廣東省廉江市廉江中學(xué) 鄭志興
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)(恩格斯語(yǔ))。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素,數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線,并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。
一方面,借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化,給人以直覺(jué)的啟示。將數(shù)學(xué)中的代數(shù)問(wèn)題形象化。
另一方面,將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換,相互滲透,不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快,同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路,為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開辟了一條重要的途徑。因此,數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法,而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想,它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。
而課堂中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,有利于突破教學(xué)難點(diǎn),有利于動(dòng)態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)。
數(shù)形結(jié)合的途徑
一是方程或不等式問(wèn)題??梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問(wèn)題,并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題。
三是構(gòu)造幾何模型。通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析,構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形,如將a2與正方形的面積互化,將abc與體積互化,將與勾股定理溝通等等。
四是利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系,利用數(shù)學(xué)中一些代數(shù)式的幾何意義來(lái)解題。重要的公式(如兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離直線的斜率,直線的截距)、定義等來(lái)尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。
(1)解析法
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(直角坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系),引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。
(2)三角法
將幾何問(wèn)題與三角形溝通,運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。
(3)向量法
將幾何圖形向量化,運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問(wèn)題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題變得有章可循。
“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀,形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系,數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是:見(jiàn)到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義,見(jiàn)到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路,理解題意,分析思考,判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)部分,根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn),可以通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形的性質(zhì),也可利用圖形的性質(zhì)來(lái)反映變量之間的相互關(guān)系,因此數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互印證。為了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣,在高中數(shù)教學(xué)中就要有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法。
例2. 解不等式:解: 設(shè),即對(duì)應(yīng)的曲線是以為頂點(diǎn),
開口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,取拋物線位于直線上方的部分,故得原不等式的解集是
例3.求方程lgx-sinx=0的解的個(gè)數(shù)。
分析:此方程解的個(gè)數(shù)為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。
因?yàn)閟inx≤1, lgx≤1
所以0<x≤10
在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖,形中覓數(shù),可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)。
綜上所述,數(shù)形結(jié)合的思想就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)考查的思想,根據(jù)解決問(wèn)題的需要,給“數(shù)”的問(wèn)題以直觀圖形的描述,揭示出問(wèn)題的幾何特征,變抽象為直觀;給“形”的問(wèn)題以數(shù)的度量,分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,更能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)“形”的幾何屬性,簡(jiǎn)而言之“數(shù)形互相取長(zhǎng)補(bǔ)短”。
“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象,既是統(tǒng)一又是對(duì)立。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí),要注意“數(shù)”與“形”的等價(jià)原則。下面僅舉例分析最常見(jiàn)的錯(cuò)誤。
畫圖不準(zhǔn)確,忽視考慮圖形的整體性,如等價(jià)性原則中的例題所示。
在使用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí),出現(xiàn)的問(wèn)題不局限做草圖,所以在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)應(yīng)注意三個(gè)問(wèn)題。
一是要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義,以及曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系
二是通過(guò)坐標(biāo)系做好“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化
三是正確確定變量的取值范圍
通過(guò)以上幾個(gè)方面的探討,我們初步領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合在解題中的美妙所在了。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用很廣泛,滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程之中,需要平時(shí)多注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,提高數(shù)學(xué)思維水平。