江蘇省海門中學(xué) (226100) 曹亞東

例析多角度尋找三角求值問題的解題突破口

江蘇省海門中學(xué) (226100) 曹亞東

在我們的平常教學(xué)中經(jīng)常碰到學(xué)生問這樣的問題:“老師，三角函數(shù)公式多它的變換也非常多，請您教教我們?nèi)绾螌ふ胰乔笾祮栴}的解題突破口”.本文以一道習(xí)題為例，談?wù)勎沂侨绾巫寣W(xué)生尋找到解題突破口的.

習(xí)題 已知函數(shù)f(x)=sinx+2cosx，若函數(shù)g(x)=f(x)-m在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β，則cos(α+β)= .

一、從變換角入手尋找解題突破口

觀察方程sinx+2cosx-m=0它有常數(shù)m，能否從消去m入手呢？將兩方程

解法一：g(x)在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β，∴sinα+2cosα=m，sinβ+2cosβ=m,兩式相減得sinα-sinβ+2(cosα-cosβ)=0,

利用角的變換的關(guān)鍵在于盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化.如果題中有較多的相異角，這時就要根據(jù)角與角之間的和差、倍角、互補、互余的關(guān)系進(jìn)行變角，從而使問題獲解.

二、從變換三角函數(shù)名稱入手尋找解題突破口

要使方程g(x)=0如何在x∈(0,π)上有兩個不同的解α、β，我們能否構(gòu)造出一個一元二次方程呢？觀察方程sinx+2cosx=m，我們首先想到將方程兩邊平方，由韋達(dá)定理得到cosαcosβ以及sinαsinβ，從而求出cos(α+β)的值.

假如我們不平方，能否也能得到一個一元二次方程呢？對于正余弦只能縮角才能升次，這就想到了萬能公式的應(yīng)用.

變函數(shù)名就是把一個等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，可以把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切來求解.

三、從結(jié)構(gòu)式入手尋找解題突破口

從結(jié)構(gòu)式入手，關(guān)鍵在于題設(shè)中給出的信息要和我們學(xué)過的公式定理等等溝通起來，不然就不能運用結(jié)構(gòu)尋找到解題突破口.一般題目中往往有明顯的結(jié)構(gòu)特征時，就暗示我們要從結(jié)構(gòu)上面來突破.

四、從數(shù)形結(jié)合的角度尋找解題突破口

數(shù)形結(jié)合是一種重要的解題途徑.把已知的數(shù)式等與圖像的幾何意義結(jié)合起來，然后將數(shù)和形巧妙的結(jié)合起來，從而快速地尋找到解題突破口.觀察方程sinx+2cosx-m=0，能否從形的角度入手呢？

這就要求我們要能從方程看出它的幾何意義.把點(cosx,sinx)看成是直線2x+y-m=0與單位圓x2+y2=1的交點來求解.

圖1

解法五：設(shè)P(cosx,sinx)，則sinx+2cosx-m=0在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β等價于直線l:2x+y-m=0與單位圓x2+y2=1(y>0)的上半圓有兩個交點P,Q，如圖1所示.

數(shù)形結(jié)合解題非常好，但對學(xué)生的要求比較高，它需要我們的學(xué)生牢固掌握一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，然后利用題目中的條件和結(jié)論等分析它的幾何意義，通過設(shè)參數(shù)達(dá)到數(shù)向形的轉(zhuǎn)化.

上面介紹了四種尋找解題突破口的常用方法，實際上數(shù)學(xué)解題的突破口遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這四種方法，在我們平時解題過程中多注意思想方法的積累并將它靈活運用.只有讓我們的學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)的基本概念基本方法和基本定理，根據(jù)具體問題具體分析，憑借積累的經(jīng)驗、直覺和靈感等不斷嘗試探索，從而快速而準(zhǔn)確地找尋到具體而恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，這才是學(xué)好數(shù)學(xué)之關(guān)鍵所在.