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        四邊形中考試題分類解析

        2017-06-23 16:08:51魏祥勤
        關(guān)鍵詞:邊數(shù)對角線菱形

        魏祥勤

        四邊形部分常見中考試題有:多邊形的邊數(shù)、內(nèi)角和與對角線的條數(shù),平行四邊形的判定與性質(zhì),特殊平行四邊形的判定與性質(zhì),四邊形位于平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)問題,四邊形與直角三角形、等腰三角形等的綜合問題,與四邊形有關(guān)的猜想、探究型問題等.下面結(jié)合中考試題進(jìn)行分類解析,供同學(xué)們參考.

        一、 多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)

        例1 (2016·涼山)一個多邊形切去一個角后,形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1 080°,那么原多邊形的邊數(shù)為( )

        A.7 B.7或8

        C.8或9 D.7或8或9

        分析:首先求得內(nèi)角和為1 080°的多邊形的邊數(shù),即可確定原多邊形的邊數(shù).

        解:設(shè)內(nèi)角和為1 080°的多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2)·180°=1 080°.

        解得n=8.

        所以原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.故選D.

        評注:當(dāng)多邊形的邊數(shù)不小于4時,一個多邊形去掉一個內(nèi)角后,邊數(shù)可以減少1,也可以不變,也可以增加1.

        練習(xí)1 (2016·廣安)若一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°,則這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是( )

        A.7 B.10

        C.35 D.70

        二、 平行四邊形的判定與性質(zhì)

        例2 (2016·鄂州)如圖1,在[?]ABCD中,BD是它的一條對角線,過A,C兩點作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F(xiàn),延長AE,CF分別交CD,AB于M,N.

        (1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形;

        (2)已知DE=4,F(xiàn)N=3,求BN的長. [A][B][C][D][E][F][M][N][圖1]

        分析:(1)通過AE⊥BD,CF⊥BD證明AE∥CF,再由四邊形ABCD是平行四邊形,得AB∥CD,由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形.

        (2)先證明△MDE≌△NBF,得DE=BF=4,再由勾股定理,得BN=5.

        (1)證明:∵AE⊥BD CF⊥BD,

        ∴AE∥CF.

        又四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴AB∥CD.

        ∴四邊形CMAN是平行四邊形.

        (2)解:由(1)知四邊形CMAN是平行四邊形,

        ∴CM=AN.

        又四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴ AB=CD,AB∥CD.

        ∴∠MDE=∠NBF,AB-AN=CD-CM,即BN=DM.

        又∠DEM=∠BFN=90°,

        ∴△MDE≌△NBF.

        ∴DE=BF=4.

        在Rt△BNF中,由勾股定理,得BN=[FN2+BF2]=[32+42]=5.

        ∴BN的長為5.

        評注:本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理.靈活運用判定、性質(zhì)及定理來分析、判斷、推理或解答是解題的關(guān)鍵.

        練習(xí)2 (2016·十堰)如圖2,在[?]ABCD中,AB=[213]cm,AD=4 cm,AC⊥BC,則△DBC比△ABC的周長長 cm. [A][B][C][D][O][圖2]

        三 、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)

        (一)菱形的判定與性質(zhì)

        例3 (2016·青島)已知:如圖3,在?ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AD,BC上的點,且AE=CF,直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點G,H,交BD于點O. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][圖3]

        (1)求證:△ABE≌△CDF.

        (2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請說明理由.

        分析:(1)由平行四邊形的性質(zhì),得AB=CD,∠BAE=∠DCF,由SAS證明△ABE≌△CDF即可.

        (2)由平行四邊形的性質(zhì),得AD∥BC,AD=BC,證出DE=BF,得四邊形BEDF是平行四邊形,得OB=OD,再由等腰三角形的三線合一的性質(zhì),得EF⊥BD,即可證得四邊形BEDF是菱形.

        (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF.

        又AE=CF,

        ∴△ABE≌△CDF(SAS).

        (2)解:四邊形BEDF是菱形.

        理由如下:

        如圖4,在?ABCD中,AD∥BC,AD=BC. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][圖4]

        ∵AE=CF,

        ∴DE=BF.

        ∴四邊形BEDF是平行四邊形.

        ∴OB=OD.

        ∵DG=BG,

        ∴EF⊥BD.

        ∴四邊形BEDF是菱形.

        評注:判定一個四邊形是特殊的四邊形,往往先證明四邊形是平行四邊形,再證明平行四邊形的邊、角、對角線等所具有的特殊關(guān)系,靈活運用四邊形的邊、角、對角線之間的關(guān)系,是解決這類問題的關(guān)鍵.

        練習(xí)3 (2016·沈陽)如圖5,△ABC≌

        △ABD,點E在邊AB上,CE∥BD,連接DE. [A][B][C][D][E][圖5]

        求證:(1)∠CEB=∠CBE;

        (2)四邊形BCED是菱形.

        (二)矩形的判定與性質(zhì)

        例4 如圖6,在△ABC中,D是BC邊上一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF.

        (1)線段BD與CD有何數(shù)量關(guān)系,為什么?

        (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形AFBD是矩形?請說明理由. [A][B][C][D][E][F][圖6]

        分析:(1)由題意,得△AEF≌△DEC,可以得到AF=CD.又因為AF∥CD,AF=BD,所以BD=CD.

        (2)若四邊形AFBD是矩形,則AD⊥BD.因為BD=CD,所以AB=AC.因此△ABC是等腰三角形時,四邊形AFBD是矩形.

        解:(1)BD=CD.

        理由如下:

        ∵E是AD的中點,

        ∴AE=DE.

        又AF∥BC,

        ∴∠AFE=∠DCE.

        又∠AEF=∠DEC,

        ∴△AEF≌△DEC .

        ∴AF=CD.

        ∵AF=BD,

        ∴BD=CD.

        (2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時,四邊形AFBD是矩形 .

        理由如下:

        ∵AF∥BD,AF=BD,

        ∴四邊形AFBD是平行四邊形.

        ∵AB=AC,BD=CD ,

        ∴AD⊥BC,即∠ADB=90°.

        ∴四邊形AFBD是矩形.

        評注:本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì).掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

        練習(xí)4 如圖7,在[?]ABCD中,點O是AC與BD的交點,過點O的直線與BA,DC的延長線分別交于點E,F(xiàn). [A][B][C][D][E][F][O][圖7]

        (1)求證:△AOE≌△COF.

        (2)請連接EC,AF,則EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是矩形,并說明理由.

        (三)正方形的判定與性質(zhì)

        例5 (2016·攀枝花)如圖8,在正方形紙片ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點A恰好與BD上的點F重合,展開后折痕DE分別交AB,AC于點E,G,連接GF,給出下列結(jié)論:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;

        ⑥若S△OGF=1,則正方形ABCD的面積是6[+42].其中正確的結(jié)論有( ) [A][B][C][D][E][F][G][O][圖8]

        A.2個 B.3個

        C.4 個 D.5個

        分析:①由四邊形ABCD是正方形,得∠GAD=∠ADO=45°,又由折疊的性質(zhì),求得∠ADG的度數(shù).

        ②由AE=EF2AE.

        ③由△ADG≌△FDG,得S△AGD=S△FDG.由S△FDG>S△OGD,得S△AGD>S△OGD.

        ④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì),易得

        △EFG是等腰三角形,證得AE=GF.

        ⑤易證得四邊形AEFG是菱形,由等腰直角三角形的性質(zhì),得BE=2OG.

        ⑥根據(jù)四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF,AB=GF.再由∠BAO=45°,∠GOF=90°可得△OGF是等腰直角三角形.由S△OGF=1求出GF的長,進(jìn)而可得出BE及AE的長,利用正方形的面積公式可得出結(jié)論.

        解:∵四邊形ABCD是正方形,

        ∴∠GAD=∠ADO=45°.

        由折疊的性質(zhì),得∠ADG=[12]∠ADO=22.5°.故①正確.

        ∵由折疊的性質(zhì),得AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,

        ∴AE=EF

        ∴AE<[12]AB.

        ∵AB=AD,

        ∴[ADAE]>2.故②錯誤.

        ∵△ADG≌△FDG,

        ∴S△AGD=S△FDG.

        ∵S△FDG>S△OGD,

        ∴S△AGD>S△OGD.故③錯誤.

        ∵∠EFD=∠AOD=90°,

        ∴EF∥AC.

        ∴∠FEG=∠AGE.

        ∵∠AGE=∠FGE,

        ∴∠FEG=∠FGE.

        ∴EF=GF.

        ∵AE=EF,

        ∴AE=EF=GF.

        ∵AG=GF,

        ∴AE=EF=GF=AG.

        ∴四邊形AEFG是菱形.故④正確.

        ∵四邊形AEFG是菱形,

        ∴AE∥GF.

        ∴∠OGF=∠OAB=45°.

        ∴EF=GF=[2]OG.

        ∴BE[=2EF][=2×2]OG=2OG.故⑤正確.

        ∵四邊形AEFG是菱形,

        ∴AB∥GF,AE=GF.

        ∵∠FGO=∠BAO=45°,∠GOF=90°,

        ∴△OGF是等腰直角三角形.

        ∵S△OGF=1,

        ∴[12]OG2=1.

        解得OG=[2].

        ∴BE=2OG=[22],GF=[(2)2+(2)2]=2. ∴AE=GF=2.

        ∴AB=BE+AE=[22]+2.

        ∴S正方形ABCD=AB2=([22]+2)2=[12+82].故⑥錯誤.

        ∴正確結(jié)論的序號是①④⑤.故選B.

        評注:本題涉及正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性較強(qiáng),難度較大,注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

        練習(xí)5 (2016·宿遷)如圖9,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為( ) [A][B][C][D][E][F][圖9] [M][N] A.2 B.[3]

        C.[2] D.1

        四、 四邊形的新定義問題及綜合問題

        (一)四邊形的新定義問題

        例6 (2016·衢州)如圖10,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

        (1)概念理解:如圖11,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.

        (2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.猜想結(jié)論: (要求用文字語言敘述).寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證). [A][B][C][D][圖10 圖11]

        (3)問題解決:如圖12,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長. [A][B][C][D][E][F][G][圖12][M][N]

        分析:(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可.

        (2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可.

        (3)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計算.

        解:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.

        理由如下:

        如圖13,連接AC,BD.

        ∵AB=AD,

        ∴點A在線段BD的垂直平分線上.

        ∵CB=CD,

        ∴點C在線段BD的垂直平分線上.

        ∴直線AC是線段BD的垂直平分線.

        ∴AC⊥BD.

        ∴四邊形ABCD是垂美四邊形.

        (2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

        已知:如圖13,在垂美四邊形ABCD中,AC⊥BD于E.

        求證:AD2+BC 2=AB2+CD2. [A][B][C][D] [圖13][E]

        證明:∵四邊形ABCD是垂美四邊形,

        ∴AC⊥BD.

        ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.

        由勾股定理,得AD2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2,AB2+CD2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2.

        ∴AD 2+BC 2=AB2+CD 2.

        (3)如圖14,連接CG,BE. [A][B][C][D][E][F][G][M][N][圖14] ∵∠CAG=∠BAE=90°,

        ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE.

        又∵AG=AC,AB=AE.

        ∴△GAB≌△CAE.

        ∴∠ABG=∠AEC.

        又∠AEC+∠AME=90°,∠BMN=∠AME,

        ∴∠ABG+∠AME=∠ABG+∠BMN=90°.

        ∴∠BNM=90°,即CE⊥BG.

        ∴四邊形CGEB是垂美四邊形.

        由(2)知CG2+BE2=CB2+GE2.

        ∵AC=4,AB=5,

        ∴BC=3,CG=[42],BE=[52].

        ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.

        ∴GE=[73].

        評注:對于新定義問題,應(yīng)當(dāng)結(jié)合題目中給定的概念信息,結(jié)合題意運用數(shù)形結(jié)合的思想,從圖形的位置以及題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究.

        練習(xí)6 (2016·德州)我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

        (1)如圖15,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.

        求證:中點四邊形EFGH是平行四邊形. [A][B][C][D][E][F][G][H][圖15]

        (2)如圖16,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想.[圖16] [A][B][C][D][E][F][G][H] [P]

        (3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明).

        (二)四邊形的綜合問題

        例7 (2016·臨沂)如圖17,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點,且CE=BF.連接DE,過點E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.

        (1)請判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 . [A][B][C][D][E][F][G][圖17 圖18] [A][B][C][D][E][F][G]

        (2)如圖18,若點E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長線上的點,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明.

        (3)如圖19,若點E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長線上的點,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷. [A][B][C][D][E][F][G][圖19]

        分析:(1)只要證明四邊形CEGF是平行四邊形即可得出FG=CE,F(xiàn)G∥CE.

        (2)如圖20,構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED,利用對應(yīng)邊相等證得四邊形GHBF是矩形后,利用等量代換即可求出FG=CE,F(xiàn)G∥CE.

        (3)證明△CBF≌△DCE后,即可證明四邊形CEGF是平行四邊形.

        解:(1)FG=CE,F(xiàn)G∥CE.

        (2)如圖20,過點G作GH⊥CB交CB的延長線于H. [A][B][C][D][E][F][G] [H][圖20]

        ∵EG⊥DE,

        ∴∠GEH+∠DEC=90°.

        ∵∠GEH+∠HGE=90°,

        ∴∠DEC=∠HGE.

        ∵∠GHE=∠DCE=90°,EG=DE,

        ∴△HGE≌△CED.

        ∴GH=CE,HE=CD.

        ∵CE=BF,

        ∴GH=BF.

        ∵GH⊥CB,BF⊥CB,

        ∴GH∥BF.

        ∴四邊形GHBF是矩形.

        ∴GF=BH,F(xiàn)G∥CH.

        ∴FG∥CE.

        ∵四邊形ABCD是正方形,

        ∴CD=BC.

        ∴HE=BC.

        ∴HE+EB=BC+EB.

        ∴BH=EC.

        ∴FG=EC.

        (3)(1)中的結(jié)論仍然成立.

        評注:本題是三角形與四邊形的綜合問題,涉及全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換.

        練習(xí)7 (2016·臺州)定義:有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

        (1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍.

        (2)如圖21,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形. [A][B][C][D][E][F][G][H][圖21]

        (3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,則當(dāng)AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是多少?并求此時對角線AC的長.

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