張亞紅

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；高考題；解法

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2017）12—0118—01

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一.如何通過(guò)解題活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題.但過(guò)多過(guò)密盲目地解題不僅不會(huì)促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成，反而會(huì)使學(xué)生疲勞，興趣降低。而一題多解無(wú)疑是激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)思維能力的一種十分有效的方法.下面，筆者談?wù)?016年甘肅高考數(shù)學(xué)（理）第20（II）的三種解法.

已知橢圓E：+=1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（I）當(dāng)t=4時(shí)，AM=AN時(shí)，求△AMN的面積；

（II）當(dāng)2AM=AN時(shí)，求k的取值范圍.

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）略

（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），將直線AM的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示x1，從而表示AM.同理用k表示AN，再由2AM=AN求k.由題意t>3，k>0，A（-，0）

1. 從一般方程入手.將直線AM的方程y=k（x+）代入+=1得（3+tk2）x2+2k2tx+t2k2-3t=0

由x1（-）=得x1=，故AM=x1+=.

由題設(shè)知，直線AM的方程為y=-（x+），同理可得AN=，

由2AM=AN得=，即（k3-2）t=3k（2k-1）

當(dāng)k=時(shí)上式不成立，因此t=，t>3.等價(jià)于，=<0

即<0，由此得k-2>0k3-2<0或k-2<0k3-2>0，解得

因此k的取值范圍是（，2）

2. 從橢圓的參數(shù)方程入手.橢圓+=1的參數(shù)方程可設(shè)為x=acos？琢y=bsin？琢，可以設(shè)M（cos？琢，sin？琢），N（cos？茁，sin？茁），則=k，=？鄄，得（k2t+3）cos2？琢+2k2tcos？琢+k2t-3=0和（3k2+t）cos2？茁+2tcos？茁+t-3k2=0，解得cos？琢=，cos？茁=

由2AM=AN得：

2=

，即

2=

，化簡(jiǎn)得2k（cos？琢+1）=cos？茁+1，得2k（+1）=+1，則=t>3，解得？蕎k？蕎2.

3. 從直線的參數(shù)方程入手.若直線的傾斜角為？琢，過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），則直線的參數(shù)方程可設(shè)為x=Tcos？琢+x0y=Tsin？琢+y0T代表向量（x-x0，y-y0）的長(zhǎng)度，當(dāng)y-y0<0時(shí)，T<0；當(dāng)y-y0？莛0時(shí)T？莛0.因k>0，直線AM、AN都過(guò)點(diǎn)A，則M的坐標(biāo)為（T1-，T1），N的坐標(biāo)為（-T2-，T2），將M、N分別代入E可解得T1=，T2=-，又根據(jù)題意和T1、T2的幾何意義，T1>0，T2<0，T2=-2T1，所以-=-2