驗。在傳授知識的時候，不妨給學(xué)生一定的任務(wù)，去完成課本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在嘗試動手中學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，加強學(xué)習(xí)的有效性。但是，考慮到有部分學(xué)生的自覺性較差，故不能將課本中的重點的、較難的知識模塊交給學(xué)生自學(xué)。課本知識的部分內(nèi)容是較為容易且與以前知識有重疊的，可以交給學(xué)生自學(xué)。例如，有關(guān)復(fù)數(shù)定義及其基本性質(zhì)的內(nèi)容與高中的知識有重疊；復(fù)平面點集的內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析中多元函數(shù)章節(jié)中的平面點集部分非常相似；這兩部分內(nèi)容可交給學(xué)生提前去預(yù)習(xí)，在講解的時候簡單羅列相關(guān)概念、性質(zhì)或者不講解這些部分都可以。這樣處理比去詳細講解要節(jié)省時間，且學(xué)生不會覺得內(nèi)容單調(diào)重復(fù)。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)各類知識，只有學(xué)生通過自己思考糾正才能夠獲得較深的認識和記憶。經(jīng)過自己動手，才能加深理解和記憶，從而真正掌握各知識點，不斷地提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

四、結(jié)束語

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要課程，是后續(xù)更專業(yè)性課程的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)了這門課，有利于學(xué)生在后續(xù)課程中進一步提高自身專業(yè)知識與素養(yǎng)。在教學(xué)中要善于比較這門課與數(shù)學(xué)分析專業(yè)課知識結(jié)構(gòu)的相同之處，同時也要突出內(nèi)容的特異之處，既善于比較相同，也要善于發(fā)掘不同；另外，在教學(xué)中教師需要注重學(xué)科歷史和應(yīng)用背景，加強背景知識的滲透；在知識講解的同時也不要忽略引導(dǎo)學(xué)生獨力思考、總結(jié)知識，不要忽略學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力的培養(yǎng)，要激發(fā)學(xué)生獨立探索的欲望，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和素養(yǎng)上得到提升。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]李慶忠.復(fù)變函數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[4]谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)方法的改革與實踐[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2002，22（4）：23-25.

Abstract：The complex variable function is an important basic course in mathematics course system. In teaching，due to the content of the course is professional，and the knowledge，theorem system is more complex，leading to a not optimistic teaching effect. Combined with own teaching practice and students' learning feedback，this paper gives some suggestions on how to improve the effect of classroom teaching to make students master the knowledge and deepen the understanding and application of knowledge.

Key words：Complex Variable Function；teaching；comparison method