湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)(410000)

蔡明果●

關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題方法探討

湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)(410000)

蔡明果●

函數(shù)的單調(diào)性既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，又是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，起著承上啟下的作用.在各種考試的考題中也占有非常多的比例，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性延伸出的綜合復(fù)雜的題目也很多，所以更好地理解函數(shù)單調(diào)性的概念，及掌握其各種數(shù)學(xué)題目的分析解決方法，尤為重要.本文將針對(duì)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性定義、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)圖象等方法，解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.

數(shù)學(xué)函數(shù)；函數(shù)單調(diào)性；解題方法

函數(shù)單調(diào)性是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)的單調(diào)性是我們接觸的第一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，總結(jié)了以往我們初中高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而它對(duì)于以后學(xué)習(xí)不等式等許多方面，都需要用到函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，所以如何更好地掌握函數(shù)單調(diào)性解題，在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).

一、函數(shù)單調(diào)性解題方法概況

1.函數(shù)單調(diào)性定義法

函數(shù)單調(diào)性的定義： 一般地設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于定義域A內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1

那么通過(guò)單調(diào)增區(qū)間，我們很容易就能推出單調(diào)減區(qū)間的定義：一般地設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳.如果對(duì)于定義域A內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f(x1)

如何函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.

而很多的試題，完全可以用定義，簡(jiǎn)單的運(yùn)算就可以得到結(jié)果.

函數(shù)的解析式和區(qū)間都已給出，只需要利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可，

因?yàn)?

2.函數(shù)圖象法

在解題的過(guò)程中，利用函數(shù)圖想法也是常見(jiàn)的方法之一.根據(jù)圖象能夠更直觀地看到函數(shù)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，而數(shù)形結(jié)合的方式，能夠更快捷地進(jìn)行解題.而在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)如果是增函數(shù)，那么隨著x的增大，那么它的圖象呈上升狀態(tài)，有明顯的上升趨勢(shì)，在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)是減函數(shù)，那么它的圖象就會(huì)為下降狀態(tài)，呈下降的趨勢(shì).所以掌握常見(jiàn)函數(shù)圖象，也很有必要.而利用函數(shù)圖象解題過(guò)程中，函數(shù)的奇偶性也是解題的關(guān)鍵，其中奇函數(shù)在原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上，單調(diào)性是相同，而偶函數(shù)在原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相反，從圖象上可以清晰地判斷出來(lái).

3.復(fù)合函數(shù)分析法

復(fù)合函數(shù)的定義是函數(shù)y=f(g(x))是由函數(shù)y=f(t)和函數(shù)t=g(x)組合而成，其中t=g(x)為內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)為外層函數(shù).而復(fù)合函數(shù)單調(diào)性又該如何判斷呢，首先，如果內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性不一致，即一個(gè)是單調(diào)增函數(shù)，一個(gè)是單調(diào)減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是遞減函數(shù)，有一種負(fù)正得負(fù)的異曲同工的感覺(jué).相反，如果內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性是相同的，同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是遞增函數(shù)，類似負(fù)負(fù)得正，正正為正的乘法法則.

例如，判斷函數(shù)f(x)=7x2+1的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的定義，區(qū)分出這個(gè)函數(shù)的外層函數(shù)為f(y)=7y,而內(nèi)層函數(shù)為y=x2+1，開(kāi)始逐一判斷內(nèi)外層的單調(diào)性，由內(nèi)而外的判斷，首先內(nèi)層函數(shù)y=x2+1，在x∈(-∞,0)時(shí)，函數(shù)為遞減函數(shù)，在x∈(0,+∞)時(shí)，函數(shù)為遞增函數(shù)，而外層函數(shù)，在f(y)=7y，y∈(-∞,+∞)時(shí)，為遞增函數(shù)，按照之前總結(jié)得出，一增一減為減，同增同減為增原則，當(dāng)x(-∞,0)時(shí)，函數(shù)f(x)=7x2+1為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)=7x2+1為單調(diào)遞增函數(shù).所以復(fù)合法是一種非常清晰明確的解題方法，從而減少了解題步驟.

總之，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)是整個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)中最基礎(chǔ)的知識(shí)，只有基礎(chǔ)打牢，才能更好地應(yīng)用到后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)中，所以牢牢地掌握函數(shù)單調(diào)性解題思路和分析問(wèn)題的辦法，非常的重要.而各種考題中最常出現(xiàn)的類型有以下幾種，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在一定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最值、極值等.所以一定要通過(guò)分析總結(jié)，掌握適合自己有效的解題方法，才能更快更準(zhǔn)確地取得問(wèn)題的答案.而函數(shù)單調(diào)性定義法，函數(shù)圖象法，復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法是最常用的解題方法，綜合運(yùn)用，合理搭配，選擇合適的解題思路，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，能夠更快更準(zhǔn)確地取得答案.高考的題目看似每年都不一樣，非常的靈活，其實(shí)只是將一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行組合，所以學(xué)習(xí)就是要把簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)掌握好，抽絲剝繭地把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.如果較復(fù)雜的函數(shù)就不建議用定義法，相對(duì)比較繁瑣，而復(fù)合函數(shù)，就建議用復(fù)合法來(lái)解決.在經(jīng)過(guò)函數(shù)單調(diào)性解題的學(xué)習(xí)和研究，最主要的還是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.

[1]施永新.巧用函數(shù)單調(diào)性解題例說(shuō)[J].數(shù)理化解題研究(高中版)，2011(01)

[2]蔣自偉.函數(shù)單調(diào)性解數(shù)學(xué)題常見(jiàn)類型解析[J].中學(xué)生數(shù)理化(高中版.學(xué)研版)，2011(03)

[3]王保國(guó).函數(shù)單調(diào)性判斷的四種方法[J].數(shù)學(xué)愛(ài)好者，2006

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