北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林

一道“解析幾何”模擬考題的解法探究

北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林

解析幾何的綜合問題，已知條件多，題干長，常涉及多個(gè)知識點(diǎn)，對能力要求高，不少同學(xué)感到思路不清，難以入手，鑒于此，筆者結(jié)合今年北京市高考模擬解析幾何試題，談?wù)剛€(gè)人的一些想法，談?wù)勅绾巫匀恍纬山忸}思路，供大家參考．

一、從已知出發(fā)，循序漸進(jìn)自然生成

已知條件是我們解題的重要依據(jù)，解題時(shí)要認(rèn)真閱讀已知，準(zhǔn)確把握已知給了我們那些信息？這些信息之間有什么關(guān)系？全面分析這些已知條件還可以得出那些結(jié)論？這些結(jié)論和我們所要求的結(jié)論有什么關(guān)系？另外，還有要充分挖掘題目中隱藏的已知條件有哪些？弄清了這些問題，解題思路便可自然生成，問題不攻自破．

例1 (2017年高考西城區(qū)第一次模擬考試，理科19題)

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M．直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E．求證：∠ODF=∠OEF．

分析1：本題的第一問很容易解決，第二問中P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)M與原點(diǎn)O連接并延長與直線x=4相交，形成了點(diǎn)D，點(diǎn)E是過O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現(xiàn)了線段DF和EF，可見DF和EF都與點(diǎn)P有緊密的聯(lián)系，所以我們就應(yīng)從點(diǎn)P入手探究點(diǎn)D與點(diǎn)E具有怎樣的位置關(guān)系？研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)E與x軸沒有對稱關(guān)系，這樣自然引領(lǐng)我們來要探究EF與P點(diǎn)有緊密聯(lián)系的直線MD的位置關(guān)系，接下來再探究FD與OE的位置關(guān)系，這樣本題的解題思路就生成了.

(2)由(1)得A(-2,0)．設(shè)AP的中點(diǎn)M(x0,y0)，P(x1,y1)．

圖2

評析：通過上述分析及解題過程可以看出解題思路的形成是從已知入手，從已知條件間的聯(lián)系出發(fā)，探究從已知得出的相關(guān)點(diǎn)、線、角間的關(guān)系，循序漸進(jìn)地得出所要求的結(jié)論．因此解題中要善于利用已知條件，這里所說的已知條件既有題目中直接給出的，也有隱含的需要我們進(jìn)一步挖掘才能得出的條件．

分析2：如何使解題過程簡便快捷，運(yùn)算量小一些，一直是考生們所追求的，在解法一中，我們從直線AP的方程出發(fā)，運(yùn)算量略顯大些，如何解決？在本題中，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)D隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化而變化，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化是主動(dòng)的，所以我們從點(diǎn)P的坐標(biāo)出發(fā)，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而刻畫EF和FD的運(yùn)動(dòng)變化，探究EF與直線MD的位置關(guān)系，這樣，從點(diǎn)P的坐標(biāo)入手成為了解決本題的自然選擇．

評析：解析幾何綜合問題常在運(yùn)動(dòng)變化過程中探究某些不變的性質(zhì)與規(guī)律，對于這類運(yùn)動(dòng)變化問題，解題時(shí)要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源，從產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源入手，選擇好從直線方程入手還是從點(diǎn)的坐標(biāo)入手，就可以簡化計(jì)算過程，自然快捷地解決此類問題．

二、從結(jié)論入手，執(zhí)果索因由此及彼

例2 (2017年高考北京市海淀區(qū)第一次模擬考試，文科19題)

圖3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q(4,0), 若點(diǎn)P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點(diǎn)M.判斷是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？很自然想到假設(shè)成立，將四邊形APQM為梯形視為已知反推點(diǎn)P所滿足的條件，由已知顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行，由平行我們又很自然地想到斜率相等，在AP與MQ斜率相等的條件求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，這里我們可以有三種思路.

思路一：因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=4上，所以可設(shè)點(diǎn)P(4,y0)，由此得出直線BP的方程，從而用點(diǎn)P的坐標(biāo)P(4,y0)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

思路二：從直線AP入手，由于點(diǎn)A已知，所以設(shè)AP所在直線為y=k(x+2)，利用點(diǎn)P在直線x=4上將點(diǎn)P的坐標(biāo)用k表示，從而得出直線BP的方程，利用點(diǎn)M是直線BP與橢圓的交點(diǎn)，將點(diǎn)M坐標(biāo)也用k表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)；本思路中要經(jīng)歷兩次解方程組，特別是求點(diǎn)M坐標(biāo)時(shí)要注意韋達(dá)定理的應(yīng)用，以簡化運(yùn)算．

思路三：從直線BP入手，由于點(diǎn)B已知，所以設(shè)BP所在直線為x=ty+2，利用點(diǎn)P在直線x=4上將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示，利用點(diǎn)M是BP與橢圓的交點(diǎn)，將點(diǎn)M坐標(biāo)也用t表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)；觀察發(fā)現(xiàn)直線BP一定存在斜率，所以本思路中直線BP的方程我們采取了橫截距式，與思路二對比大大降低了運(yùn)算量．

(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行，即kAP=kMQ.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行,kAP=kMQ，顯然直線AP斜率存在，設(shè)直線AP方程為y=k(x+2).

(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行,kAP=kMQ.

評析：在解決解析幾何綜合問題時(shí)，有時(shí)若從直接求解，常常感覺不知從何入手，我們可以嘗試從結(jié)論入手，觀察結(jié)論和已知條件有什么關(guān)系？探究結(jié)論成立時(shí)應(yīng)滿足什么條件？執(zhí)果索因，往往可使解題思路豁然開朗．

三、善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從幾何角度尋求突破

“解析幾何”首先是幾何問題，利用平面幾何知識解決問題也是不可或缺的方法，解析幾何問題中蘊(yùn)含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關(guān)系？從某些幾何條件出發(fā)能得到什么樣的新幾何關(guān)系？某些幾何關(guān)系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問的探究和解決，解題思路也就自然的生成了，請看例2的第四種解題思路：

圖4

從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

評析：解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題，在解題過程中，利用平面幾何知識研究題目中的幾何關(guān)系是必要的，在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換，因此，我們必須重視對幾何關(guān)系的深入研究，使用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表示題目中的幾何關(guān)系，從而形成正確的解題思路．

解析幾何綜合題綜合性強(qiáng)，能力要求高，是每年高考的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)；高考的解析幾何考題常考常新，難免會遇到陌生的題目，但陌生往往只是在形式上，本質(zhì)不會超出我們所學(xué)的知識范疇，只要我們遵循解題的基本規(guī)律，抓住學(xué)科知識本質(zhì)，認(rèn)真探究已知、結(jié)論間的本質(zhì)聯(lián)系，解題思路定會“柳暗花明”，事半功倍地解決好解析幾何的綜合問題．

[1]朱玉群.對解題思路自然生成的幾點(diǎn)感悟[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2016(12)80-82；

[2]孫世林.探究幾何關(guān)系代數(shù)化的有效策略[J]，高中數(shù)理化(上)，2015(11)1-2.