陳明

【摘 要】本文結(jié)合教學(xué)實(shí)例，闡述極限、微積分、數(shù)形結(jié)合、歸納比較這四種數(shù)學(xué)思想方法在物理解題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法求解物理問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中物理 數(shù)學(xué)思想 知識(shí)遷移

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）04B-0153-02

物理習(xí)題偏向于邏輯分析，而且這種邏輯分析是建立在數(shù)學(xué)關(guān)系之上的?！拔锢黼x不開(kāi)數(shù)學(xué)”，解決物理問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)學(xué)方法。在解決物理問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法有時(shí)會(huì)更便捷更有效。當(dāng)然在物理解題中并不是刻意地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，而是要順勢(shì)而為，是一種自然的行為。下面從四個(gè)方面談一談運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決物理問(wèn)題的具體做法。

一、極限思想，助力求解

極限思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想，但是在高中階段這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用得不是很廣泛，取極限的方法也不完善。在物理解題中可以不需要很高深的取極限的數(shù)學(xué)方法，但是一定要有極限的思想。

以一個(gè)案例進(jìn)行說(shuō)明。

在一個(gè)足夠長(zhǎng)的豎直墻面上，設(shè)置一個(gè)點(diǎn)光源 S，距離光源 d 處有一個(gè)平面鏡 O，鏡子中心與光源在同一水平線上。初始狀態(tài)下鏡子平面與墻面平行。當(dāng)平面鏡以角速度 w 繞中心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光源經(jīng)平面鏡反射的光斑在墻面上會(huì)上下移動(dòng)。經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 后，光斑 P 在墻壁上移動(dòng)的速度是多少？

分析這道題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，光斑在墻面上的移動(dòng)情況不是勻速運(yùn)動(dòng)，不能用位移與時(shí)間的比值直接求得。我們反觀速度的表達(dá)式，可以了解到瞬時(shí)速度，它實(shí)際上是時(shí)間取無(wú)窮小時(shí)的情況，用表達(dá)式表示為 （當(dāng) t2 和 t1 非常接近時(shí)的情況），即 。因此，解決這道問(wèn)題時(shí)，我們就可以換一種思路，采取導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解。經(jīng)過(guò)時(shí)間 t，光斑在墻面上的位移為 s。當(dāng)時(shí)間為 t 時(shí)，反射光線轉(zhuǎn)過(guò)的角度 θ1=wt。經(jīng)分析幾何關(guān)系知，SO 與 OP 的夾角 θ2=2θ1。在三角形 SOP 中，可得 S=d tanθ2=d tan（2wt）。對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得光斑 P 的移動(dòng)速度。對(duì)于求解速度，實(shí)際上是求解瞬時(shí)速度，瞬時(shí)速度的物理意義決定了它可以運(yùn)用取極限的導(dǎo)數(shù)方法來(lái)進(jìn)行求解。

在求解某一種特定物理狀態(tài)時(shí)利用數(shù)學(xué)中的極限思想非常有效，在這一特定狀態(tài)下，需要求解的未知量往往是瞬時(shí)的。由于沒(méi)有一個(gè)過(guò)程可供分析，所以取極限可以說(shuō)是快捷而又精確的方法。

二、微分積分，明晰過(guò)程

導(dǎo)數(shù)、微分的方法將很多問(wèn)題的求解過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，但歸根結(jié)底，微分的目的是為了積分，因此，適當(dāng)運(yùn)用積分的方法解決問(wèn)題也非常有效。高中階段所學(xué)的積分方法是比較簡(jiǎn)單的，而物理問(wèn)題中的數(shù)學(xué)方法也不是特別困難。在求解物體位移的問(wèn)題上，可以利用簡(jiǎn)易積分的方法來(lái)進(jìn)行求解。

以足球的例子進(jìn)行說(shuō)明。

假設(shè)在一次足球訓(xùn)練當(dāng)中，某時(shí)刻有一個(gè)運(yùn)動(dòng)中的足球，它的初始速度為 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度進(jìn)行勻減速直線運(yùn)動(dòng)。求解足球在 5 s 后的位移是多少。

我們可以運(yùn)用常規(guī)的平均速度法進(jìn)行求解，由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程為勻變速運(yùn)動(dòng)，因此可設(shè)足球的平均速度為 v，初始速度為 v0，5 s 后的速度為 v1，加速度為 a。由速度與加速度的關(guān)系 v=at，得 v平均=；位移 s=v平均t=25×5=125 m。將物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，是物理學(xué)解決問(wèn)題的主要手段，也是分析能力的體現(xiàn)。但是在本題中，速度與加速度的關(guān)系已知，要求解位移，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法，即采用積分的方法。速度是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，因此速度在時(shí)間上的積分就是位移。從另一個(gè)角度講，微積分是用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)復(fù)雜的變化過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了根源化。本題用積分的方法進(jìn)行求解時(shí)，可得 ，結(jié)果與上述解法完全相同，但運(yùn)算更簡(jiǎn)單。

位移問(wèn)題只是眾多物理題目中相對(duì)簡(jiǎn)單的一個(gè)，在這種情況下練習(xí)運(yùn)用簡(jiǎn)單的積分來(lái)求解物理問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種鍛煉的機(jī)會(huì)，也是一個(gè)鍛煉的過(guò)程。循序漸進(jìn)，學(xué)生在不斷的實(shí)踐中會(huì)慢慢地掌握用微積分思想來(lái)解決物理問(wèn)題的方法。

三、數(shù)形結(jié)合，多元關(guān)聯(lián)

物理學(xué)中的一個(gè)特色就是分析物體之間的各種等式關(guān)系，有時(shí)可借助于數(shù)學(xué)定理，有時(shí)可依賴幾何分析。我們?cè)诮鉀Q一些難度較大的物理問(wèn)題時(shí)，需要多元建立等式關(guān)系，以數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)求解問(wèn)題。

教學(xué)中有一個(gè)經(jīng)典的題目，叫做繩子拉船問(wèn)題。很多學(xué)生苦于其中的數(shù)量關(guān)系難以建立，因此對(duì)此題理解起來(lái)比較困難。如果我們換一種思路，借助幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題，那么就可以建立等式關(guān)系。引入一個(gè)例題如下。

如圖所示，在高度為 h 的河岸上，一人用繞過(guò)定滑輪 O 的輕質(zhì)細(xì)繩勻速拉動(dòng)水面上的一條小船。假設(shè)人拉動(dòng)船的速度大小為 v。當(dāng)繩子 OA 與水平面的夾角為 θ 時(shí)，此時(shí)小船的速度為多少？

要解這個(gè)題目，首先要假設(shè)一系列的變量，然后逐一地進(jìn)行求解，最后才能得到答案。這是一個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，因此我們可以借助幾何學(xué)方法來(lái)進(jìn)行求解。設(shè)小船距離岸邊的長(zhǎng)度為 x，繩子 OA 的長(zhǎng)度為 r。根據(jù)勾股定理，我們對(duì) h，x 和 r 列出等式關(guān)系 h2+x2=r2 。針對(duì)上式，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，。代入已知的數(shù)量關(guān)系，得出 v船與 v 的關(guān)系為 v船=，再由幾何關(guān)系 ，最終可得 v船=。如此一來(lái)，本身比較難以分析的題目就迎刃而解了。這個(gè)題目主要利用幾何關(guān)系來(lái)建立等式，運(yùn)用速度合成分解的方式進(jìn)行求解，充分地體現(xiàn)了物理與數(shù)學(xué)之間的密切關(guān)系。

在一些物理習(xí)題中應(yīng)用幾何圖形的方法來(lái)進(jìn)行分析是必不可少的，有時(shí)一個(gè)幾何關(guān)系就是解決物理問(wèn)題的一把鑰匙。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，多元建立起邏輯聯(lián)系，可以極大地拓寬解題思路。圖形、數(shù)字雙管齊下，物理解題更有效。

四、歸納比較，提煉規(guī)律

數(shù)學(xué)歸納法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)列、規(guī)律題目中有廣泛的應(yīng)用，成為一種必備的數(shù)學(xué)邏輯思維。在高中物理問(wèn)題中往往具有一定的規(guī)律性，抓住物理問(wèn)題的規(guī)律，進(jìn)行歸納、比較、分析，就能提煉出解決物理問(wèn)題的方法，避免繁瑣的計(jì)算。

比如在常規(guī)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程是主要的研究對(duì)象。在此過(guò)程中，物體的速度、加速度等都會(huì)發(fā)生變化。這也經(jīng)常成為問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，解題的難點(diǎn)。我們以一道實(shí)際的題目為例進(jìn)行分析。

一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，從原點(diǎn)出發(fā)，以靜止的初始狀態(tài)開(kāi)始進(jìn)行勻加速直線運(yùn)動(dòng)。初始的加速度為 a，在經(jīng)歷了 t 時(shí)間之后，此時(shí)加速度變?yōu)榱?2a；又經(jīng)歷了一個(gè) t 時(shí)間，加速度變?yōu)榱?3a，以此類推。請(qǐng)問(wèn)在 nt 時(shí)刻，物體的瞬時(shí)速度為多少？

分析這道題目可以發(fā)現(xiàn)，加速度的變化是有規(guī)律可循的，但題目描述得不夠明確，需要我們進(jìn)一步總結(jié)歸納。根據(jù)題目中所給條件，在 t 時(shí)刻，物體的加速度為 2a。在 2t 時(shí)刻，物體的加速為 3a，由此我們可以總結(jié)出規(guī)律，在 nt 時(shí)刻，物體的加速度為（n+1）a。我們進(jìn)而推測(cè)速度遵循的規(guī)律，進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納推理。在 t 時(shí)刻，物體的速度為 v1=at。在 2t 時(shí)刻，物體的速度 v2=at+2at=3at。在 3t 時(shí)刻，物體的速度 v3=at+2at+3at=6at。我們進(jìn)而可以歸納，nt 時(shí)刻的速度為 。

物理習(xí)題中的一些問(wèn)題也是有規(guī)律可循的，摸清了物理習(xí)題中一些問(wèn)題的規(guī)律就能夠有效地解題。一般來(lái)說(shuō)，在物理題目中能利用到數(shù)學(xué)規(guī)律的是比較難遇到的，但是一旦遇到就要精準(zhǔn)把握。物理問(wèn)題的核心在于邏輯分析，把握其中的規(guī)律將會(huì)極大地提高解題效率。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在物理解題中的應(yīng)用十分廣泛。巧妙遷移數(shù)學(xué)思想，是有效解決物理問(wèn)題的重要方法。在教學(xué)中，教師需要適當(dāng)滲透這種解題思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法求解物理問(wèn)題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何繼蘭.物理離不開(kāi)數(shù)學(xué)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2013（1）

[2]曹先俊，張中賢.導(dǎo)數(shù)、積分在高中物理中簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].運(yùn)城高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000（1）

[3]殷 勇.導(dǎo)數(shù)和微分在高中物理中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（6）

（責(zé)編 盧建龍）