北京市第十二中學(xué)高中部 (100071) 劉 剛 趙 毅

多角度探究一道試題的一般情形*

北京市第十二中學(xué)高中部 (100071) 劉 剛 趙 毅

(1)求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；

(2)設(shè)點(diǎn)M，N在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OM∥PA，ON∥PB時(shí)，求ΔOMN的面積．

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓直徑的一個(gè)性質(zhì)及以橢圓一組共軛直徑為背景的三角形面積問題，考查了坐標(biāo)法的應(yīng)用．經(jīng)過對(2)問的一般化探究，可以得到下面的結(jié)論．

分析1:以MN為底，點(diǎn)O到直線MN的距離為高進(jìn)行求解．

分析2:利用“水平底，鉛錘高”表示三角形的面積，并借助橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行求解．

分析3:利用直線OM，ON的方程進(jìn)行求解．

分析4:利用極坐標(biāo)方程進(jìn)行求解．

分析5:利用坐標(biāo)伸縮變換知識把橢圓變?yōu)閳A進(jìn)行求解．

教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與研究，總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個(gè)解答的理解水平．” 通過以上多角度探究一道試題的一般情形，既能有效考查學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固程度，也能考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．

[1]劉剛，趙毅．一道高考模擬試題的探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，11．

[2]劉剛，趙毅．一道高考模擬圓錐曲線試題的探究與啟示[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，12．

*本文系北京市豐臺區(qū)“十三五”重點(diǎn)課題《新課程背景下高中數(shù)學(xué)競賽教學(xué)研究》(課題批準(zhǔn)號：2016237-J)階段成果之一．