浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

一次說題活動的全紀(jì)錄

浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

隨著新課程改革的深入，數(shù)學(xué)教研活動在內(nèi)容和方式上也在不斷地發(fā)生變化．由原來的“課堂教學(xué)”到“說課”，再到目前熱行的“說題”活動，將教研內(nèi)容范圍逐步縮小，提高了課堂教學(xué)的針對性和有效性，體現(xiàn)了以小見大、去虛務(wù)實的教研理念，能更好地反映教師的基本功和提升青年教師專業(yè)水平．近期，筆者有幸參加了由市教研室組織的“說題”教研活動，受益匪淺，現(xiàn)將本次說題記錄如下，供同行批評指正．

(2016年江蘇高考第14題)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

一、議審題揚帆起航

本題條件有兩個：條件一是“銳角三角形ABC”；條件二是“sinA=2sinBsinC”，本題目標(biāo)是“求tanAtanBtanC的最小值”.條件一的目的是什么？“銳角”大概是要保證tanAtanBtanC為正；“三角形ABC”能想到哪些？條件二怎么用？觀察名稱是三個角的正弦值，那么在三角形ABC中，任意一個角的正弦值等于另外兩個角的和的正弦值，這是可以想到的.再來觀察目標(biāo)，如何求tanAtanBtanC的最小值？觀察目標(biāo)中角有三個，不是我們熟悉的一元函數(shù)，如何減元？而名稱是三角形的正切值，三個角的正切值之間有什么聯(lián)系？又如何實施從條件二中的正弦過渡到目標(biāo)中的正切？只有啟發(fā)學(xué)生把這些問題想清楚了，才能激發(fā)出學(xué)生解題的潛質(zhì).

二、探題源追本尋根

教材是知識的根本，教材是問題的源泉，教材也是高考試題的根源.面對經(jīng)典的教材和浩瀚的資料，筆者認(rèn)為，教材是已知世界，資料是未知世界.目前很多學(xué)生只喜歡資料，對教材卻不是很熟悉，甚至很多高三學(xué)生連高一的教材都找不到了.筆者認(rèn)為可由教師直接投影教材展現(xiàn)，這樣既節(jié)省時間，又能引起學(xué)生對教材的重視.

題源1 蘇教版《數(shù)學(xué)4》(必修)第116頁的例4：

在斜三角形ABC中，求證：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

不難看出，上述高考題的結(jié)論與這道例題的結(jié)論有相似之處，是這道例題的變式.

題源2 人教A版《數(shù)學(xué)4》(必修)第146頁的復(fù)習(xí)參考題A組4(1):

證明：tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β)．

課本中的例習(xí)題是眾多教材編寫者智慧的結(jié)晶，每年的高考試題中都有一些以課本上的例習(xí)題為“根”而生成的．對這些題目的條件和結(jié)論加強或削弱、延伸或拓展，可真正達到對例習(xí)題的使用“源于課本，又高于課本”．

三、覓方法多維解析

學(xué)生解題中遇到的最大困難是條件與結(jié)論之間如何溝通，對于本題實質(zhì)上就是正弦與正切之間如何轉(zhuǎn)化．由條件想結(jié)論，將正弦化為正切，肯定是兩邊同除以余弦；由結(jié)論想條件，直接化正切為正弦即可．

解法1：由sinA=sin(B+C)=2sinBsinC得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，兩邊同時除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，設(shè)tanB+tanC=2tanBtanC=m，ΔABC為銳角三角形，則tanBtanC>1,m>2．

評注：解題難點在于由“tanAtanBtanC”的結(jié)構(gòu)特點，明確“sinA=2sinBsinC”變形的目標(biāo)和方向，進而推出“tanB+tanC=2tanBtanC”．倘若分析能力不足，那么可能不能明確變形方向，陷入“思維困境”．

解法2：同解法1可得tanB+tanC=2tanBtanC①,在斜三角形ΔABC中，有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC．

評注：本解法通過引入m進行換元，然后用代入法消元，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，最后借助均值不等式求出最小值．

評注：本解法利用基本不等式求范圍，但要熟悉結(jié)論“在斜三角形ΔABC中，有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.”

又(sinBsinC-cosBcosC)cosBcosC

評注：本解法頗為巧妙，對學(xué)生提出了較高的思維要求，需要具備較強的洞察力并能熟練運用基本不等式．

四、說反思歸納感悟

數(shù)學(xué)思想方法和一些思維策略總是蘊含于學(xué)習(xí)活動之中的，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法的途徑總的來說有兩種，一是來自教師有意識的滲透和訓(xùn)練；二是來自學(xué)生自己在解題反思過程中的領(lǐng)悟．在解題后的“反思”過程中，通過反思與整合，把相關(guān)知識和方法提煉出來而形成的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才會有更深的體會，也更易于接受．也就是說，學(xué)生在反思過程中，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題的，是如何找到突破口的，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，其中又走過了哪些彎路，有哪些容易發(fā)生(或發(fā)生過)的錯誤，原因何在，該記住哪些經(jīng)驗教訓(xùn)等．在反思中認(rèn)識和掌握數(shù)學(xué)思想方法，并用這種方法來指導(dǎo)自己進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究，從而對數(shù)學(xué)的理解實現(xiàn)由量變到質(zhì)變的飛躍．

五、品思維賞析試題

從試題考查的知識點角度分析僅僅是復(fù)習(xí)了知識，如果從解題方法看，本題又是一個多元函數(shù)最值問題．那么牽及多元函數(shù)最值的一般解題思想是什么？如果不能直接用基本不等式或線性規(guī)劃求解，可以考慮通過換元、消元的思想來達到減元，直至化為一元函數(shù)，以達到求最值的目的．解題的本質(zhì)就是利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，這樣的例子不勝枚舉，可參見下面的試題拓展．教師引導(dǎo)學(xué)生多維解析的同時，可將解題過程中涉及的思想方法用彩色粉筆寫在黑板的醒目位置，如化歸與轉(zhuǎn)化、消元法、換元法、基本不等式法等等．這樣做的目的是授之以漁，而不是僅僅教給學(xué)生解題的過程．

六、談變式引申拓展

解題是一種創(chuàng)造性活動，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積累一定的解題經(jīng)驗對以后解題過程中快速提取信息應(yīng)該是幫助很大的，而變式拓展則是解題經(jīng)驗自覺積累的有效途徑．如在完成上面的高考問題探究后，若我們能從結(jié)論或條件的適當(dāng)變化中編擬出一些問題，就可以鞏固方法，辨析異同，提升能力．

變式2 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBcosC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

變式3 已知三角形ABC中，若sinA+2sinBcosC=0，則tanA的最小值是 .

講評試題時，教師不要就題論題、孤立地逐題講題，要透過題中的表面現(xiàn)象，抓住問題的本質(zhì)特征進行開放式、發(fā)散式講解．

七、論啟示服務(wù)教學(xué)

1．重視教材，用好教材

在課堂教學(xué)中經(jīng)常看到這樣一種現(xiàn)象：教師忽視對教材內(nèi)容中知識的本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系的深入鉆研，在課堂上只用很少的時間講授教科書中的主要知識點，而將大量的時間用于做題，課后布置大量作業(yè)讓學(xué)生反復(fù)做，本意是想彌補學(xué)生知識理解的不足，結(jié)果事倍功半，學(xué)生負擔(dān)過重，苦不堪言．為了改變這種忽視教材、脫離教材的現(xiàn)狀，減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負擔(dān)，近年來高考數(shù)學(xué)試題加大了對教材例習(xí)題的改編力度，以期引導(dǎo)師生重視教材，用好教材，達到事半功倍的教學(xué)效果．教師只有深入挖掘教材，透徹理解教材，明確教材的編寫意圖，才能做到基于教材、超越教材，創(chuàng)造性地設(shè)計出符合學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律、體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點的教學(xué)過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，逐漸由學(xué)會數(shù)學(xué)向會學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變．只有這樣，學(xué)生在面臨新的數(shù)學(xué)情境、新的數(shù)學(xué)問題時，才能從容淡定、應(yīng)對自如．

2．把握核心，重視思想

數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、思想方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系的靈魂．在高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科涉及的知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”．一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是“明河流”的主要交匯點，它是構(gòu)成高中數(shù)學(xué)學(xué)科的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成高中數(shù)學(xué)學(xué)科的“血脈”和靈魂．有了數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點才不再孤立、零散．因為數(shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，組成一個有機整體．教師在教學(xué)中只有抓住數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、思想方法這一主線，才能高屋建瓴，取得更大的教學(xué)效益．學(xué)生只有真正把握了數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和重要的數(shù)學(xué)思想方法，才能跳出題海，走出就題論題的小路，走上以題論“法”、以題論“道”的大道．

總之，本次說題活動的嘗試給教師專業(yè)化素養(yǎng)發(fā)展帶來了一個全新的視角，筆者認(rèn)為我們應(yīng)該加強高考試題的研究，將有價值的數(shù)學(xué)問題通過說題的教學(xué)形式予以展示和交流，這樣既發(fā)揮了優(yōu)秀試題的典型性，也大大提高了教師對有價值試題的研究能力，使得教學(xué)水平得到進一步的提升．