廣東省廉江市廉江中學 鄭志興

一、中學數(shù)學教學中“數(shù)形結合”思想的運用及實施

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學（恩格斯語）。數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛和深入。

一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。將數(shù)學中的代數(shù)問題形象化。

另一方面，將圖形問題轉化為代數(shù)問題，以獲得精確的結論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數(shù)學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。

而課堂中多媒體的應用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，有利于突破教學難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關系，為學生創(chuàng)設愉快的課堂教學氣氛，激發(fā)學生的學習興趣，使學生喜歡數(shù)學，愛學數(shù)學。

數(shù)形結合的途徑

二、數(shù)形結合是高中數(shù)學中的一個重要的解題思想方法，下面簡單介紹一下數(shù)形結合的途徑

1.由數(shù)到形的轉換途徑

一是方程或不等式問題常可以轉化為兩個圖象的交點位置關系的問題，并借助函數(shù)的圖象和性質解決相關的問題。

三是構造幾何模型。通過代數(shù)式的結構分析，構造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將a2與正方形的面積互化，將abc與體積互化，將與勾股定理溝通等等。

四是利用解析幾何中的曲線與方程的關系，利用數(shù)學中一些代數(shù)式的幾何意義來解題。重要的公式（如兩點間的距離點到直線的距離直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關性質。

2.由形到數(shù)的轉換途徑

（1）解析法

建立適當?shù)淖鴺讼担ㄖ苯亲鴺讼?，極坐標系），引進坐標將幾何圖形變換為坐標間的代數(shù)關系。

（2）三角法

將幾何問題與三角形溝通，運用三角代數(shù)知識獲得探求結合的途徑。

（3）向量法

將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。

三、數(shù)形結合在教學中的運用

“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”道出了數(shù)形結合的辯證關系，數(shù)形結合簡言之就是：見到數(shù)量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數(shù)量關系。在數(shù)學教學中，數(shù)形結合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結合滲透在中學數(shù)學的每個部分，根據(jù)數(shù)形結合的觀點，可以通過對數(shù)量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映變量之間的相互關系，因此數(shù)形結合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補充、相互印證。為了培養(yǎng)學生形成數(shù)形結合的思維習慣，在高中數(shù)教學中就要有意識地滲透數(shù)形結合的思想和方法。

四、要學會靈活的把代數(shù)問題轉化為幾何問題

（1）“數(shù)”中思“形”

例2. 解不等式：解: 設，即對應的曲線是以為頂點，

開口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是

（2）“形”中覓“數(shù)”

例3.求方程lgx-sinx=0的解的個數(shù)。

分析：此方程解的個數(shù)為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點個數(shù)。

因為sinx≤1, lgx≤1

所以0＜x≤10

在平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

(3)在解析幾何上的應用個例分析

綜上所述，數(shù)形結合的思想就是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來考查的思想，根據(jù)解決問題的需要，給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，變抽象為直觀；給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關系，更能從本質上認識“形”的幾何屬性，簡而言之“數(shù)形互相取長補短”。

五、正確使用數(shù)形結合思想，有可能出現(xiàn)的問題

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學研究的兩個基本對象，既是統(tǒng)一又是對立。運用數(shù)形結合思想時，要注意“數(shù)”與“形”的等價原則。下面僅舉例分析最常見的錯誤。

畫圖不準確，忽視考慮圖形的整體性，如等價性原則中的例題所示。

在使用數(shù)形結合思想解題時，出現(xiàn)的問題不局限做草圖，所以在應用數(shù)形結合法解題時應注意三個問題。

一是要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，以及曲線與方程的對應關系

二是通過坐標系做好“數(shù)”與“形”之間的轉化

三是正確確定變量的取值范圍

通過以上幾個方面的探討，我們初步領略了數(shù)形結合在解題中的美妙所在了。數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用很廣泛，滲透在學習新知識和應用知識解決問題的過程之中，需要平時多注意數(shù)形結合的應用，有意識地加強這方面的訓練，提高數(shù)學思維水平。