張德柱

近幾年的中考試題中，與三角形有關(guān)的試題除沿襲傳統(tǒng)的題型外，還加大了探索、創(chuàng)新的力度，特別是增加了與三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題、三角形全等與相似的綜合等.在解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)外，還要注意與其他知識(shí)的聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.下面結(jié)合近幾年中考試題舉例說(shuō)明與三角形有關(guān)的常見(jiàn)題型與解法探討.

一、相似三角形的判定和性質(zhì)

例1 如圖1，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若AB=10，BC=16，則線段EF的長(zhǎng)為（ ） [A][B][C][D][E][F][圖1]

A.2 B.3

C.4 D.5

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DF=[12]AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，結(jié)合角平分線的定義，得∠CBF=∠BFD，所以DE∥BC，進(jìn)而可得DE=8，由EF=DE-DF解得答案.

解：∵AF⊥BF，

∴∠AFB=90°.

∵AB=10，D為AB的中點(diǎn)，

∴DF=[12]AB=AD=BD=5.

∴∠ABF=∠BFD.

又BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

∴∠CBF=∠BFD.

∴DE∥BC.

∴△ADE∽△ABC.

∴[DEBC]=[ADAB]，即[DE16]=[510].

解得DE=8.

∴EF=DE-DF=3.故選B.

評(píng)注：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì).

二、利用相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形的面積比

例2 如圖2，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE=1∶3，則S△DOE∶S△AOC的值為（ ） [A][B][C][D][E][O][圖2]

A.1∶3 B.1∶4

C.1∶9 D.1∶16

分析：由S△BDE∶S△CDE=1∶3，可得BE∶EC=1∶3，所以BE∶BC=1∶4.易證△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，所以DE∶AC=BE∶BC=1∶4，S△DOE∶S△AOC=DE2∶AC2=1∶16.

解：∵S△BDE∶S△CDE=1∶3，

∴BE∶EC=1∶3.

∴BE∶BC=1∶4.

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA.

∴DE∶AC=BE∶BC=1∶4.

∴S△DOE∶S△AOC=DE2∶AC2=1∶16.故選D.

評(píng)注：三角形面積比的處理方法：（1）利用三角形的面積公式.（2）利用相似三角形的面積比等于相似比的平方.

三、利用三角形的中位線及相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)

例3 如圖3，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次連接△A1B1C1的三邊中點(diǎn)，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點(diǎn)，得△A3B3C3，……，則△A5B5C5的周長(zhǎng)為 . [A][1][B][1][C][1][A][2][B][2][C][2][A][3][B][3][C][3][圖3]

分析：利用相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，再根據(jù)中位線圍成的三角形與原三角形相似，且相似比等于[12]，得出所求結(jié)果.

解：∵A2，B2，C2是△A1B1C1的三邊中點(diǎn)，

∴[A2B2A1B1=B2C2B1C1=A2C2A1C1=12].

∴△A1B1C1∽△A2B2C2.

∴[△A2B2C2的周長(zhǎng)△A1B1C1的周長(zhǎng)=12]，即△A2B2C2的周長(zhǎng)=[12]△A1B1C1的周長(zhǎng).

同理△A3B3C3的周長(zhǎng)[=12]△A2B2C2的周長(zhǎng)=[（12）2]△A1B1C1的周長(zhǎng).

以此類推，得△A5B5C5的周長(zhǎng)=[（12）4]△A1B1C1的周長(zhǎng)=[（12）4×（7+4+5）=1].

評(píng)注：本題考查了三角形的中位線及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.先找出圖形變化的規(guī)律，得出其表達(dá)式，再代入求值.如果圖形相對(duì)簡(jiǎn)單，也可以把每種情況的結(jié)果直接計(jì)算出來(lái).

四、利用面積法及相似三角形的判定和性質(zhì)探索圖形變化的規(guī)律

例4 如圖4，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，以BC邊上的高AB1為邊作正△AB1C1，△ABC與△AB1C1公共部分的面積記為S1；再以正△AB1C1的邊B1C1上的高AB2為邊作正△AB2C2，△AB1C1與△AB2C2公共部分的面積記為S2；……；則Sn= （用含n的式子表示）. [A][B][C][B][1][B][2][B][4][C][1][C][2][C][3][C][4][S][1][S][2][S][3][S4][圖4] [B3] 分析：根據(jù)題意得到圖中的相似三角形，求出其相似比，然后求出S1，S2，S3的值，歸納出一般性的結(jié)論.

解：由題意，得∠AB1B=∠AB2B1=90°，∠BAB1=∠B1AB2，

∴△A B1B2∽△A BB1.

∴[S1S△ABB1=（AB1AB）2=（32）2=34]，即[S1=34S△ABB1].

由題意，得AB=2，BB1=1，故AB1 =[3].

∴[S△ABB1=12×1×3=32].

∴[S1=34×32].

同理可得[S2=34S1=（34）2×32].[S3=34S2=][（34）3×32].故[Sn=32×（34）n] .

評(píng)注：解決這類問(wèn)題，首先要從已知圖形入手，觀察圖形、數(shù)字、式子隨著“序號(hào)”或“編號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上的變化情況或圖形變化情況，找出變化規(guī)律，從而推出一般性結(jié)論，探索圖形面積變化規(guī)律時(shí)，一般需要抓住圖形面積的增減變化特點(diǎn)，進(jìn)行分析、猜想、歸納、驗(yàn)證得出結(jié)果.

五、運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識(shí)求線段的長(zhǎng)

例5 如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)AC=3CD，過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

（1）求BD· cos∠HBD；

（2）若∠CBD=∠A，求AB的長(zhǎng). [A][B][C][D][H][圖5]

分析：（1）由題設(shè)易證△ABC∽△DHC，由相似三角形的性質(zhì)可得CH的長(zhǎng)，再求出BH的長(zhǎng)，用三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題.

（2）先證△ABC∽△BHD，可得[BCHD=ABBH]，又△ABC∽△DHC，可得AB=3DH，代入即可求解.

解：（1）∵DH∥AB，

∴∠BHD=∠ABC=90°.

又∠DCH=∠ACB，

∴△ABC∽△DHC.

∴[ACDC=BCHC].

∵AC=3CD，BC=3，

∴CH=1.

∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中，cos∠HBD=[BHBD]，

∴BD· cos∠HBD=BH=4.

（2）∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，

∴△ABC∽△BHD.

∴[BCHD=ABBH].

∵△ABC∽△DHC，

∴[ABDH=ACDC=31].

∴AB=3DH.

∴[3DH=3DH4].

∴DH=2.

∴AB=6.

評(píng)注：這類問(wèn)題在中考中屬必考的大題，有關(guān)三角形問(wèn)題，利用全等或相似，而在本題中無(wú)明顯相等的邊，題設(shè)中有線段平行、角相等，這類問(wèn)題大都先判定三角形相似.當(dāng)結(jié)論中出現(xiàn)三角函數(shù)時(shí)，通過(guò)直角三角形中的邊角關(guān)系使問(wèn)題得到解決.

六、相似三角形的判定、性質(zhì)與三角形的面積、一元二次方程的綜合

例6 如圖6，在△ABC中，點(diǎn)E，P在邊AB上，且AE=BP，過(guò)點(diǎn)E，P分別作BC的平行線，交AC于點(diǎn)F，Q.記△AEF的面積為S1，四邊形EFQP的面積為S2，四邊形PQCB的面積為S3. [A][B][C][P][Q][E][F][圖6]

（1） 求證：EF+PQ=BC；

（2） 若S1+S3=S2，求[PEAE]的值；

（3） 若S3-S1=S2，直接寫出[PEAE]的值.

分析：（1）由相似三角形的判定和性質(zhì)，得[EFBC=AEAB]，[PQBC=APAB]，再把兩比例式分別相加即可.

（2）如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，分別交EF，PQ于M，N ，設(shè)EF=a，PQ=b，AM=h，則BC=a+b.由相似三角形的性質(zhì)，得[AMAN=EFPQ]，從而得到AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h，再根據(jù)條件中所給面積關(guān)系式列方程求出b與a的關(guān)系式，最后由△AEF∽△APQ得AP與AE的數(shù)量關(guān)系，從而求得[PEAE]的值.

（3）由（2）知AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h，S1=[12]ah，S2=[12]（a+b）（[ba]-1）h，S3=[12]（b+a+b）h.根據(jù)條件所給面積關(guān)系式S3-S1=S2，得[12]（b+a+b）h?[12]ah=[12]（a+b）（[ba]-1）h，整理，得a2+2ab-b2=0.解得a=（[2]-1）b，a=（-[2]-1）b（舍去）.

由EF∥PQ，得△AEF∽APQ .所以[AEAP=EFPQ=ab=2-1].所以AP= （1+[2]） AE，PE=[2]AE.因此[PEAE=][2] .

解：（1）證明：∵EF∥BC，

∴△AEF∽ABC.

∴[EFBC=AEAB].

同理[PQBC=APAB].

∴[EF+PQBC=AE+APAB].

∵AE=BP，

∴[EF+PQBC=BP+APAB=1].

∴EF+PQ=BC.

（2）如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，分別交EF，PQ于M，N. [A][B][C][P][Q][E][F][圖7] [M][N][H]

設(shè)EF=a，PQ=b，AM=h，則BC=a+b.

∵△AEF∽△ABC，

∴[AMAN=EFPQ].

∴AN=[bha]，MN=（[ba]-1）h.

∴S1=[12]ah，S2=[12]（a+b）（[ba]-1）h，S3=[12]（b+a+b）h.

∵S1+S3=S2，

∴[12]ah+[12]（b+a+b）h=[12]（a+b）（[ba]-1）h.

∴b=3a.

∵EF∥PQ，

∴△AEF∽APQ.

∴[EFPQ=AEAP]=[13].

∴AP=3AE.

∴[PEAE=2].

（3）[PEAE=][2] .

評(píng)注：已知三角形的面積關(guān)系求線段的比，作高是常見(jiàn)的添加輔助線的方法， 借助“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”得到所求線段的比，利用面積關(guān)系式列方程是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn).

七、與三角形相關(guān)的折疊問(wèn)題

例7 如圖8，一張三角形紙片ABC，AB=AC=5，折疊該紙片使點(diǎn)A落在邊BC的中點(diǎn)上，折痕經(jīng)過(guò)AC上的點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為 . [A][B][C][E][·][圖8]

分析：如圖9，D為BC的中點(diǎn)，EF為折痕，連接AD，則AD⊥BC.由折疊的性質(zhì)，得EF是AD的垂直平分線，得出EF是△ABC的中位線，即可求出AE的長(zhǎng).

解：如圖9，D為BC的中點(diǎn)，EF為折痕，連接AD，DE，DF. [A][B][C][E][·][圖9] [D][F]

由折疊的性質(zhì)，得EF是AD的垂直平分線.

∴AD⊥EF.

∴ EF ∥BC.

∴△AFE∽△ABC，相似比是1∶2.

∴[AEAC=12].

∵AC=5，

∴AE=[52].

評(píng)注：與折疊有關(guān)的計(jì)算題，通常利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，把各種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.

八、利用相似、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想解決問(wèn)題

例8 如圖10，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α=0°時(shí)，[AEBD]= ；②當(dāng)α=180°時(shí)，[AEBD]= .

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，[AEBD]的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖11的情況給出證明. [A][B][C][D][E] [A][B][C][D][E][圖10 圖11]

（3）問(wèn)題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).

分析：（1）可以轉(zhuǎn)化成CE與CD的比值解決問(wèn)題.

（2）根據(jù)條件由兩角相等或兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等判定△CEA∽△CDB，將[AEBD]轉(zhuǎn)化成[ACBC=52].

（3）畫出A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)的所有情況，求出BD的長(zhǎng)度.

①如圖12，當(dāng)△EDC在BC的上方且A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形ABCD是矩形，BD=AC=[45]. [F][A][B][C][D][E][A][B][C][D][E][圖12 圖13]

②如圖13，當(dāng)△EDC在BC的下方且A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，△ADC是直角三角形，由DE=[12]AB=2，AD=8，

∴AE=6.

∵[AEBD=52]，

∴[BD=1255].

解：（1）①[52]；②[52].

【解析】①當(dāng)α=0°時(shí)，如圖10，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，

∴DE為Rt△ABC的中位線.

∴AB=BD=CD=4.

∴DE=2.

∴AC=[45].

∴AE=CE=[25].

∴[AEBD=52].

②當(dāng)α=180°時(shí)，如圖14，由①，得AE=[65]，BD=12，

∴[AEBD=52]. [A][B][C][D][E][圖14]

（2）當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，[AEBD]的大小無(wú)變化.

理由如下：

如圖10，∵D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線.

∴DE∥AB.

∴[CECA=CDCB].

如圖11，∵△EDC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形狀大小不變，

∴[CECA=CDCB]仍然成立.

∴[CECD=CACB].

又∠ACE=∠BCD=α，

∴△CEA∽△CDB.

∴[AEBD]=[ACBC].

在Rt△ABC中，AC=[AB2+BC2=][42+82]=[45]，

∴[ACBC=458=52].

∴[AEBD=52].

∴[AEBD]的大小不變.

（3） [45或1255.]

評(píng)注：探索性問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)題型中的變量進(jìn)行分析，把握原有圖形的特點(diǎn)，探究變化量的特點(diǎn)，借用類比思想逐步解題.這類題目往往是數(shù)形結(jié)合思想、類比思想和方程思想的綜合運(yùn)用，要將各種情形逐一分析，避免出錯(cuò).