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        例談運用分類討論思想解題

        2017-06-23 16:04:10趙光義
        關(guān)鍵詞:三角板等腰三角交點

        趙光義

        在一些數(shù)學(xué)問題中,有些問題的結(jié)論不是唯一確定的,這就需要我們用分類討論的思想解決問題.在用分類討論思想解決問題時,我們要按照統(tǒng)一的標準進行分類,做到不重不漏.下面舉幾個運用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題的例子,加深同學(xué)們對分類討論思想的認識.

        一、由絕對值引起的分類

        例1 已知:a,b≠0,則[aa]+[bb]= .

        解:根據(jù)a,b的正負,分四種情況討論:

        ① 當a>0,b>0時,[a=a,b=b],

        ∴原式=1+1=2.

        ②當a>0,b<0時,[a=a,b=-b],

        ∴原式=1-1=0.

        ③當a<0,b>0時,[a=-a,b=b],

        ∴原式=-1+1=0.

        ④當a<0,b<0時,[a=-a,b=-b],

        ∴原式=-1-1=-2.

        綜上所述,[aa]+[bb]的值為2,0,-2.

        評注:含有絕對值的問題,通常根據(jù)絕對值的定義,按照含有絕對值式子的正負進行分類求解.

        二、由概念的指向不明確引起的分類

        例2 若函數(shù)y=(a-1)x2-2x-1的圖象與x軸只有一個交點,則a的值為 .

        解:分兩種情況討論:

        ① 當a-1≠0,即a≠1時,函數(shù)為二次函數(shù),函數(shù)y=(a-1)x2-2x-1與x軸只有一個交點時,Δ=(-2)2-4(a-1)×(-1)=0,

        解得a=0.

        ②當a-1=0,即a=1時,函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x-1,與x軸只有一個交點([-12],0).

        綜上所述,a=0或1.

        評注:本題中,“函數(shù)”的概念指向不明確,該函數(shù)有可能是二次函數(shù),也有可能是一次函數(shù),因此我們需要分類討論.

        三、由全等三角形或相似三角形的對應(yīng)邊引起的分類

        例3 如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上一動點,若△PAD與△PBC是相似三角形,則滿足條件的點P的個數(shù)是 ( ) [·][A][B][C][D][P][圖1]

        A. 1個 B. 2個

        C. 3個 D. 4個

        解:∵AD∥BC,∠ABC=90°,

        ∴∠BAD=∠ABC=90°.

        又AB=8,AD=3,BC=4,

        ∴設(shè)AP=x,則BP=8-x.

        要使△PAD與△PBC相似,分兩種情況討論:

        ①若△APD∽△BPC,則[APBP=ADBC].

        ∴[x8-x=34].

        解得[x=247] .

        ②若△APD∽△BCP,則[APBC=ADBP].

        ∴[x4=38-x].

        解得x=2或x=6.

        綜上所述,滿足條件的點P有3個.故選C.

        評注:三角形的相似,由于邊的對應(yīng)存在不唯一性,所以在求解此類問題時,通常按照邊的對應(yīng)關(guān)系進行分類討論.

        四、由等腰三角形或直角三角形引起的分類

        例4 如圖2,在平面直角坐標系xOy中,A(0,2),B(0,6),點C在直線y=x上.若以A,B,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,則點C的個數(shù)是( ) [O][x][y] [·][·][B

        A][

        ][y=x][圖2]

        A.2個 B.3個

        C.4個 D.5個

        解:要使△ABC為等腰三角形,如圖3,分三種情況: [O][x][y] [·][·][B

        A][

        ][y=x][圖3][] [C1][C2][C3][·][·][·] ①當CA=CB時,作線段AB的垂直平分線,交直線y=x于點C1,此時C1(4,4).

        ②當BA=BC時,以點B為圓心,BA長為半徑作圓.

        ∵OB=6,

        ∴點B到直線y=x的距離為6[×22]=[32].

        ∵[32>4],

        ∴此時圓與直線y=x沒有交點,符合條件的點C不存在.

        ③當AB=AC時,以點A為圓心,AB長為半徑作圓,交直線y=x于兩點C2,C3 .

        設(shè)C(x,x).

        ∵A(0,2),B(0,6),

        ∴AC=AB=4.

        ∴x2+(x-2)2=42.

        解得x1=[1+7],x2=[1-7].

        ∴C2(1+[7],1+[7]),C3(1-[7],1-[7]).

        綜上所述,滿足條件的點C有3個.故選B.

        評注:對于等腰三角形,在腰和底邊不明確的情況下,我們常常以腰為標準分三種情況進行討論.在解決直角三角形的相關(guān)問題時,如果直角不明確,也采用類似的分類方法.

        五、由圖形的運動引起的分類

        例5 兩個三角板ABC,DEF,按圖4的位置擺放,點B與點D重合,邊AB與邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點、線都在同一平面內(nèi)).其中∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6 cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC沿射線DE方向平移,當點C落在邊EF上時停止運動.設(shè)三角板平移的距離為x ( cm),兩個三角板重疊部分的面積為y ( cm2). [A][B][C][(D)][E][F] [圖4]

        (1)當點C落在邊EF上時,x= cm;

        (2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

        解:(1)如圖5,過點C作CG⊥AB于G,作CH⊥EF于H,則四邊形CGEH是矩形,三角板移動的距離為GE的長.

        在Rt△ABC中,由AC=6,∠ABC=30°,得[BC=ACtan30°=63].

        在Rt△BCG中,BG=BC·cos 30°=9,GE=BG+BE=9+6=15 (cm) .

        ∴x=15. [A][B][C][(D)][E][F] [圖5] [G][H]

        (2)①當0≤x<6時,重疊部分為△BDG(如圖6).此時∠GDB=60°,∠GBD=30°,DB=x,得[DG=12x],[BG=32x].

        重疊部分的面積y=[12]DG·BG=[12]·[12]x·[32]x=[38] x2. [A][B][C][D][E][F] [圖6] [G]

        ②當6≤x<12時,重疊部分為四邊形DEHG(如圖7).此時BD=x,DG=[12]x,BG=[32]x,BE=x-6,EH=[33](x-6).

        重疊部分的面積y =S△BDG-S△BEH =

        [12]DG·BG-[12]BE·EH,即y=[12]·[12]x·[32]x-[12](x-6)·[33](x-6).

        化簡,得y=[-324x2+23x-63]. [A][B][C][D][E][F] [圖7][G] [H]

        ③當12

        重疊部分的面積y=S△ABC-S△BEG=[12]AC·BC-[12]BE·BG,即y=[12]×6×[63]-[12](x-6)×[33](x-6).

        化簡,得y=[-36x2+23x+123].

        綜上所述,

        y=[38x20≤x<6,-324x2+23x-636≤x<12,-36x2+23x+12312

        評注:由于圖形的運動,可能會導(dǎo)致圖形的形狀、位置發(fā)生變化,我們常常根據(jù)圖形所處的不同位置、不同形狀進行分類討論.引起分類的原因、分類的依據(jù)很多,希望同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中不斷的整理、歸納,提高利用分類討論的方法解決問題的能力.

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