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        方程和方程組復(fù)習(xí)指導(dǎo)

        2017-06-23 16:13:07徐正清
        關(guān)鍵詞:記號筆教育經(jīng)費方程組

        徐正清

        方程和方程組是初中數(shù)學(xué)的核心知識點,主要考查學(xué)生的計算能力和運用方程解決實際問題的能力.

        一、一元一次方程的解及解法

        例1 (2016·賀州)解方程:[x6]-[30-x4]=5.

        分析:將方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù),然后去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

        解:去分母,得2x-3(30-x)=60.

        去括號,得 2x-90+3x=60.

        移項,得 2x+3x=60+90.

        合并同類項,得 5x=150.

        系數(shù)化為1,得x=30.

        評注:去分母時,注意將方程中的每一項都乘以最小公倍數(shù),不能漏乘.

        練習(xí)1 解方程:[12]x+2×([54]x+1)=8+x.

        二、二元一次方程組的解及解法

        例2 (2016·成都)已知[x=3,y=-2]是方程組[ax+by=3,bx+ay=-7]的解,求代數(shù)式(a+b)(a-b)的值.

        分析:將關(guān)于x,y的方程組的解代入方程組中,得到關(guān)于a,b的方程組,解此方程組,然后求代數(shù)式的值.

        解:把[x=3,y=-2]代入方程組,得[3a-2b=3, ①3b-2a=-7. ②] 由①+②,得a+b=-4.

        由①-②,得5a-5b=10,即a-b=2.

        所以(a+b)(a-b)=-4×2=-8.

        評注:解決此類題目時注意觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu),嘗試運用整體代入法求代數(shù)式的值,不一定要解出方程組的解,有的題目可以根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)特點選擇較簡單的解題方法.

        練習(xí)2 已知x,y滿足方程組[x+6y=12,3x-2y=8.]則x+y的值為( )

        A.9 B.7 C.5 D.3

        三、二元一次方程(組)的應(yīng)用

        例3 (2016·徐州)小麗購買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如下表,因污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無法識別,根據(jù)下表:[商品名\&單價(元)\&數(shù)量(個)\&金額(元)\&簽字筆\&3\&2\&6\&自動鉛筆\&1.5\&·\&·\&記號筆\&4\&·\&·\&軟皮筆記本\&·\&2\&9\&圓規(guī)\&3.5\&1\&·\&合計\&\&8\&28\&]

        解決下列問題:

        (1)小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支?

        (2)若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具,共花費15元,則有哪幾種不同的購買方案?

        分析:(1)由“購買數(shù)量為8”和“購買總金額為28元”得出兩個等量關(guān)系,由此列出方程組.

        (2)由題意可列出二元一次方程,根據(jù)自動鉛筆和記號筆是正整數(shù)分析該二元一次方程的解.

        解:(1)設(shè)小麗購買自動鉛筆x支,記號筆y支.根據(jù)題意,得

        [x+y=8-2+2+1,1.5x+4y=28-6+9+3.5.]

        解得[x=1,y=2.]

        答:小麗購買自動鉛筆1支,記號筆2支.

        (2)設(shè)小麗購買軟皮筆記本m本,自動鉛筆n支.根據(jù)題意,得

        [92]m+1.5n=15,即n=10-3m.

        又因為m,n都是正整數(shù),

        所以[m=1,n=7]或[m=2,n=4]或[m=3,n=1.]

        答:共有三種方案:

        方案一:1本軟皮筆記本和7支記號筆;

        方案二:2本軟皮筆記本和4支記號筆;

        方案三:3本軟皮筆記本和1支記號筆.

        評注:運用方程(組)解決實際問題時,關(guān)鍵要找出實際問題中的等量關(guān)系,通過設(shè)未知數(shù)來列出方程(組).運用二元一次方程求解某物體的數(shù)量時,注意該物體的數(shù)量為非負(fù)整數(shù),由此可討論出該二元一次方程的解.

        練習(xí)3 某商場投入13 800元資金購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱,礦泉水的成本價和銷售價如下表所示:[\&成本價(元/箱)\&銷售價(元/箱)\&甲\&24\&36\&乙\&33\&48\&] [類別][單價]

        (1)該商場購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱?

        (2)全部售完500箱礦泉水,該商場共獲得利潤多少元?

        四、一元二次方程的解及解法

        例4 (2016·山西)解方程:2(x-3)2=x2-9.

        分析:先移項,然后運用平方差公式和提公因式法解方程.

        解:移項,得2(x-3)2-(x2-9)=0.

        因式分解,得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,

        (x-3)(2x-6-x-3)=0,

        (x-3)(x-9)=0.

        ∴x-3=0或x-9=0.

        ∴x1=3,x2=9.

        評注:解方程時要根據(jù)方程的特點選擇比較簡單的方法解方程.

        練習(xí)4 解方程:x2-6x-4=0.

        五、一元二次方程的應(yīng)用

        例5 (2016·畢節(jié))為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育,自2014年以來,某縣加大了教育經(jīng)費的投入,2014年該縣投入教育經(jīng)費6 000萬元.2016年投入教育經(jīng)費8 640萬元.假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同.

        (1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率;

        (2)若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率,請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元.

        分析:設(shè)年平均增長率,根據(jù)兩年增長率相同列出2016年教育經(jīng)費投入資金表達(dá)式,由此列出方程.

        解:(1)設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x.根據(jù)題意,得

        6 000(1+x)2=8 640.

        解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).

        答:這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%.

        (2)因為2016年該縣投入教育經(jīng)費為8 640萬元,且增長率為20%,

        所以2017年該縣投入教育經(jīng)費為8 640×(1+20%)=10 368(萬元).

        答:預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費10 368萬元.

        評注:有關(guān)增長率的問題,往往要用到公式:M=a(1+x)n,這里a表示增長的基數(shù),x表示每次的增長率,n表示增長的次數(shù),M表示增長n次后的量.

        練習(xí)5 某服裝店原計劃按每套200元的價格銷售一批保暖內(nèi)衣,但上市后銷量不佳,為減少庫存積壓,兩次連續(xù)降價打折處理,最后價格調(diào)整為每套128元.若兩次降價折扣率相同,則每次的降價率為( )

        A.8% B.18% C.20% D.25%

        例6 (2015·湖北)如圖1,一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12 m的住房墻,另外三邊用25 m長的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個1 m寬的門,所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時,豬舍面積為80 m2? [住房墻][1 m] [圖1]

        分析:設(shè)豬舍垂直于住房墻一邊的長為x m,用x表示出平行于墻的一邊的長,由矩形的面積公式即可列出方程.

        解:設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊的長為x m,則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1) m,即(26-2x) m.由題意,得

        x(26-2x)=80,

        化簡,得x2-13x+40=0.

        解得x1=5,x2=8.

        當(dāng)x=5時,26-2x=16>12(舍去),

        當(dāng)x=8時,26-2x=10<12.

        答:所圍矩形豬舍的長為10 m、寬為8 m.

        評注:運用一元二次方程解決實際問題時,必須要根據(jù)實際情況驗證方程的根是否符合題意,不符合題意的根舍去.

        練習(xí)6 某小區(qū)在綠化工程中有一塊長為18 m、寬為6 m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,使它們的面積之和為60 m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道(如圖2),求人行通道的寬度. [6 m][18 m][圖2]

        六、分式方程的解及解法

        例7 (2016·樂山)解方程:[1x-2]-3=[x-12-x].

        分析:先去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然后按照整式方程的步驟求解,最后檢驗根.

        解:方程兩邊同乘以x-2,得

        1-3(x-2)=-(x-1),即-2x=-6.

        解得x=3.

        檢驗:當(dāng)x=3時,x-2≠0.

        所以原方程的解為x=3.

        評注:解分式方程時,一定要檢驗方程的根是否有意義,注意增根.

        練習(xí)7 關(guān)于x的方程[3x-2x+1]=2+[mx+1]無解,則m的值為( )

        A.-5 B.-8

        C.-2 D.5

        七、分式方程的應(yīng)用

        例8 (2016·岳陽)我市某學(xué)校開展“遠(yuǎn)是君山,磨礪意志,保護(hù)江豚,愛鳥護(hù)鳥”為主題的遠(yuǎn)足活動.已知學(xué)校與君山島相距24 千米,遠(yuǎn)足服務(wù)人員騎自行車,學(xué)生步行,服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5 倍,服務(wù)人員與學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā),到達(dá)君山島時,服務(wù)人員所花時間比學(xué)生少用了3.6小時,求學(xué)生步行的平均速度是多少千米/小時.

        分析:由“路程÷速度=時間”和“服務(wù)人員所花時間比學(xué)生少用了3.6 小時”即可列出方程.

        解:設(shè)學(xué)生步行的平均速度是每小時x 千米,則服務(wù)人員騎自行車的平均速度是每小時2.5x 千米.根據(jù)題意,得

        [24x]-[242.5x]=3.6.

        解得x=4.

        經(jīng)檢驗,x=4是原方程的解,且符合題意.

        答:學(xué)生步行的平均速度是每小時4 千米.

        評注:運用分式方程解決實際問題時,既要考慮方程的根是否使方程有意義,又要考慮方程的根是否符合實際意義.

        練習(xí)8 “母親節(jié)”前夕,某商店根據(jù)市場調(diào)查,用3 000元購進(jìn)第一批盒裝花,上市后很快售完,接著又用5 000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍,且每盒花的進(jìn)價比第一批的進(jìn)價少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價是多少元?

        八、方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用

        例9 已知一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P(2,-1),則關(guān)于x的方程組[mx+y=3,3x-y=n]的解是 .

        分析:理解方程組[mx+y=3,3x-y=n]的解與一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象的交點P(2,-1)的縱橫坐標(biāo)的關(guān)系.

        解:∵一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P(2,-1),

        ∴方程組[mx+y=3,3x-y=n]的解是[x=2,y=-1.]

        評注:本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識,解題的關(guān)鍵是了解函數(shù)的圖象的交點與方程組的解之間的關(guān)系.

        練習(xí)9 已知二元一次方程組[x-y=-5,x+2y=-2]的解為[x=-4,y=1,]則在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=x+5與直線l2:y=[-12]x-1的交點坐標(biāo)為 .

        例10 (2016·菏澤)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+2過B(-2,6),C(2,2)兩點.

        (1)試求拋物線的解析式;

        (2)若拋物線的頂點為D,求△BDC的面積;

        (3)若直線y=[-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B,C)部分有兩個交點,求b的取值范圍.[O][x] [y] [B][C][D][圖3] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

        6

        5

        4

        3

        2

        1

        -1][·][·][·]

        分析:(1)運用待定系數(shù)法列方程組求拋物線的解析式.

        (2)運用配方法求出二次函數(shù)的頂點D的坐標(biāo),再求出直線BC與對稱軸的交點H的坐標(biāo),根據(jù)S△BDC=S△BDH+S△DHC求出S△BDC.

        (3)聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b和二次函數(shù)的解析式,列方程組,根據(jù)題意求出b的取值范圍.

        解:(1)將點B,C的坐標(biāo)代入解析式中,得

        [4a-2b+2=6,4a+2b+2=2.]

        解得[a=12,b=-1.]

        ∴拋物線的解析式為y=[12]x2-x+2.

        (2)∵y=[12]x2-x+2,

        ∴y=[12](x-1)2+[32].

        ∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)為(1,[32]).

        設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

        把B(-2,6),C(2,2)代入,得[-2m+n=6,2m+n=2.]

        解得[m=-1,n=4.]

        ∴直線BC的解析式為y=-x+4.

        ∴拋物線的對稱軸直線x=1與直線BC的交點H的坐標(biāo)為(1,3)(如圖4).[O][x] [y] [B][C][D][圖4] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

        6

        5

        4

        3

        2

        1

        ][·][·][·] [-1] [H]

        ∴DH=3[-32][=32].

        ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC[=12]×[32]×3[+12]×[32]×1=3.

        (3)直線y=[-12]x向上平移b個單位得直線y=[-12]x+b,

        聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b與二次函數(shù)的解析式,得[y=-12x+b,y=12x2-x+2.]

        消去y,得x2-x+4-2b=0.

        當(dāng)Δ=0,即1-4(4-2b)=0時,直線與拋物線只有一個交點.

        解得b=[158].

        當(dāng)直線y [=-12]x+b經(jīng)過點C(2,2)時,b=3,

        當(dāng)直線y [=-12]x+b經(jīng)過點B(-2,6)時,b=5.

        ∵直線y [=-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B,C)部分有兩個交點,

        ∴[158]

        評注:求直線與拋物線是否有交點時,可將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組,然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)根的判別式判斷交點情況.當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時,直線與拋物線有2個交點;當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時,直線與拋物線有1個交點;當(dāng)方程沒有實數(shù)根時,直線與拋物線沒有交點.

        練習(xí)10 如圖5,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸只有一個公共點A,經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B,交y軸于點C,且點C是線段AB的中點.[O][x][y][A][B][C][圖5]

        (1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;

        (2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.

        九、方程與幾何的綜合應(yīng)用

        例11 (2015·柳州)如圖6,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,點P從點A出發(fā)以2 cm/s的速度沿A→D→C運動,點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā),以1 cm/s的速度向點B運動,當(dāng)點P到達(dá)點C時,點Q也停止運動.設(shè)點P,Q運動的時間為t s. [A][B][C][P][Q][圖6][D]

        (1)從運動開始,當(dāng)t取何值時,PQ∥CD?

        (2)從運動開始,當(dāng)t取何值時,△PQC為直角三角形?

        分析:(1)已知AD∥BC,添加PD=CQ即可判斷以P,Q,D,C為頂點的四邊形是平行四邊形.

        (2)分三種情況討論:①∠CQP=90°,

        ②∠CPQ=90°,③∠PCQ=90°.

        解:(1)由題意,得點P在AD上,PD∥BC,當(dāng)PD=CQ時,四邊形PDCQ是平行四邊形,即12-2t=t.

        解得t=4.

        ∴當(dāng)t=4 s時,四邊形PQCD是平行四邊形.

        ∴當(dāng)t=4 s時,PQ∥CD.

        (2)如圖7,過點D作DF⊥BC于F. [A][B][C][P][Q][圖7][D] [P][1][Q][1][F]

        ∴DF=AB=8 ,CF=BC-AD=18 -12 =6 ,CD=10 .

        ①當(dāng)PQ⊥BC時,點P在AD上,則BQ+CQ=18 ,即2t+t=18.

        解得t=6(s).

        ②當(dāng)QP⊥PC時,點P在DC上(如圖7),CP1=10+12-2t=22-2t,CQ1=t,

        易知,△CDF∽△CQ1P1,

        ∴[CP1CF]=[CQ1CD],即[22-2t6]=[t10].

        解得t=[11013](s).

        ③當(dāng)PC⊥BC時,∠PCQ=90°.

        又∠DCB<90°,

        ∴這種情況不存在.

        綜上所述,當(dāng)t=6 s或[11013] s時,△PQC是直角三角形.

        評注:解決關(guān)于幾何圖形的動點問題時,往往根據(jù)動點的時間和速度設(shè)某一邊長為未知數(shù),然后再用該未知數(shù)表示出其他線段的長,再根據(jù)圖形的性質(zhì)找出等量關(guān)系列方程.

        練習(xí)11 如圖8,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,點P從點A開始沿AC邊向點C以1 cm/s的速度運動,在點C停止,點Q從點C開始沿CB邊向點B以2 cm/s的速度移動,在點B停止. [A][B][C][P][Q][圖8]

        (1)如果點P,Q分別從A,C同時出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,使S△QPC=8 cm2;

        (2)如果點P從點A先出發(fā)2 s,點Q再從點C出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,使S△QPC=4 cm2.

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        科教新報(2021年48期)2021-01-06 16:57:20
        《二元一次方程組》鞏固練習(xí)
        一類次臨界Bose-Einstein凝聚型方程組的漸近收斂行為和相位分離
        管好用好糧食倉儲企業(yè)職工教育經(jīng)費
        關(guān)于企業(yè)職工教育經(jīng)費稅前扣除政策的通知
        交通財會(2018年6期)2018-10-26 07:05:28
        基于ArcGIS9.0-GeoDa059i的我國財政性教育經(jīng)費投入空間差異性分析——以2008-2012年我國財政性教育經(jīng)費投入為例
        撓癢癢
        對記號筆筆頭與墨水匹配技術(shù)研究的初步探討
        中國制筆(2017年1期)2017-05-17 06:07:21
        記號筆安規(guī)風(fēng)險管控要點分析與研究
        中國制筆(2015年4期)2015-12-01 06:47:18
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